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安徽省合肥市第四十五中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷
1．（2024九上·合肥期中）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　）
A．顶点坐标为 B．顶点坐标为
C．顶点坐标为 D．顶点坐标为
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数二次函数的顶点坐标为，
故选：．
【分析】根据二次函数的顶点式确定抛物线的顶点坐标，即可求解．
2．（2024九上·合肥期中）已知，那么下列等式中，不一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、有无数个值，故A错误，故A选项符合题意；
B、由比例的性质，得，故B正确，故B选项不符合题意；
C、由合比性质，得，故C正确，故C选项不符合题意；
D、由合比性质，得，故D正确，故D选项不符合题意；
故选：A．
【分析】根据比例的性质，可判断A、B；根据合比性质，可判断C、D．
3．（2024九上·合肥期中）下列说法正确的是（　　）
A．所有的矩形都是相似形
B．所有的等腰直角三角形都相似
C．对应角相等的两个多边形相似
D．对应边成比例的两个多边形相似
【答案】B
【知识点】图形的相似；相似多边形
【解析】【解答】A、所有的矩形不一定是相似形，对应边不一定成比例，原说法错误，不符合题意；
B、所有的等腰直角三角形都相似，正确，符合题意；
C、对应角相等的两个多边形不一定相似，对应边的比值不一定相等，原说法错误，不符合题意；
D、对应边成比例的两个多边形，对应角不一定相等，原说法错误，不符合题意，
故选：B．
【分析】相似图形的对应角相等，对应边成比例．利用相似图形的判定方法分别判断得出即可．
4．（2024九上·合肥期中）关于二次函数的图象，下列说法错误的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．当时，y随x的增大而增大 D．抛物线和x轴交于、
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴，
∴抛物线开口向下，
故A正确，不符合题意；
当时，，
解得，
∴抛物线对称轴为直线，
故B正确，不符合题意；
又∵抛物线开口向下，
对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
故C错误，符合题意；
抛物线和x轴交于、，
故D正确，不符合题意．
故选：C．
【分析】根据二次函数的性质，抛物线和x轴的交点等逐项进行分析即可．
5．（2024九上·合肥期中）关于反比例函数的说法正确的是(　　)
A． B．随的增大而减小
C．其图象关于轴对称 D．若点在其图象上，则
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵，故A错误，不符合题意；
∵
∴图象位于一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故B错误，不符合题意；
反比例函数的图象关于直线或成轴对称，不关于轴对称，故C错误，不符合题意；
将代入得，，故D正确，符合题意，
故选：D．
【分析】根据反比例数的定义可得出，判断A选项，进而根据可得图象位于一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，判断B选项，根据反比例函数图象直线或成轴对称，即可判断C选项，将代入得，，即可判断D选项，即可求解．
6．（2024九上·合肥期中）如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，故A不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，故B不符合题意；
C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，故C符合题意；
D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】
根据相似三角形的判定条件，若两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似，因而只需判断每个选项中剪下的阴影三角形与原三角形∠A=76°的对应角是否相等，即可确定它们是否相似，逐一判断即可解答.
7．（2024九上·合肥期中）二次函数（a，b，c是常数）的图象如图，则双曲线和直线的位置可能为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：当时，，
∴双曲线过二、四象限，排除选项B、C，
直线中的，排除选项D，
选项A符合以上推理出来的条件．
故选：A．
【分析】由二次函数的图象可得，，据此判断一次函数和反比例函数的图象即可．
8．（2024九上·合肥期中）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x、y轴的交点分别为A、B，P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，求的最小值（　　）
A． B． C．5 D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：如图，令抛物线与x轴的另一个交点为，即点A关于对称的点是C，连接与直线的交点即为点P．
由图象可知，，
∵对称轴是直线，
∴．
令，则，
∴，
∴，
∴的最小值为5．
故选：C．
【分析】令抛物线与x轴的另一个交点为，即点A关于对称的点是C，连接与直线的交点即为点P．利用勾股定理求出，即可得到答案．
9．（2024九上·合肥期中）如图，点D是内一点，点E在线段的延长线上，与交于点O，分别连接、、，如果，那么下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
D选项的结论符合题意
，，
则，
，
，
与不一定相等，
故C选项的结论不符合题意，
已知条件不能证明，，故A、B选项不符合题意，
故答案为：D．
