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浙教版九年级下册 第一章 解直角三角形 单元测试
一、选择题
1.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则图中相似三角形共有（　　）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
2.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD＝OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（　　）
A. 1：2 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：6
3.如图，DE∥FG∥HJ∥BC，图中相似三角形的（　　）对．
A.4 B.6 C.7 D.5
4.如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（　　）
A. （0，0），2 B. （2，2）， C. （2，2），2 D. （1，1），
5.已知四边形ABCD∽四边形EFGH，AB＝2，EF＝3，则四边形ABCD与四边形EFGH的周长比是（　　）
A.4：9 B.1：2 C.4：3 D.2：3
6.比例尺为1：2000的地图上，A，B两地间的图上距离为2cm，则两地间的实际距离是（　　）
A.10m B.20m C.40m D.80000m
7.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是（　　）
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
8.如图，在四边形ABCD中，点E、F分别在AB、DC上．若四边形AEFD∽四边形EBCF，且四边形AEFD的周长等于四边形EBCF周长的，则AD与BC的长度比为（　　）
A.1：2 B.2：3 C.2：5 D.4：9
9.如图所示，在数轴上点A所表示的数x的取值范围是（　　）
A.sin30°＜x＜sin60°
B.cos30°＜x＜cos45°
C.tan30°＜x＜tan45°
D.＜x＜
10.已知Rt△ABC中，∠C为直角，设x＝sinA+cosA，y＝sinB+cosB，则x，y的大小关系为（　）
A.x＞y B.x＝y C.x＜y D.以上情况都有可能
11.下列计算正确的是（　　）
A.tan70° tan20°＝1 B.cos70°+cos20°＝1 C.sin70°＝2sin35° D.cos70°＝cos20°+cos50°
12.如图，A（0，8），B（0，2），点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB＝m，则m的取值范围是（　　）
A.0＜m≤ B.0＜m≤ C.＜m＜ D.0＜m≤
二、填空题
13.用计算器求得tan65°≈　　（精确到0.01）．
14.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则cos∠ABC的值是　　．
15.如图，已知△ABC∽△AMN，点M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，则AN＝　　．
16.如图，等腰△ABC的顶角∠A＝30°，腰长AB＝2，BD为AC边上的高，根据已知条件，可求出tan15°的值为　　．
17.如图1，是一种购物小拉车，底部两侧装有轴承三角轮，可以在平路及楼梯上推拉物品．拉杆固定在轴上，可以绕连接点旋转，拉杆，置物板，脚架形状保持不变．图2，图3为购物车侧面示意图，拉杆OP⊥DE，DF＝24cm，，⊙A，⊙B，⊙C的半径均为4cm，O为三角轮的中心，OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．如图2，当轮子⊙B，⊙C及点G都放置在水平地面HI时，D恰好与⊙A的最高点重合．此时，D的高度为20cm，则OA＝　　cm；如图3，拉动OP，使轮子⊙A，⊙B在楼梯表面滚动，当OA∥HI，且B，O，D三点共线时，点G与B的垂直高度差为 　　cm．
三、解答题
18.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上，请完成下列任务：
（1）将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C；
（2）以点O为位似中心，位似比为2，将△A1B1C放大得到△A2B2C2(在网格之内画图)．
19.设β为任意锐角，你能否说明tanβ与sinβ之间的大小关系？如能，请比较大小；不能，请说明理由．
20.已知：如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°．
求：（1）AB边上的高（精确到0.01）；
（2）∠B的度数（精确到1′）．
21.根据下列三角比的值，用计算器求相应的锐角α：
（1）sinα＝0.6；
（2）sinα＝0.6507；
（3）cosα＝0.13；
（4）cosα＝0.2659；
（5）tanα＝11.82；
（6）tanα＝0.3705．
22.已知：如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点P从点A开始沿AC边向点C匀速移动，点Q从点A开始沿AB边向点B，再沿BC边向点C匀速移动．若P、Q两点同时从点A出发，则可同时到达点C．
（1）如果P、Q两点同时从点A出发，以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动，当点Q移动到BC边上（Q不与C重合）时，求作以tan∠QCA、tan∠QPA为根的一元二次方程；
（2）如果P、Q两点同时从点A出发，以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动，当S△PBQ＝时，求PA的长．
浙教版九年级下册 第一章 解直角三角形 单元测试（参考答案）
一、选择题
1.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则图中相似三角形共有（　　）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
【答案】C
【解析】∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠ADC＝∠BAC，
又∵∠B＝∠B，∴△BAD∽△BCA，
∵∠ADC＝∠BAC，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴△BAD∽△ACD，
∴共有3对.
