资源简介

八年级数学（北师大版2024）上册章末专题
第二章 实数
（一）无理数的估算与大小比较
在中考中，无理数的估算与大小比较属于基础且高频的考点，常以选择题、填空题形式出现（分值 3-4 分），主要考查学生对 “实数概念” 的理解和 “数形结合” 的应用能力。该专题围绕 “平方与开平方的逆运算” 展开，重点掌握 5 类方法。
一、夹逼法：确定无理数的整数范围与近似值
【方法原理】
对于形如（a为非负整数，且a不是完全平方数）的无理数，先找两个连续整数n和，使，推出，确定整数部分为n，小数部分为；若需更精确近似值（如精确到 0.1），可在整数范围基础上进一步 “夹逼”。
【典型例题】
例 1：确定的整数部分、小数部分，并估算其近似值（精确到 0.1）。
解：找完全平方数：，，故，整数部分为8，小数部分为；
精确估算：计算，，因，故（精确到 0.1）.
二、数轴定位法：直观比较无理数大小
【方法原理】
利用 “实数与数轴上的点一一对应”，先构造直角三角形确定无理数的几何长度，在数轴上标出大致位置，再根据 “数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数” 比较大小。
【典型例题】
例 2：在数轴上标出、的位置，并比较它们与 2 的大小。
解：构造直角三角形：以 1 为直角边作等腰直角三角形，斜边为，移到数轴上（在 1 和 2 之间）；以 2、1 为直角边作直角三角形，斜边为，移到数轴上（在 2 和 3 之间）；
结论：.
三、转化法：比较含无理数的复杂表达式
【方法原理】
当比较 “无理数 + 有理数” 或 “无理数的和 / 差” 时，若两边均为正数，可通过 “平方转化” 简化；也可通过 “作差法” 判断差值正负，确定大小关系。
【典型例题】
例 3：比较与3.2的大小。
解：平方转化：，；
因，故>3.2.
例 4：比较与的大小。
解：作差法：设，，则；
平方比较：，；
因，故，即，所以 。
四、倒数法：比较分子为 1 的无理数表达式
【方法原理】
当比较的两个无理数表达式分子均为 1（如与）时，先对倒数分母有理化，再根据 “倒数大的数反而小” 判断原数大小。
【典型例题】
例 5：比较与的大小。
解：分母有理化：，；
因，故.
五、特殊值法：验证无理数相关结论
【方法原理】
遇到判断含无理数的代数式符号、取值范围等问题时，选取符合条件的无理数近似值（如，）代入，通过具体数值验证结论，排除错误选项。
【典型例题】
例 6：判断 “若a为无理数，则一定是无理数” 是否正确。
解：取（无理数），则（有理数），故该说法不正确。
总结
小数部分为正数：如的小数部分是，而非；
平方转化的前提：仅当两个数均为正数时，平方后大小关系不变；
估算精度不足：如需计算，确定，而非直接取 5；
绝对值方程讨论：解含无理数的绝对值方程时，需按取值范围分情况讨论，避免漏解或错解。
跟踪训练题
（一）基础题
若的整数部分为m，小数部分为n，求的值。
比较与3.8的大小。
已知n是整数，且，则n的值不可能是（ ）
A. 10 B. 12 C. 15 D. 17
若的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（ ）
（二）中档题
估算的结果在哪两个整数之间？
已知，求的值。
一个正方形的面积为 28，则它的边长最接近的整数是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
估算的结果在哪两个整数之间（ ）
（三）提升题
比较与的大小。
若有意义，且x为整数，求的近似值（精确到 0.1）。
比较与的大小。
比较大小： ______ （填 “>”“<” 或 “=”）。
四、创新型试题
定义一种新运算 “*”：对于任意两个实数m、n，规定 （其中）.
计算的值；
若，求a的值。
在数轴上有A、B两点，分别表示数和，点C是数轴上一点，且AC = 2BC，求点C表示的数。
答案与解析
，故，，。
，，因，故.
由得，17 不在此范围，故选 D。
，故a = 3，，.
（二）中档题
，，相加得，故在 9 和 10 之间。
式子变形为，代入，得.
边长为，，28 更接近 25，故选 B。
7 < < 8，故5 < < 6，答案为 5 和 6 之间。
（三）提升题
设，，则；，，因，故，，即.
由题意得，x为 2、3、4；当x = 2时，；x = 3时， = 2.0；x = 4时，.
，，因21.583 < 21.954，故 .
，，因12 < 13，故填 “<”。
（四）创新型试题
（1）；
（2）由题意得，移项平方得，再次平方得，解得（验证符合条件）。
设C表示x，则；
当时，解得（不符合，舍去）；
当时，解得（符合）；
当时，解得（符合）；
综上，点C表示的数为或.

展开更多......

收起↑