【分析】
根据相似三角形的判定与性质：三边对应相等的两个三角形相似，可得，再通过相似三角形的性质得到，结合已知条件，利用AA可判定再通过相似三角形的性质可得到D选项正确，利用AA可判定，可判定C错误，其余选项不能推导，逐一判断即可解答．
10．（2024九上·合肥期中）如图1，点为矩形边上一点，，点P点Q同时从点B出发，点P沿运动到点C停止，点Q沿运动到点C停止，它们的运动速度都是．设P，Q出发t秒时，的面积为，已知y与t的函数关系的图象如图2．则下列结论：①；②当时，；③点H的坐标为；④若与相似，则秒，其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，且P和Q速度相同，
∴当P到达点E时，Q到达点C，
由图2可知此时，，
即，，
∴，
解得，故①正确，符合题意；
由图2易得，
设，将M坐标代入得，
∴，故②正确，符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点H的坐标为，故③正确，符合题意；
当时，，此时是等腰三角形，
而是直角三角形，很明显不相似，故④错误，不符合题意；
所以正确的结论有3个，
故选：C．
【分析】根据图2结合，且P和Q速度相同，可得当P到达点E时，Q到达点C，即可求出的长；再根据点M的坐标可求出当时，与的函数关系式；利用勾股定理求出，进而求出，结合函数图象即可求出点H的坐标；当时，，此时是等腰三角形，从而判断④．
11．（2024九上·合肥期中）抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为，即．
故答案为：．
【分析】
根据二次函数的图象与几何变换，结合左加右减，上加下减即可解答．
12．（2024九上·合肥期中）研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉产音效果最佳，如图，主持人现站在8米舞台的左边端点P处，那时要站在最佳位置处时至少要走　 　米（结果保留根号）．
【答案】
【知识点】比例的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：设至少向前走米，
依题意得，，
解得，．
即主持人站在最佳位置处时至少要走米，
故答案为：．
【分析】
设至少向前走米，由黄金比列出方程，再根据比例的性质计算即可解答．
13．（2024九上·合肥期中）如图，在中，D、E分别是、上的点，与相交于点G，若，，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：过点D作交于点H，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值是．
故答案为：．
【分析】
过点D作交于点H，根据平行线分线段成比例定理得出，，即可解答．
14．（2024九上·合肥期中）如图，反比例函数的图象分别交矩形的边、于点D、E，，，则　 　；连接．若把沿翻折，点B恰好落在x轴上的点F处，则k的值为　 　．
【答案】6；
【知识点】反比例函数的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过D作于点H，如图，
∵沿翻折，点B恰好落在x轴上的点F处，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴设，则，．
∵，反比例函数，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
由翻折的性质得：，，
∴，，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
解得：，
∴，
故答案为：6，．
【分析】过D作于点H，设，则，．根据反比例函数解析式，得到，，进而得到，，由翻折的性质得：，，证明，得到，求出的值，即可得到k的值．
15．（2024九上·合肥期中）已知实数x，y，满足，试求的值．
【答案】解：设，
则，
所以，
．
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】设，根据比例的性质得出，再把，代入求出即可．
16．（2024九上·合肥期中）已知抛物线．
（1）将化成的形式；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线．
x … 　 　 　 　 　 …
y …
　 　 　 　 …
（3）取何值时，
【答案】（1）解：；
（2）解：当的值为时对应的y的值分别为：，如表所示，
x … …
y … …
故答案为：；；
图象如下图所示：
（3）解：由图象得：当或时，．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；作图-二次函数图象
【解析】【分析】（1）运用配方法即可求解；
（2）取自变量的值代入计算，运用描点，连接即可作图；
（3）根据图示，运用二次函数与轴的交点即可求解．
（1）解：；
（2）解：当的值为时对应的y的值分别为：，如表所示，
x … …
y … …
故答案为：；；
图象如下图所示：
（3）解：由图象得：当或时，．
17．（2024九上·合肥期中）在13×13的网格图中，已知△ABC和点M(1，2)．
(1)以点M为位似中心，画出△ABC的位似图形△A'B'C'，其中△A'B'C'与△ABC的位似比为2；
(2)写出△A'B'C'的各顶点坐标．
【答案】解：（1）如图，△A'B'C'为所作；
（2）A'(3，6)，B'(5，2)，C'(11，4)．
【知识点】作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【分析】（1）延长MA到A'使AA'=MA，则点A'为A的对应点，同样方法作出B、C的对应点B'、C'，从而得到△A'B'C'；
（2）利用（1）所画图形可得到△A'B'C'的各顶点坐标．
18．（2024九上·合肥期中）如图，在中，D为上一点，且，，．
（1）求证：；
（2）若的面积为18，求的面积．
【答案】（1）证明：，，
，
，
，，
，
，
（2）解：，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据题意得到，再结合，即可证明相似；
（2）由相似三角形，得到，进而得到，即可求出的面积．
