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浙教版九年级下册 第三章 三视图与表面展开图 单元测试
一、选择题
1.从早上太阳升起的某一时刻开始到晚上，旭日广场的旗杆在地面上的影子的变化规律是（　　）
A.先变长，后变短 B.先变短，后变长 C.方向改变，长短不变 D.以上都不正确
2. 2024年是新中国成立75周年，是实现“十四五”规划目标任务的关键一年，也是全面推进美丽中国建设的重要一年．一个正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在正方体中，与“吉”字所在面相对的面上的汉字是（　　）
A.建 B.设 C.美 D.好
3.某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“祖”字所在的面相对的面上的字是（　　）
A.繁 B.荣 C.昌 D.盛
4.方胜即为两个方形的一角相互连接而名，在明清极为流行．现藏于上海观复博物馆的黑漆描金龙凤福禄寿纹方胜盒为方胜形状，如图所示，整体做工讲究，保存状态一流，为乾隆大漆描金精品，则它的主视图为（　 　）
A. B. C. D.
5.如图，俯视图是（　 　）
A. B. C. D.
6.某同学画出了如图所示的几何体的三种视图，其中正确的是（　　）
A.①② B.①③ C.②③ D.②
7.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，左图中构件的突出部分叫榫头，右图凹进部分叫卯眼，则带卯眼的木构件的俯视图是（　　）
A. B. C. D.
8.用小立方块搭成的几何体，从正面看到的图形和从上面看到的图形如图，问搭成这样的几何体最多需要个小立方块，最少需要个小立方块．（　 　）
A.8，6 B.7，6 C.8，7 D.7，5
9.一个圆锥的侧面积是2πcm2，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为（　　）
A. B. C. D.2
10.如图，一个正方体纸盒的六个面上填有不同的数或式，从不同方向看到的情形如图所示，如果相对两个面上的数或式的值互为相反数，则（a+c﹣x）2023的值为（　　）
A.1 B.﹣1 C.0 D.2023
11.一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为（　　）
A.66 B.48 C. D.57
12.如图，用24块棱长分别为3cm，4cm，5cm的长方体搭成一个大长方体，其表面积最小为（　　）
A.748cm2 B.768cm2 C.788cm2 D.808cm2
二、填空题
13.如图所示的四个几何体中，正投影可能是四边形的几何体共有 　　个．
14.如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯按如图所示的方式照球、圆柱和圆锥，它们在地面上的阴影形状分别是　 　， 　　，　 　．（文字回答即可）
15.以下三组图形都是由四个等边三角形组成．能折成多面体的选项序号是 　 　．
16.观察如图所示，然后填一填．
（1）如图大正方体的棱长是3厘米，这个大正方体的棱长总和是 　 　厘米，表面积是 　 　平方厘米，体积是 　 　立方厘米．
（2）给大正方体的表面涂上颜色，三个面涂色的小正方体有 　 　个．
17.提出问题：有12个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是4、3、5，现要用这12个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？
解析问题：对于这种问题，我们一般采用复杂问题简单化的策略，进行由特殊到一般的探究．
探究一：我们以两个长、宽、高分别是4、3、5的长方体为例进行解析．我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示．
请计算图1、图2、图3中的拼成的新的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表：
根据上表可知，表面积最小的是 　 　所示的长方体．（填“图1”、“图2”、“图3”）
探究二：有4个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是5、4、3，现要用这4个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？
先画出各种摆法的示意图，再根据各自的表面积得到最小摆法，是一种常规的方法，但比较耗时，也不方便，可以按照下列思路考虑：