故选：C．
2.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD＝OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（　　）
A. 1：2 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：6
【答案】B
【解析】∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD＝OA，∴OA：OD＝1：2，
∴△ABC与△DEF的面积之比为1：4．
故选：B．
3.如图，DE∥FG∥HJ∥BC，图中相似三角形的（　　）对．
A.4 B.6 C.7 D.5
【答案】B
【解析】∵DE∥FG∥HJ∥BC，∴△ADE∽△AFG∽△AHJ∽△ABC，
∴从4个三角形中任意选出2个三角形距相似，故一共有6对．
故选：B．
4.如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（　　）
A. （0，0），2 B. （2，2）， C. （2，2），2 D. （1，1），
【答案】B
【解析】如图所示：位似中心F的坐标为（2，2），k的值为＝．
故选：B．
5.已知四边形ABCD∽四边形EFGH，AB＝2，EF＝3，则四边形ABCD与四边形EFGH的周长比是（　　）
A.4：9 B.1：2 C.4：3 D.2：3
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD∽四边形EFGH，AB＝2，EF＝3，
∴四边形ABCD与四边形EFGH的周长比＝AB：EF＝2：3.
故选：D．
6.比例尺为1：2000的地图上，A，B两地间的图上距离为2cm，则两地间的实际距离是（　　）
A.10m B.20m C.40m D.80000m
【答案】C
【解析】设A、B两地间的实际距离为x m，根据题意得，解得x＝40．
则A、B两地间的实际距离为40m．
故选：C．
7.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是（　　）
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
【答案】B
【解析】先由三角函数sin30°＝，cos30°＝，得出∠A与∠B的度数，再由三角形内角和定理求出∠C的度数，即可得出答案．
∵cosB＝，
∴∠B＝30°，
∵sinA＝，
∴∠A＝30°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴△ABC是钝角三角形，
故选：B．
8.如图，在四边形ABCD中，点E、F分别在AB、DC上．若四边形AEFD∽四边形EBCF，且四边形AEFD的周长等于四边形EBCF周长的，则AD与BC的长度比为（　　）
A.1：2 B.2：3 C.2：5 D.4：9
【答案】D
【解析】∵梯形AEFD∽梯形EBCF，且四边形AEFD的周长等于四边形EBCF周长的，
∴DF：FC＝2：3∴AD：EF＝EF：BC＝2：3，∴ADEF，BCEF，
∴AD：EF：BC：1： 4：6：9，∴AD：BC＝4：9．
故选：D．
9.如图所示，在数轴上点A所表示的数x的取值范围是（　　）
A.sin30°＜x＜sin60°
B.cos30°＜x＜cos45°
C.tan30°＜x＜tan45°
D.＜x＜
【答案】A
【解析】根据数轴得出1.5＜x＜2，先根据特殊角的三角函数值求出每个式子的值，再看看是否符合1.5＜x＜2即可．
从数轴可知：1.5＜x＜2，
A．sin30°＝×＝，sin60°＝，即符合1.5＜x＜2，故本选项符合题意；
B．cos30°＝≈0.57＜1，cos45°＝×＝≈1.06＜1.5，即不符合1.5＜x＜2，故本选项不符合题意；
C．tan30°＝×＝≈0.866＞1.5，tan45°＝1＜.15，即不符合1.5＜x＜2，故本选项不符合题意；
D．＝＝1.5，即不符合1.5＜x＜2，故本选项不符合题意；
故选：A．
10.已知Rt△ABC中，∠C为直角，设x＝sinA+cosA，y＝sinB+cosB，则x，y的大小关系为（　）
A.x＞y B.x＝y C.x＜y D.以上情况都有可能
【答案】B
【解析】先根据互为余角的三角函数之间的关系得出sinA＝cosB，sinB＝cosA，再由等式的性质可知sinA+cosA＝cosB+sinB，从而得出正确选项．
∵在Rt△ABC中，∠C为直角，
∴∠A+∠B＝90°，
∴sinA＝cosB，sinB＝cosA，
∴sinA+cosA＝cosB+sinB，
又∵x＝sinA+cosA，y＝sinB+cosB，
∴x＝y．
故选：B．
11.下列计算正确的是（　　）
A.tan70° tan20°＝1 B.cos70°+cos20°＝1 C.sin70°＝2sin35° D.cos70°＝cos20°+cos50°
【答案】A
【解析】先对每个选项进行化简，然后根据之间的等量关系，解出本题即可．
A、∵tan70° tan20°＝ ＝1，
故本选项正确．
B、∵cos70°+cos20°＝sin20°+cos20°
∵sin220°+cos220°＝1
sin20°+cos20°≠sin220°+cos220°
∴sin20°+cos20≠1，
∴cos70°+cos20°≠1
故本选项错误．
C、∵sin70°＝sin（35°+35°），
∴sin70°≠2sin35°，
故本选项错误．
D、∵cos70°＝cos（20°+50°），
∴cos70°≠cos20°+cos50，
故本选项错误．
故选：A．
12.如图，A（0，8），B（0，2），点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB＝m，则m的取值范围是（　　）
