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2024-2025学年山西省吕梁市孝义市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.分形图形是一种具有自相似性的图形.下列四个分形图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2.将抛物线y=-（x-2）2-1向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到抛物线的函数表达式为（　　）
A. y=-（x-3）2+2 B. y=-（x-3）2-4 C. y=-（x-1）2+2 D. y=-（x-1）2-4
3.已知反比例函数，则下列描述不正确的是（　　）
A. 图象必经过点（-1，-3） B. 图象位于第一、第三象限
C. 当x＜0时，y随x的增大而减小 D. 当x＞1时，y＜3
4.在平面直角坐标系中，四边形ABCD顶点A的坐标为（2，-4），若以原点O为位似中心，画出四边形A′B′C′D′，使它与四边形ABCD的相似比为，则点A′的坐标为（　　）
A. （3，-6） B. （-6，3）
C. （3，-6）或（-3，6） D. （-6，3）或（6，-3）
5.某校九年级数学兴趣小组做摸球试验，在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的黑球、白球共20个.将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色后再放入袋中，不断重复，如表是试验中的一组数据，由此可以估计袋中白球的个数为（　　）
摸球次数n 摸到黑球的次数m 摸到黑球的频率
50 28 0.56
100 61 0.61
150 93 0.62
200 124 0.62
250 145 0.58
300 189 0.63
500 300 0.60
A. 7 B. 8 C. 10 D. 12
6.已知点A（x1，-3），B（x2，-1），C（x3，2）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系用“＜”连接的结果为（　　）
A. x2＜x1＜x3 B. x1＜x2＜x3 C. x3＜x1＜x2 D. x3＜x2＜x1
7.光伏发电是世界新能源重要产业之一，中国光伏发电产业占据全球85%的产能.据统计，从2021年到2023年，山西省光伏发电并网容量累计达1459万千瓦，其中2021年光伏发电并网容量为355万千瓦.若设从2021年到2023年山西省平均每年光伏发电并网容量的增长率为x,则下列方程正确的是（　　）
A. 355（1+2x）=1459 B. 355[1+（1+x）+（1+2x）]=1459
C. 355（1+x）2=1459 D. 355[1+（1+x）+（1+x）2]=1459
8.已知二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的自变量x与函数y的部分对应值如表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 …
y … -3 -1 -3 …
下列结论正确的是（　　）
A. 函数图象开口向上
B. 2a+b=0
C. 当x＞0时，y随x的增大而减小
D. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a,b,c是常数，a≠0）有两个不相等的实数根
9.如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，且DE∥AB，连接AE，BD相交于点F，若S△ADE：S△CDE=3：2，则S△DEF与S△ABF的比为（　　）
A. 2：3
B. 4：9
C. 2：5
D. 4：25
10.如图，以正六边形ABCDEF的顶点A为圆心，AC的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为π，则正六边形的边长为（　　）
A. 2
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若关于x的一元二次方程（x+2）2+k=3有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .
12.如图，AB是⊙O的直径，过点D的切线与AB的延长线相交于点C，且∠C=3∠A，则∠C的度数为 °.
13.根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数.当受力面积S=0.1m2时，该物体承受的压强p=1000Pa；当受力面积S=0.25m2时，该物体承受的压强p= Pa.
14.掷实心球是我市初中学业水平体育考试项目之一，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作抛物线.在一次模拟测试中，小明掷出的实心球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则该次测试小明的成绩为 m.
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4.将△ABC以点C为中心逆时针旋转得到△A′B′C.若点A′在AB的延长线上，则线段BB′的长为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
（1）解方程：3x2-4x-1=0；
（2）解方程：（x-2）2=2x-4.
17.(本小题7分)
如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接OA，OB，则△AOB的面积为______；
（3）结合图象，请直接写出不等式的解集.
18.(本小题8分)
2025年央视春晚的主题为“巳巳如意，生生不息”.双巳合璧，事事如意，这是乙巳蛇年与如意之间吉祥曼妙的创意链接，饱含喜庆美好的家国祝福，更彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量.现将分别印有“巳”“巳”“如”“意”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片的形状、大小、质地等完全相同，即除印有的字外无其他差别.
（1）若从盒子中随机摸出一张卡片，则摸出的这张卡片上印有“巳”的概率为______；
（2）若从盒子中随机摸出一张卡片，记下这张卡片上印有的字后放回摇匀，再从盒子中随机摸出一张卡片，请你用列表法或画树状图法，求摸出的这两张卡片上印有“如”“意”的概率.