（1）证明：，，
，
，
，，
，
，
（2）解：，
，
，
，
．
19．（2024九上·合肥期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点B的坐标为．
（1）求反比例函数的解析式及A点坐标；
（2）直接写出不等式时x的取值范围．
【答案】（1）解：将代入得：，
解得：，
∴，
将代入得，
∴反比例函数的解析式为；
联立，解得或，
∴；
（2）解：由图象可得，不等式时x的取值范围是或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）因为两直线交于A，B两点，因此将代入可解得故，再代入解析式求得，联立，计算即可得解；
（2）由函数图象选取图象在之下，根据交点完成求解．
（1）解：将代入得：，
解得：，
∴，
将代入得，
∴反比例函数的解析式为；
联立，解得或，
∴；
（2）解：由图象可得，不等式时x的取值范围是或．
20．（2024九上·合肥期中）如图，E为的边的延长线上一点，连接，交与点O，交与点 F，求证：．
【答案】解：∵为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】根据题意利用平行四边形性质得出对应的角相等，进而证明，根据平行关系可得到，再证明，继而利用相似三角形对应边成比例即可得到本题答案．
21．（2024九上·合肥期中）一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某摩托车配件店经市场调查，发现一款进价为80元的新款头盔，售价为100元时，销量为160件，售价每增加10元，销量减少20件，设每月的销售利润y（元），售价提高x（元）．
（1）求销售利润y关于x的函数解析式；
（2）若获利不得高于进价的，那么售价提高多少元时，月销售利润达到最大？
【答案】（1）解：由题意得，，
销售利润y关于x的函数解析式为．
（2）解：获利不得高于进价的，
，
解得：，
的取值范围为，
，
当时，y随x的增大而增大，
当时，y取得最大值，
售价提高28元时，月销售利润达到最大．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用公式：销售利润单件头盔利润销售量，列出y关于x的函数解析式即可；
（2）根据题意“获利不得高于进价的”，所以可列出不等式求出的取值范围，结合二次函数的性质分析在求得区间单调递增，所以当时，y取得最大值．
（1）解：由题意得，，
销售利润y关于x的函数解析式为．
（2）解：获利不得高于进价的，
，
解得：，
的取值范围为，
，
当时，y随x的增大而增大，
当时，y取得最大值，
售价提高28元时，月销售利润达到最大．
22．（2024九上·合肥期中）阅读材料：设二次函数的图象的顶点坐标分别为，若，且开口方向相间，则称互为“致真二次函数”．
（1）请写出二次函数的一个“致真二次函数”　 　；
（2）已知关于x的二次函数和二次函数，若函数互为“致真二次函数”，求a的值；
（3）在（2）的条件下，若直线与和图象分别交于点E和点F，当时，求线段的最大值．
【答案】（1）
（2）解：根据题意得：二次函数和二次函数的顶点分别为和，
∵函数互为“致真二次函数”，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为3．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴顶点坐标为，
∴其“致真二次函数”的顶点是，
∵它们开口方向相同，
∴其“致真二次函数”可以为：，
故答案为：（答案不唯一）；
【分析】（1）改写函数为顶点式，得到顶点值，再根据根据“致真二次函数”的定义得出答案；
（2）根据“致真二次函数”的定义可得，解得；
（3）因为，所以由，带入可得，再由二次函数的性质，求得最值．
（1）解：∵，
∴顶点坐标为，
∴其“致真二次函数”的顶点是，
∵它们开口方向相同，
∴其“致真二次函数”可以为：，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）解：根据题意得：二次函数和二次函数的顶点分别为和，
∵函数互为“致真二次函数”，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为3．
23．（2024九上·合肥期中）【数学模型】
（1）如图1，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，，垂足为点O，则　 　．
（2）【模型探究】
如图2，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，与交于点O，且，请证明：；
（3）【拓展应用】
如图3，在平行四边形中，点E、F、G分别在边、、上，连接与交于点O，其中，，，且，求的值．
【答案】（1）解：∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，故答案为：；（2）证明：∵，，∴，又∵，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：过点C作，交于点H，如图所示：∵四边形是平行四边形，∴，，，，∴四边形为平行四边形，∴，∵，∴，同（2）可得，∴，在上取一点P使得，连接，∵，，∴，∴是等边三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，设，则，，∴，∵，∴，解得：，∴，∴．
（1）
（2）证明：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点C作，交于点H，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
同（2）可得，
∴，
在上取一点P使得，连接，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据矩形的性质与角换算，证明，根据相似三角形对应边成比例可得，最后根据，，得出；
（2）根据对角的计算得到，根据相似三角形对应边成比例得出，证明四边形是平行四边形，在根据平行四边形的性质得出，，所以有，得出，即可得出，即。