在图1的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到5×8×6的长方体，这个长方体的表面积为 　 　；
在图2的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到10×4×6的长方体，这个长方体的表面积为 　 　；
在图3的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到5×8×6的长方体，这个长方体的表面积为 　 　；
综上所述，有4个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是5、4、3，要用这4个纸盒搭成一个大长方体的表面积最小为 　 　．
探究三：我们知道，在体积相同的前提下，正方体的表面积最小，所以我们可以尽可能地使所搭成的几何体为正方体或接近正方体，我们还可以这样思考：
将4分解质因数，得到1×1×4，或1×2×2两种情况，通过与小长方体的长宽高5×4×3进行组合：
在L＝5×1＝5，K＝4×2＝8，H＝3×2＝6时，搭成的L×K×H的大长方体最接近正方体，此时表面积最小，表面积为2（L×K+K×H+L×H）＝　 　（直接写出结果）．
类比应用：请你仿照探究三的解题思路，解答开始提出的问题：
有12个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是4、3、5，现要用这12个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？
拓展延伸：将168个棱长为1cm的小正方体，拼成一个长方体，使得长方体的表面积达到最小，这个表面积是 　 　cm2．
三、解答题
18.如图，画出两根等高竹竿AB、CD在灯光下的影子，它们影子的长度相等吗？为什么？
19.下面哪个几何体的截面形状可能是圆？
（1）圆柱；
（2）圆锥；
（3）棱柱；
（4）球．
20.根据要求完成下列题目：
（1）如图中有 　 　块小正方体；
（2）请在下面方格纸中分别画出它的主视图和左视图（画出的图都用铅笔涂上阴影）．
21.如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝0.8m，窗高CD＝1.2m，并测得OE＝0.8m，OF＝3m，求围墙AB的高度．
22.如图①，小华晚上在路灯下散步．已知小华的身高AB＝h，灯柱的高OP＝O'P'＝l，两灯柱之间的距离OO'＝m.
（1）若小华距灯柱OP的水平距离OA＝a，求他的影子AC的长．
（2）若小华在两路灯之间行走，则他前后两个影子的长度之和（DA+AC）是不是定值？请说明理由．
（3）若小华从点A朝着影子AC的方向（如图②箭头方向）以速度v1匀速行走，试求他前面的影子的顶端C在地面上移动的平均速度v2．
浙教版九年级下册 第三章 三视图与表面展开图 单元测试（参考答案）
一、选择题
1.从早上太阳升起的某一时刻开始到晚上，旭日广场的旗杆在地面上的影子的变化规律是（　　）
A.先变长，后变短 B.先变短，后变长 C.方向改变，长短不变 D.以上都不正确
【答案】B
【解析】旭日广场的旗杆在地面上的影子的变化规律是先变短，后变长．
故选：B．
2. 2024年是新中国成立75周年，是实现“十四五”规划目标任务的关键一年，也是全面推进美丽中国建设的重要一年．一个正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在正方体中，与“吉”字所在面相对的面上的汉字是（　　）
A.建 B.设 C.美 D.好
【答案】C
【解析】在正方体中，与“吉”字所在面相对的面上的汉字是美，
故选：C．
3.某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“祖”字所在的面相对的面上的字是（　　）
A.繁 B.荣 C.昌 D.盛
【答案】D
【解析】这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“祖”与面“盛”相对，面“国”与面“荣”相对，面“繁”与面“昌”相对．
故选：D．
4.方胜即为两个方形的一角相互连接而名，在明清极为流行．现藏于上海观复博物馆的黑漆描金龙凤福禄寿纹方胜盒为方胜形状，如图所示，整体做工讲究，保存状态一流，为乾隆大漆描金精品，则它的主视图为（　 　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】从正面看，可得选项A的图形．
故选：A．