A.0＜m≤ B.0＜m≤ C.＜m＜ D.0＜m≤
【答案】A
【解析】点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB＝m，则m＞0，再求出m的最大值即可．过A、B、E三点的圆O′与x轴相切时，∠AEB最大，m的值最大．作O′D⊥AB于D，由垂径定理得出AD＝DB＝AB＝3，OD＝OA﹣AD＝5，那么⊙O′的半径为5．在直角△O′AD中，由勾股定理得出O′D＝＝4，则AE＝＝＝4，再作BC⊥AE于C．由S△AOE＝OA OE＝S△BOE+S△ABE，求出BC＝，CE＝＝，那么m的最大值为＝＝．
如图，过A、B、E三点的圆O′与x轴相切时，∠AEB最大．
方法1：作O′D⊥AB于D，则AD＝DB＝AB＝3，
∵OA＝8，
∴OD＝OA﹣AD＝5，
∴O′E＝O′A＝OD＝5，即⊙O′的半径为5．
在直角△O′AD中，由勾股定理得O′D＝＝4，
∴OE＝O′D＝4，
∴AE＝＝＝4，
作BC⊥AE于C．
∵S△AOE＝OA OE＝S△BOE+S△ABE，
∴×8×4＝×2×4+×4×BC，
∴BC＝，
∵BE2＝OB2+OE2＝22+42＝20，
∴CE＝＝，
∴m的最大值为＝＝，
又∵m＞0，
∴0＜m≤．
方法2：作O′D⊥AB于D，则AD＝DB＝AB＝3，
∵OA＝8，
∴OD＝OA﹣AD＝5，
∴O′E＝O′A＝OD＝5，即⊙O′的半径为5．
在直角△O′AD中，由勾股定理得O′D＝＝4，
∵∠AEB＝∠AO′D，
∴tan∠AO′D＝＝，
∴m的最大值为，
又∵m＞0，
∴0＜m≤．
故选：A．
二、填空题
13.用计算器求得tan65°≈　　（精确到0.01）．
【答案】2.14．
【解析】根据计算器即可求出答案．
tan65°≈2.14，
故答案为：2.14．
14.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则cos∠ABC的值是　　．
【答案】
【解析】首先证明∠A＝90°，再求出cos∠ABC的值．
∵BC＝＝5，AB＝＝，AC＝2，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠A＝90°
∴cos∠ABC＝＝，
故答案为．
15.如图，已知△ABC∽△AMN，点M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，则AN＝　　．
【答案】
【解析】∵△ABC∽△AMN，∴，
∵M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，∴AM＝MC＝4，∴，解得AN.
16.如图，等腰△ABC的顶角∠A＝30°，腰长AB＝2，BD为AC边上的高，根据已知条件，可求出tan15°的值为　　．
【答案】
【解析】根据题意得∠CBD＝15°．在Rt△ABD中，根据∠A＝30°，AB＝2，可求出BD和AD；因为AB＝AC＝2，所以可以求出CD．
运用正切函数定义求解．
如图所示，∠ABC＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∠ABD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DBC＝15°．
∵∠A＝30°，∴BD＝AB＝×2＝1，AD＝＝，
DC＝AC﹣AD＝2﹣．
∴tan15°＝＝2﹣．
故答案为：2﹣
17.如图1，是一种购物小拉车，底部两侧装有轴承三角轮，可以在平路及楼梯上推拉物品．拉杆固定在轴上，可以绕连接点旋转，拉杆，置物板，脚架形状保持不变．图2，图3为购物车侧面示意图，拉杆OP⊥DE，DF＝24cm，，⊙A，⊙B，⊙C的半径均为4cm，O为三角轮的中心，OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．如图2，当轮子⊙B，⊙C及点G都放置在水平地面HI时，D恰好与⊙A的最高点重合．此时，D的高度为20cm，则OA＝　　cm；如图3，拉动OP，使轮子⊙A，⊙B在楼梯表面滚动，当OA∥HI，且B，O，D三点共线时，点G与B的垂直高度差为 　　cm．
【答案】8；12+．
【解析】如图2，连接BC，延长AO交BC于J，作BQ⊥HG于Q，由圆的半径为4cm，得AJ＝12cm，设OA＝OB＝x cm，利用勾股定理即可求出OA长；作FS⊥HG，求出D、G的水平距离，如图3，连接BG，过B作水平线，与过G的铅垂线交于M，利用三角函数，即可求出GM．
如图2，连接BC，延长AO交BC于J，作BQ⊥HG于Q，
由圆的半径为4cm，得AD＝BQ＝4cm，
∵D的高度为20cm，
∴AJ＝12cm，
设OA＝OB＝x cm，
∴OJ＝12﹣x（cm），
∵OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，
∴∠BOC＝120°，∠BOJ＝60°，∠OBJ＝30°，
∴OB＝2OJ，即x＝2（12﹣x），
∴x＝8，即OA＝8cm．
故答案为：8；
如图2，作FS⊥HG，
∴FS＝20cm，
∴SG＝＝，
如图3，连接BG，过B作水平线，与过G的铅垂线交于M，
由图2得BD＝20cm，且BD⊥BG，
∴∠GBM＝30°，
∵BG＝24+（cm），
∴GM＝BG＝12+（cm），
故答案为：12+．
三、解答题
18.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上，请完成下列任务：
（1）将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C；
（2）以点O为位似中心，位似比为2，将△A1B1C放大得到△A2B2C2(在网格之内画图)．
【答案】解：（1）如图所示：△A1B1C即为所求.