（3）过点C作，交于点H，同（2）可得，即可得出，证明，得出，设，则，，根据，得出，求出，所以有即．
1 / 1安徽省合肥市第四十五中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷
1．（2024九上·合肥期中）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　）
A．顶点坐标为 B．顶点坐标为
C．顶点坐标为 D．顶点坐标为
2．（2024九上·合肥期中）已知，那么下列等式中，不一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九上·合肥期中）下列说法正确的是（　　）
A．所有的矩形都是相似形
B．所有的等腰直角三角形都相似
C．对应角相等的两个多边形相似
D．对应边成比例的两个多边形相似
4．（2024九上·合肥期中）关于二次函数的图象，下列说法错误的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．当时，y随x的增大而增大 D．抛物线和x轴交于、
5．（2024九上·合肥期中）关于反比例函数的说法正确的是(　　)
A． B．随的增大而减小
C．其图象关于轴对称 D．若点在其图象上，则
6．（2024九上·合肥期中）如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024九上·合肥期中）二次函数（a，b，c是常数）的图象如图，则双曲线和直线的位置可能为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024九上·合肥期中）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x、y轴的交点分别为A、B，P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，求的最小值（　　）
A． B． C．5 D．
9．（2024九上·合肥期中）如图，点D是内一点，点E在线段的延长线上，与交于点O，分别连接、、，如果，那么下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024九上·合肥期中）如图1，点为矩形边上一点，，点P点Q同时从点B出发，点P沿运动到点C停止，点Q沿运动到点C停止，它们的运动速度都是．设P，Q出发t秒时，的面积为，已知y与t的函数关系的图象如图2．则下列结论：①；②当时，；③点H的坐标为；④若与相似，则秒，其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2024九上·合肥期中）抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为　 　．
12．（2024九上·合肥期中）研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉产音效果最佳，如图，主持人现站在8米舞台的左边端点P处，那时要站在最佳位置处时至少要走　 　米（结果保留根号）．
13．（2024九上·合肥期中）如图，在中，D、E分别是、上的点，与相交于点G，若，，则的值是　 　．
14．（2024九上·合肥期中）如图，反比例函数的图象分别交矩形的边、于点D、E，，，则　 　；连接．若把沿翻折，点B恰好落在x轴上的点F处，则k的值为　 　．
15．（2024九上·合肥期中）已知实数x，y，满足，试求的值．
16．（2024九上·合肥期中）已知抛物线．
（1）将化成的形式；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线．
x … 　 　 　 　 　 …
y …
　 　 　 　 …
（3）取何值时，
17．（2024九上·合肥期中）在13×13的网格图中，已知△ABC和点M(1，2)．
(1)以点M为位似中心，画出△ABC的位似图形△A'B'C'，其中△A'B'C'与△ABC的位似比为2；
(2)写出△A'B'C'的各顶点坐标．
18．（2024九上·合肥期中）如图，在中，D为上一点，且，，．
（1）求证：；
（2）若的面积为18，求的面积．
19．（2024九上·合肥期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点B的坐标为．
（1）求反比例函数的解析式及A点坐标；
（2）直接写出不等式时x的取值范围．
20．（2024九上·合肥期中）如图，E为的边的延长线上一点，连接，交与点O，交与点 F，求证：．
21．（2024九上·合肥期中）一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某摩托车配件店经市场调查，发现一款进价为80元的新款头盔，售价为100元时，销量为160件，售价每增加10元，销量减少20件，设每月的销售利润y（元），售价提高x（元）．
（1）求销售利润y关于x的函数解析式；
（2）若获利不得高于进价的，那么售价提高多少元时，月销售利润达到最大？
22．（2024九上·合肥期中）阅读材料：设二次函数的图象的顶点坐标分别为，若，且开口方向相间，则称互为“致真二次函数”．
（1）请写出二次函数的一个“致真二次函数”　 　；
（2）已知关于x的二次函数和二次函数，若函数互为“致真二次函数”，求a的值；
（3）在（2）的条件下，若直线与和图象分别交于点E和点F，当时，求线段的最大值．
23．（2024九上·合肥期中）【数学模型】
（1）如图1，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，，垂足为点O，则　 　．
（2）【模型探究】
如图2，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，与交于点O，且，请证明：；
（3）【拓展应用】
如图3，在平行四边形中，点E、F、G分别在边、、上，连接与交于点O，其中，，，且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数二次函数的顶点坐标为，
故选：．
【分析】根据二次函数的顶点式确定抛物线的顶点坐标，即可求解．
2．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、有无数个值，故A错误，故A选项符合题意；