5.如图，俯视图是（　 　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根
从上边看，可得选项C的图形．
故选：C．
6.某同学画出了如图所示的几何体的三种视图，其中正确的是（　　）
A.①② B.①③ C.②③ D.②
【答案】B
【解析】根据几何体的摆放位置，主视图和俯视图正确．左视图中间有一条横线，故左视图不正确．
故选：B．
7.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，左图中构件的突出部分叫榫头，右图凹进部分叫卯眼，则带卯眼的木构件的俯视图是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】带卯眼的木构件的俯视图是：
．
故选：C．
8.用小立方块搭成的几何体，从正面看到的图形和从上面看到的图形如图，问搭成这样的几何体最多需要个小立方块，最少需要个小立方块．（　 　）
A.8，6 B.7，6 C.8，7 D.7，5
【答案】C
【解析】如图，几何体最多需要3+2+2+1＝8个小立方块，最少需要3+2+1+1＝7个小立方块．
故选：C．
9.一个圆锥的侧面积是2πcm2，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为（　　）
A. B. C. D.2
【答案】C
【解析】设圆锥的母线长为l cm，
π×l2÷2＝2π，
解得：l＝2，
∴圆锥侧面展开图的弧长为：×2π×2＝2π（cm），
∴圆锥的底面圆半径是2π÷2π＝1（cm），
∴圆锥的高为＝（cm）．
故选：C．
10.如图，一个正方体纸盒的六个面上填有不同的数或式，从不同方向看到的情形如图所示，如果相对两个面上的数或式的值互为相反数，则（a+c﹣x）2023的值为（　　）
A.1 B.﹣1 C.0 D.2023
【答案】B
【解析】∵标有“﹣1”的面分别与标有“a+b”的面，标有“a﹣b”的面，标有“c+d”的面，标有“c﹣d”的面，相邻，
∴标有“﹣1”的面与标有“x”的面相对，
∴x＝﹣（﹣1）＝1，
同理可得标有“a+b”的面与标有“c+d”的面相对，标有“a﹣b”的面与标有“c﹣d”的面相对，
∴a+b＝﹣（c+d），a﹣b＝﹣（c﹣d），
∴b+d＝﹣a﹣c，b+d＝a+c，
∴a+c＝﹣a﹣c，即a+c＝0，
∴（a+c﹣x）2023＝（0﹣1）2023＝﹣1，
故选：B．
11.一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为（　　）
A.66 B.48 C. D.57
【答案】A
【解析】∵如图所示：
∴AB＝3，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴AC＝BC＝3，
∴正方形ABCD面积为：3×3＝9，
侧面积为：4AC×CE＝3×4×4＝48，
∴这个长方体的表面积为：48+9+9＝66．
故选：A．
12.如图，用24块棱长分别为3cm，4cm，5cm的长方体搭成一个大长方体，其表面积最小为（　　）
A.748cm2 B.768cm2 C.788cm2 D.808cm2
【答案】B
【解析】根据搭成的长方体表面积最小的要求，遵循把较大面重叠在一起的原则，进行如下搭建：
将三块长方体按4cm，5cm面重叠得出一个大长方体，此时三条棱长为4cm，5cm，9cm．
再用两个大长方体（即6个小长方体）按5cm，9cm面重叠，可得棱长为5cm，8cm，9cm的大长方体．
再用两个大长方体（即12个小长方体）按8cm，9cm面重叠，可得棱长为8cm，9cm，10cm的大长方体．
再用两个大长方体（即24个小长方体）按9cm，10cm面重叠，可得棱长为9cm，10cm，16cm的大长方体．
此时大长方体的表面积为：2×（9×10+9×16+10×16）＝788（cm2）．
将两块块长方体按4cm，5cm面重叠得出一个大长方体，此时三条棱长为4cm，5cm，6cm．
再用三个大长方体（即6个小长方体）按5cm，6cm面重叠，可得棱长为5cm，6cm，12cm的大长方体．
再用两个大长方体（即12个小长方体）按6cm，12cm面重叠，可得棱长为6cm，12cm，10cm的大长方体．
再用两个大长方体（即24个小长方体）按10cm，12cm面重叠，可得棱长为10cm，12cm，12cm的大长方体．
此时大长方体的表面积为：2×（12×10+12×10+12×12）＝768（cm2）．
因为768＜788，
所以搭成大长方体表面积的最小值为768cm2．
故选：B．
二、填空题
13.如图所示的四个几何体中，正投影可能是四边形的几何体共有 　　个．
【答案】2