19.(本小题7分)
2024年11月28日，随着最后一棵玫瑰花苗在于田县植入沙土，环绕塔克拉玛干沙漠边缘全长3046公里的绿色阻沙防护带，终于完成了它的最后一块拼图，形成了世界上最长的环沙漠绿色生态屏障.建设阻沙防护带的方法之一是在如图2所示的矩形沙地中，通过在阴影部分种植红柳等固沙植物，把一块块沙地分割包围，以此阻止沙粒流动.若图2所示的矩形沙地长为30米，宽为24米.横向、纵向种植红柳部分的宽度比为2：3，且红柳种植面积是矩形沙地总面积的三分之一，求横向、纵向种植红柳的宽度各是多少米？
20.(本小题8分)
利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度.某校“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告.
活动课题 测量学校旗杆的高度
活动目的 利用相似三角形知识解决实际问题
活动工具 皮尺、镜子、标杆等
测量方案 方案A：利用影子 方案B：利用镜子 方案C：利用标杆
测量示意图
测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为1.6米的小乐的影长EF为2.4米，同时测得旗杆的影长BC为22.5米. 小慧在她脚下放置镜子C，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部A.小组同学测得小慧的眼睛距离地面的高度DE为1.5米，小慧到镜子的距离EC为2.1米，旗杆到镜子的距离BC为21米. 小智在他前面立一根标杆EF，当小智的眼睛C、标杆顶部E、旗杆顶部A在同一直线上时，小组同学测得标杆EF高为2米，小智的眼睛距离地面的高度CD为1.55米，小智与旗杆AB之间的距离DB为40.35米.
计算结果 … … …
活动反思 …
根据上面活动报告，解答下列问题：
（1）利用方案A测得旗杆AB的高度为______米；
（2）请将方案B的测量示意图补充完整，并求出旗杆AB的高度；
（3）小智在利用方案C计算旗杆AB的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗杆AB的高度.（不需写出计算过程）
21.(本小题10分)
阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记，请认真阅读并完成相应任务.
×年×月×日星期日晴
“婆罗摩笈多定理”的拓展与思考
今天，我在一本数学杂志上看到一篇介绍印度数学家“婆罗摩笈多”的文章，文章转述了婆罗摩笈多在算术、不定方程、几何等内容上的伟大成就，其中还记载了以他的名字命名的一个定理，定理的内容与证明过程如下：
婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边.即在如图1所示的圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为P，过点P作PH⊥CD，垂足为H.延长HP与AB交于点G，则AG=BG.
下面是该定理的证明过程.
证明：∵AC⊥BD，垂足为P.PH⊥CD，垂足为H.
∴∠DPC=∠PHC=90°.
∴∠DPH+∠HPC=90°，∠HCP+∠HPC=90°.
∴∠DPH=∠HCP.
∵∠HCP与∠PBA都是所对的圆周角，
∴∠HCP=∠PBA.（依据1）
∵∠DPH=∠BPG.
∴∠BPG=∠PBA.
∴PG=BG.（依据2）
同理，AG=PG.
∴AG=BG.
看了上面定理的证明过程后，我作出了如下拓展探究：
如图2，若弦AC与BD所在直线互相垂直，且相交于⊙O外一点P，过点P作PH⊥CD，垂足为H，与AB相交于点G，则AG与BG仍然相等.
…
任务：
（1）填空：材料中的依据1是指______，依据2是指______.
（2）小宇在拓展探究中得出的结论是否正确？请利用图2说明理由.
（3）如图3，在图1的基础上，过点P作PM⊥AB，垂足为M.延长MP交CD于点N.连接GN.若AC=18，BD=16.请直接写出GN的长.
22.(本小题12分)
综合与实践
为践行五育融合，落实劳动教育，引导学生在劳动实践中树立正确的劳动观点和劳动态度，某校开展了“劳动周”主题实践活动.图1所示是该学校劳动实践园地截面示意图，其中AB为该园地斜坡坡面所在直线，OB，OA分别表示斜坡在竖直平面内的铅直高度和水平宽度.斜坡顶部B处有一竖立的喷灌BC，C处喷头可以沿斜坡向下喷水（喷出的水流成抛物线状），用于浇灌园地内种植的植物.当喷灌喷射最远时，喷出的水流正好能喷到坡脚A处，此时水流最高点P距BC的水平距离为1米.现已知OB≡2米，OA=8米，BC=0.4米.