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．
【解析】
19.设β为任意锐角，你能否说明tanβ与sinβ之间的大小关系？如能，请比较大小；不能，请说明理由．
【答案】解：能．理由如下：
如图，设β是Rt△ABC的一个锐角，
令∠B＝β，则tanβ＝，sinβ＝．
故tanβ＞sinβ．
【解析】
20.已知：如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°．
求：（1）AB边上的高（精确到0.01）；
（2）∠B的度数（精确到1′）．
【答案】解：（1）作AB边上的高CH，垂足为H，
∵在Rt△ACH中，，
∴CH＝AC sinA＝9sin48°≈6.69；
（2）∵在Rt△ACH中，，
∴AH＝AC cosA＝9cos48°，
∴在Rt△BCH中，，
∴∠B≈73°32′．
【解析】
21.根据下列三角比的值，用计算器求相应的锐角α：
（1）sinα＝0.6；
（2）sinα＝0.6507；
（3）cosα＝0.13；
（4）cosα＝0.2659；
（5）tanα＝11.82；
（6）tanα＝0.3705．
【答案】解：（1）∵sinα＝0.6，
∴α≈36°52′12″；
（2）∵sinα＝0.6507，
∴α≈40°35′40″；
（3）∵cosα＝0.13，
∴α≈82°31'49″；
（4）∵cosα＝0.2659，
∴α≈74°34′46″；
（5）∵tanα＝11.82，
∴α≈85°9'51“
（6）∵tanα≈0.3705，
∴α≈20°19′47″．
【解析】
22.已知：如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点P从点A开始沿AC边向点C匀速移动，点Q从点A开始沿AB边向点B，再沿BC边向点C匀速移动．若P、Q两点同时从点A出发，则可同时到达点C．
（1）如果P、Q两点同时从点A出发，以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动，当点Q移动到BC边上（Q不与C重合）时，求作以tan∠QCA、tan∠QPA为根的一元二次方程；
（2）如果P、Q两点同时从点A出发，以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动，当S△PBQ＝时，求PA的长．
【答案】解：在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝10．
∵P、Q两点从点A同时出发，可同时到达点C，
∴（1分）
（1）设P点移动的路程为x，Q点移动的路程为2x．
∴CP＝8﹣x，BQ＝2x﹣6，CQ＝16﹣2x．
作QH⊥AC，垂足为H（如下图）．
∵∠A＝90°，
∴QH∥AB，
∴
∴，
∴PH＝CH﹣CP＝（8﹣x），
∴tan∠QPA＝＝2．
∵tan∠QCA＝，
∴tan∠QPA+tan∠QCA＝，
tan∠QPA tan∠QCA＝，
∴以tan∠QCA、tan∠QPA为根的一元二次方程为
y2﹣即4y2﹣11y+6＝0．
（2）当S△PBQ＝时，设PA＝x，点Q的位置有两种情况：
①当点Q在AB上时（如图），
则AQ＝2x，BQ＝6﹣2x．
S△PBQ＝
＝
＝，
∴，
∵Δ＝9﹣，
∴此方程无实根，故点Q不能在AB上；
②当点Q在BC边上时（如图），
则QB＝2x﹣6．
作PG⊥BC，垂足为G，
∴△PCG∽△BCA，
∴，
∴，
∴S△PBQ＝
＝
＝．
∴x2﹣11x+28＝0，
解得：x1＝4，x2＝7．
∴S△PBQ＝时，PA＝4或7．
【解析】

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