【解析】因为圆柱的正投影是矩形，圆锥的正投影是等腰三角形，球的正投影是圆，正方体的正投影是正方形，所以，正投影是四边形的几何体是圆柱和正方体，共2个，
故答案为：2．
14.如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯按如图所示的方式照球、圆柱和圆锥，它们在地面上的阴影形状分别是　 　， 　　，　 　．（文字回答即可）
【答案】椭圆，圆，三角形
【解析】在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长，所以照球、圆柱和圆锥，它们在地面上的阴影形状分别是椭圆，圆，三角形．
故答案为：椭圆，圆，三角形．
15.以下三组图形都是由四个等边三角形组成．能折成多面体的选项序号是 　 　．
【答案】（1）（3）
【解析】只有图（1）、图（3）能够折叠围成一个三棱锥．
故答案为：（1）（3）．
16.观察如图所示，然后填一填．
（1）如图大正方体的棱长是3厘米，这个大正方体的棱长总和是 　 　厘米，表面积是 　 　平方厘米，体积是 　 　立方厘米．
（2）给大正方体的表面涂上颜色，三个面涂色的小正方体有 　 　个．
【答案】（1）36，54，27；
（2）8
【解析】（1）因为正方体有12条棱，且大正方体的棱长是3厘米，
所以这个大正方体的棱长总和是：12×3＝36（厘米）．
又正方体的六个面是相同的正方形，
所以正方体的表面积是：6×3×3＝54（平方厘米）．
又正方体的体积是棱长的立方，
所以正方体的体积是：33＝27（立方厘米）．
故答案为：36，54，27．
（2）由给大正方体的表面涂上颜色可知，
小正方体最多有三个面涂有颜色，且这些小正方体在大正方体顶点的位置，
所以三个面涂色的小正方体有8个．
故答案为：8．
17.提出问题：有12个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是4、3、5，现要用这12个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？
解析问题：对于这种问题，我们一般采用复杂问题简单化的策略，进行由特殊到一般的探究．
探究一：我们以两个长、宽、高分别是4、3、5的长方体为例进行解析．我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示．
请计算图1、图2、图3中的拼成的新的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表：
根据上表可知，表面积最小的是 　 　所示的长方体．（填“图1”、“图2”、“图3”）
探究二：有4个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是5、4、3，现要用这4个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？
先画出各种摆法的示意图，再根据各自的表面积得到最小摆法，是一种常规的方法，但比较耗时，也不方便，可以按照下列思路考虑：
在图1的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到5×8×6的长方体，这个长方体的表面积为 　 　；
在图2的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到10×4×6的长方体，这个长方体的表面积为 　 　；
在图3的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到5×8×6的长方体，这个长方体的表面积为 　 　；
综上所述，有4个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是5、4、3，要用这4个纸盒搭成一个大长方体的表面积最小为 　 　．
探究三：我们知道，在体积相同的前提下，正方体的表面积最小，所以我们可以尽可能地使所搭成的几何体为正方体或接近正方体，我们还可以这样思考：
将4分解质因数，得到1×1×4，或1×2×2两种情况，通过与小长方体的长宽高5×4×3进行组合：
在L＝5×1＝5，K＝4×2＝8，H＝3×2＝6时，搭成的L×K×H的大长方体最接近正方体，此时表面积最小，表面积为2（L×K+K×H+L×H）＝　 　（直接写出结果）．
类比应用：请你仿照探究三的解题思路，解答开始提出的问题：
有12个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是4、3、5，现要用这12个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？