数学建模：
（1）在图1中，以点O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.当喷出的水流刚好喷到坡脚A处时，设水流某处距离OA的高度为y（米），该处距离OB的水平距离为x（米），求y与x之间的函数表达式；问题解决：
（2）“智慧小组”提出问题：若点M为（1）中抛物线上任意一点，过点M作OA的垂线，与AB相交于点N，设点M的横坐标为m,线段MN的长度为d,求出函数d的最大值，并再写出函数d的一条性质.请你解答此问题；
（3）如图2，“劳动实践”小组计划在斜坡EF的范围内种植高度为0.6米的雪冬青，为保证喷灌喷射最远时，喷出的水流不被破坏，要求最外侧的雪冬青顶端与水流间的铅直距离为0.1m.请直接写出斜坡EF的长度.
23.(本小题13分)
综合与探究问题情境：
如图1，点E是正方形ABCD的对角线AC上一点，DE的延长线与AB的延长线交于点F.将△ADE以点A为中心，顺时针旋转90°得到△ABE′（点E与点E′对应），连接E′F.
数学思考：
（1）求证：EF=E′F；
拓展探究：
（2）如图2，连接CF.若∠CFE′=90°，DF与CB交于点P，判断CP与BF的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若AD=4，求BP的长.请直接写出结果.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】k＜3
12.【答案】54
13.【答案】400
14.【答案】10
15.【答案】
16.【答案】，；
x1=2，x2=4
17.【答案】；
；
或x＞6
18.【答案】；

19.【答案】解：设横向种植红柳的宽度为2x米，纵向种植红柳的宽度为3x米，
根据题意列一元二次方程得，，
解得x1=1，x2=10，
当x=10时，30-2×3x=30-2×3×10=30-60=-30＜0，
∴x=10不符合题意，舍去，
当x=1时，2x=2×1=2，3x=3×1=3，
答：横向种植红柳的宽度为2米，纵向种植红柳的宽度为3米．
20.【答案】15；
补全测量示意图如下所示，
AB=15m；
还需要测出线段DF（或线段FB）的长度
21.【答案】同弧所对的圆周角相等，等角对等边；
小宇在拓展探究中得出的结论正确；理由如下：
∵DP⊥CP，PH⊥CD，
∴∠DPC=90°，∠PHC=90°，
∴∠PDC+∠PCD=90°，∠HPC+∠PCD=90°，
∴∠PDC=∠HPC，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAC+∠BDC=180°，
∴∠GPA+∠BAC=180°，
又∵∠BAC+∠GAP=180°，
∴∠GPA=∠GAP，
∴AG=PG，
同理，BG=PG，
∴AG=BG；

22.【答案】；
，当时，d随m的增大而减小；
米
23.【答案】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC=∠CAB=45°，
∵将△ADE以点A为中心，顺时针旋转90°得到△ABE′，
∴EA=E′A，∠EAE′=90°，
∴∠E′AF=∠EAF=45°，
在△E′AF和△EAF中，
，
∴△E′AF≌△EAF（SAS），
∴EF=E′F；
CP=BF；理由如下：
由 得△E′AF≌△EAF（SAS），EF=E′F，
∴∠E′AF=∠EAF=45°，∠E′FA=∠AFE，
设∠E′FA=∠AFE=α，则∠CEF=∠AFE+∠CAB=45°+α，∠ADF=90°-∠AFE=90°-α，
∵将△ADE以点A为中心，顺时针旋转90°得到△ABE′（点E与点E′对应），
∴∠ADF=∠ABE′=90°-α，
∴∠FBE′=180°-∠ABE′=90°+α，
∵∠CPF=∠PBF+∠PFB=90°+α，
∴∠CPF=∠FBE′=90°+α，
∵∠CFE′=90°，
∴∠CFE=90°-2α，
∴∠ECF=180°-∠CFE-∠CEF=180°-（90°-2α）-（45°+α）=45°+α=∠CEF，
∴EF=CF，
∴CF=E'F，
∵∠PCF=∠ECF-∠ACB=45°+α-45°=α，
∴∠PCF=∠E′FB=α，
在△CPF和△FBE′中，
，
∴△CPF≌△FBE′（AAS），
∴CP=BF；
BP的长为
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