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2024-2025学年山西省临汾市曲沃县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°.若AB=6，则AC的长为（　　）
A.
B.
C. 3
D.
3.如图，在平面直角坐标系的第一象限内，正方形OABC与正方形ODEF关于原点O位似，且相似比为2：3.若点B的坐标为（2，2），则点E的坐标为（　　）
A. （1，1）
B. （3，3）
C. （4，4）
D. （5，5）
4.对于二次函数y=5（x-3）2-2，下列说法正确的是（　　）
A. 顶点坐标为（-3，-2） B. 对称轴为直线x=-3
C. 函数的最大值为-2 D. 当x＞3时，函数值y随x的增大而增大
5.2024年11月，中国苹果产业协会和国家苹果产业技术体系最新联合发布，截至目前，中国苹果产量世界第一，当前我国已培育自主产权苹果新品种152个.某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：
移植总数n 50 270 400 750 1500 3500 7000 10000 14000
成活总数m 47 235 369 682 1359 3203 6398 9102 12782
成活率 94.0% 87.0% 92.3% 90.9% 90.6% 91.5% 91.4% 91.0% 91.3%
估计这一类新品种苹果树成活的概率为（　　）
A. 89% B. 90% C. 91% D. 92%
6.如图，AD∥BE∥CF，直线a、b与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.若AB=3，BC=5，EF=4，则DF的长为（　　）
A.
B.
C. 2
D.
7.北岳恒山位于大同市浑源县，与东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、中岳嵩山并称为中华五岳.如图是恒山景区内一段索道的示意图，若索道上A，B两点间的距离为60m,这段索道与铅垂方向BC的夹角∠ABC=α，则当缆车沿索道从点A处运行到点B处时，缆车上升的垂直高度为（　　）
A. B. C. 60cosαm D. 60sinαm
8.如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，且，连结CD.若弦CD=3，则直径AB的长为（　　）
A. 3
B. 6
C.
D.
9.洪洞大槐树寻根祭祖园旅游景区是以“大槐树移民见证地与寻根祭祖圣地”人文景区为主、自然生态与建筑景观为辅的大型综合性科普人文旅游景区.如图是景区中的三个景点，将其放在适当的平面直角坐标系中，若广济寺和祭祖堂的坐标分别为（1，2），（-1，1），则魁星楼的坐标为（　　）
A. （-2，-1） B. （-2，1） C. （-2，-2） D. （2，1）
10.随着自动化设备的普及，许多家庭庭院也引入了自动喷灌系统.如图，喷灌器喷水点A到地面的高度为0.25m,喷出的水柱在离喷水口水平距离为2m达到最高0.45m,且水柱刚好落在庭院围墙与地面的交界点B处.若喷灌器喷出的水柱是抛物线，则喷灌器OA与围墙的距离OB为（　　）
A. 3.5m B. 4m C. 4.5m D. 5m
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.2024年元旦假期，小明和爸爸、妈妈、妹妹去附近一家餐厅就餐，爸爸已经坐在④号座位.若小明在①～③号座位中随机选择一个座位就座，则小明恰好坐在爸爸正对面的概率为 .
12.如图，四边形ABCD的四个顶点均在⊙O上，连结OA，OC.若∠AOC=114°，则∠ADC的度数为 °.
13.如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则∠BAC的正弦值为 .
14.如图，某综合与实践小组想要确定某池塘的长度AB，先在池塘的一侧取一个可以直接到达点A，B的点E，经测量得到AE=4.5m,BE=6m.若在AE，BE的延长线上分别取点C，D，使CE=1.5m,DE=2m,连结CD，测得CD=1.8m,则该池塘的长度AB为 m.
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AD平分∠BAC，E为AD的中点，连结BE，∠ADB的平分线交BE于点F.若AB=12，则EF的长为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
（1）计算；
（2）解方程：x2-8x+9=0.
17.(本小题7分)
山西的四大旗舰物种是黑鹳（guàn）、原麝（shè）、华北豹、褐马鸡，某校的野生动植物保护兴趣小组想要将该四大旗舰物种作为自己的课外调查研究内容，但由于时间关系，每位小组成员只能从中随机选择一种调查研究，为保持公平性，他们将这四大旗舰物种的图片制成了四张质地大小完全相同的卡片，背面朝上洗匀后，该小组成员小颖和小梅各自从中随机抽取一张来确定自己的课外调查研究内容（第一人抽完放回洗匀后另一人再抽取）.请你用列表或画树状图的方法，求两人抽取到同一旗舰物种卡片的概率.
18.(本小题8分)
如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E，连结AC，BD，其中AC=2，OA=3.
（1）求tan∠BDC的值.
（2）若BE=2CE，请直接写出BD的长.