拓展延伸：将168个棱长为1cm的小正方体，拼成一个长方体，使得长方体的表面积达到最小，这个表面积是 　 　cm2．
【答案】探究一：158，图1；
探究二：236，248，236，236；
探究三：236；
类比应用：表面积最小为484；
拓展延伸：188．
【解析】探究一：∵2×（5×8+8×3+5×3）＝158，
∴图1表面积最小，
故答案为：158，图1；
探究二：∵2×（5×6+6×8+5×8）＝236，
2×（10×4+4×6+10×6）＝248，
2×（5×8+8×6+5×6）＝236，
∴大长方体的表面积最小为236，
故答案为：236，248，236，236；
探究三：∵2×（5×8+8×6+5×6）＝236，
故答案为：236；
类比应用：由探究三可得：
当L＝5×2＝10，K＝4×2＝8，H＝3×3＝9时，达成的L×K×H的大长方体最接近正方体，此时表面积最小为：2×（10×8+8×9+10×9）＝484；
拓展延伸：∵168＝2×2×2×3×7，
∴当L＝4，K＝6，H＝7时，达成的L×K×H的大长方体最接近正方体，此时表面积最小为：2×（4×6+6×7+4×7）＝188，
故答案为：188．
三、解答题
18.如图，画出两根等高竹竿AB、CD在灯光下的影子，它们影子的长度相等吗？为什么？
【答案】解：如图，BE为竹竿AB的影子，DF为竹竿CD的影子，
不相等，
在RT△ABE中，BE＝，在RT△CDF中，DF＝，
∵AB＝CD，∠AEB＞∠CFD，
∴＜，即BE＜DF．
【解析】
19.下面哪个几何体的截面形状可能是圆？
（1）圆柱；
（2）圆锥；
（3）棱柱；
（4）球．
【答案】解：（1）圆柱的截面形状可能是圆；
（2）圆锥的截面形状可能是圆；
（3）棱柱的截面形状只能是多边形，不可能是圆；
（3）球的截面形状可能是圆．
综上所述：（1）（2）（4）的截面形状可能是圆，（3）的截面形状只能是多边形，不可能是圆．
【解析】
20.根据要求完成下列题目：
（1）如图中有 　 　块小正方体；
（2）请在下面方格纸中分别画出它的主视图和左视图（画出的图都用铅笔涂上阴影）．
【答案】解：（1）由图中小正方体的摆放方式可知，图中共有7个小正方体，
故答案为：7；
（2）这个组合体的主视图，左视图如下：
【解析】
21.如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝0.8m，窗高CD＝1.2m，并测得OE＝0.8m，OF＝3m，求围墙AB的高度．
【答案】解：延长OD至C，
∵DO⊥BF，
∴∠DOE＝90°，
∵OD＝0.8m，OE＝0.8m，
∴∠DEB＝45°，
∵AB⊥BF，
∴∠BAE＝45°，
∴AB＝BE，
设AB＝EB＝x m，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴AB∥CO，
∴△ABF∽△COF，
∴＝，
＝，
解得：x＝4.4．
经检验：x＝4.4是原方程的解．
答：围墙AB的高度是4.4m．
【解析】
22.如图①，小华晚上在路灯下散步．已知小华的身高AB＝h，灯柱的高OP＝O'P'＝l，两灯柱之间的距离OO'＝m.
（1）若小华距灯柱OP的水平距离OA＝a，求他的影子AC的长．
（2）若小华在两路灯之间行走，则他前后两个影子的长度之和（DA+AC）是不是定值？请说明理由．
（3）若小华从点A朝着影子AC的方向（如图②箭头方向）以速度v1匀速行走，试求他前面的影子的顶端C在地面上移动的平均速度v2．
【答案】解：（1）根据题意得：AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴＝，即＝，
解得AC＝，
∴他的影子AC的长为；
（2）他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是定值，理由如下：
由（1）知AC＝，
同理可得：＝，
∵O'A＝OO'﹣OA＝m﹣a，
∴＝，
解得AD＝，
∴DA+AC＝+＝，
∵h，m都是定值，
∴他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是定值；
（3）设小华由A到A′，身高为A′B′，A′C′代表其影长，如图：
∵AB∥PO，
∴△CBA∽△CPO，
∴＝，即＝，
∴＝＝，
同理可得：＝，
∴＝，
∴＝＝，
当小华从A走到A'的时候，他的影子也从C移到C′，因此速度与路程成正比，
∴＝＝，
∴人影顶端在地面上移动的速度为 V2＝．
【解析】

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