19.(本小题8分)
如图，有一张长为50cm,宽为25cm的矩形铁皮废料，焊工师傅决定先裁去两个小正方形和两个小矩形（阴影部分），后按图中虚线部分折叠，焊接成一个有盖的长方体铁质工具箱，用来收纳工具.如果将该工具箱面积最大的一面作为底面，且底面面积为300cm2，求该长方体铁质工具箱的容积.
20.(本小题9分)
汾河是黄河的第二大支流，自北向南，纵贯山西，被山西人称为母亲河，对山西省的历史文化有着深远的影响.某项目学习小组的同学想要测量某段汾河的宽度，他们设计了如下测量方案：如图，在该段汾河的对岸岸边任取一点A，再在河的这边取两点B，C，在点B处测得AB与河岸的夹角α为20°，在点C处测得AC与河岸的夹角β为45°，B，C两点间的距离为300m.
（1）求该段汾河的宽度（即△ABC中BC边上的高）.（结果精确到0.1m；参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
（2）请再设计一种测量该段汾河宽度的方案.（要求：画出测量示意图，并简要说明测量方案及测量数据）
21.(本小题8分)
阅读与思考
下面是小芸同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务.
用转化的思想解方程
我们知道一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法有四种，在解一元二次方程时，应该根据系数的特征选择恰当快捷的方法求解.例如：当c=0时，常选用因式分解法求解；当b=0，且ac＜0时，常选用直接开平方法求解…但是在求解的过程中发现，不管使用哪种方法求解，都是将一元二次方程转化为一元一次方程，通过求解一元一次方程得到一元二次方程的解.
通过查阅资料，我发现，不止解一元二次方程可以使用转化思想将其转化为解一元一次方程，解一元多次方程也可以使用转化思想将其转化为解一元一次方程.
例如：解方程x3-4x=0.
解：提取公因式，得x（x2-4）=0.…第一步
分解因式，得x（x-2）（x+2）=0.…第二步
∴x=0或x-2=0或x+2=0.…第三步
∴x1=0x2=2，x3=-2.…第四步
…
任务：
（1）在上述材料中，第二步分解因式的依据是______.
（2）请参照材料中的方法，解方程x3-4x2+4x=0.
（3）实际上，除解方程外，初中数学还有一些知识也可以用转化思想来解决.例如：可用转化思想解二元一次方程组.请你再举出一例：______.
22.(本小题12分)
综合与实践
问题情境：
学校有一块矩形空地，空地中有一条小路可近似地看成抛物线的一部分，该抛物线的顶点在矩形空地的边上.为了将此矩形空地加以利用，设置课外活动区和劳动实践区，其余部分为绿化区域，现面向全体同学征集设计方案.
方案设计：
小慧同学设计了如下方案：
第一步，如图1，在矩形OABC中，OA=8m,以边OA所在直线为x轴，边OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，其中抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点D，抛物线的顶点G在矩形OABC的边BC上.根据测得的数据得到小路所在抛物线的函数表达式为.
第二步：如图2，连结AD，将其作为小路，在线段AD上取一点F，过点F作FE∥y轴与抛物线交于点E，连结DE，将△DEF设置为课外活动区.
第三步：如图2，在线段AD上取一点M，过点M分别作MH⊥x轴于点H，MN⊥y轴于点N将四边形MNOH设置为劳动实践区.
问题解决：
（1）请直接写出直线AD的函数表达式.
（2）①当△DEF是以EF为底边的等腰三角形时，求所设置的课外活动区底边EF的长；
②求所设置的劳动实践区（四边形MNOH）的最大面积.
（3）在满足（2）的条件下，请直接写出此矩形空地中绿化区域的面积.（小路的面积忽略不计）
23.(本小题13分)
综合与探究
问题情境：
在数学活动课上，同学们用两个全等的矩形纸片ABCD和AEFG探究旋转的性质，将矩形纸片AEFG绕点A逆时针旋转，其中AB=AE=6，AD=AG=8.
初步探究：
（1）如图1，连结BE，DG，在矩形纸片AEFG旋转的过程中的值为______.
问题解决：
（2）如图2，连结BD，当点E恰好落在BD上（不与点B重合）时，EF与边AD交于点M，延长FE交边BC于点N，求MN的长.
（3）连结CE，CF，当∠CEF=90°时，请直接写出△CEF的面积.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】123
13.【答案】
14.【答案】5.4
15.【答案】
16.【答案】；
，
17.【答案】．
18.【答案】；
4
19.【答案】该长方体铁质工具箱的容积为1500cm3．
20.【答案】约为469m；
测量该段汾河宽度的方案，如图2即为所求．

21.【答案】平方差公式；
x1=0，x2=2；
解不等式x2-3x+2＞0
22.【答案】；
①EF=4；
②劳动实践区（四边形MNOH）的最大面积8；
此矩形空地中绿化区域的面积为34m2
23.【答案】；
；
16或64
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