B、由比例的性质，得，故B正确，故B选项不符合题意；
C、由合比性质，得，故C正确，故C选项不符合题意；
D、由合比性质，得，故D正确，故D选项不符合题意；
故选：A．
【分析】根据比例的性质，可判断A、B；根据合比性质，可判断C、D．
3．【答案】B
【知识点】图形的相似；相似多边形
【解析】【解答】A、所有的矩形不一定是相似形，对应边不一定成比例，原说法错误，不符合题意；
B、所有的等腰直角三角形都相似，正确，符合题意；
C、对应角相等的两个多边形不一定相似，对应边的比值不一定相等，原说法错误，不符合题意；
D、对应边成比例的两个多边形，对应角不一定相等，原说法错误，不符合题意，
故选：B．
【分析】相似图形的对应角相等，对应边成比例．利用相似图形的判定方法分别判断得出即可．
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴，
∴抛物线开口向下，
故A正确，不符合题意；
当时，，
解得，
∴抛物线对称轴为直线，
故B正确，不符合题意；
又∵抛物线开口向下，
对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
故C错误，符合题意；
抛物线和x轴交于、，
故D正确，不符合题意．
故选：C．
【分析】根据二次函数的性质，抛物线和x轴的交点等逐项进行分析即可．
5．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵，故A错误，不符合题意；
∵
∴图象位于一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故B错误，不符合题意；
反比例函数的图象关于直线或成轴对称，不关于轴对称，故C错误，不符合题意；
将代入得，，故D正确，符合题意，
故选：D．
【分析】根据反比例数的定义可得出，判断A选项，进而根据可得图象位于一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，判断B选项，根据反比例函数图象直线或成轴对称，即可判断C选项，将代入得，，即可判断D选项，即可求解．
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，故A不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，故B不符合题意；
C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，故C符合题意；
D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】
根据相似三角形的判定条件，若两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似，因而只需判断每个选项中剪下的阴影三角形与原三角形∠A=76°的对应角是否相等，即可确定它们是否相似，逐一判断即可解答.
7．【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：当时，，
∴双曲线过二、四象限，排除选项B、C，
直线中的，排除选项D，
选项A符合以上推理出来的条件．
故选：A．
【分析】由二次函数的图象可得，，据此判断一次函数和反比例函数的图象即可．
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：如图，令抛物线与x轴的另一个交点为，即点A关于对称的点是C，连接与直线的交点即为点P．
由图象可知，，
∵对称轴是直线，
∴．
令，则，
∴，
∴，
∴的最小值为5．
故选：C．
【分析】令抛物线与x轴的另一个交点为，即点A关于对称的点是C，连接与直线的交点即为点P．利用勾股定理求出，即可得到答案．
9．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
D选项的结论符合题意
，，
则，
，
，
与不一定相等，
故C选项的结论不符合题意，
已知条件不能证明，，故A、B选项不符合题意，
故答案为：D．
【分析】
根据相似三角形的判定与性质：三边对应相等的两个三角形相似，可得，再通过相似三角形的性质得到，结合已知条件，利用AA可判定再通过相似三角形的性质可得到D选项正确，利用AA可判定，可判定C错误，其余选项不能推导，逐一判断即可解答．
10．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，且P和Q速度相同，
∴当P到达点E时，Q到达点C，
由图2可知此时，，
即，，
∴，
解得，故①正确，符合题意；
由图2易得，
设，将M坐标代入得，
∴，故②正确，符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点H的坐标为，故③正确，符合题意；
当时，，此时是等腰三角形，
而是直角三角形，很明显不相似，故④错误，不符合题意；
所以正确的结论有3个，
故选：C．
【分析】根据图2结合，且P和Q速度相同，可得当P到达点E时，Q到达点C，即可求出的长；再根据点M的坐标可求出当时，与的函数关系式；利用勾股定理求出，进而求出，结合函数图象即可求出点H的坐标；当时，，此时是等腰三角形，从而判断④．
11．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为，即．
故答案为：．
【分析】
根据二次函数的图象与几何变换，结合左加右减，上加下减即可解答．
12．【答案】
【知识点】比例的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：设至少向前走米，
依题意得，，
解得，．
即主持人站在最佳位置处时至少要走米，
故答案为：．
【分析】
设至少向前走米，由黄金比列出方程，再根据比例的性质计算即可解答．
13．【答案】
【知识点】比例的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：过点D作交于点H，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值是．
故答案为：．
【分析】
过点D作交于点H，根据平行线分线段成比例定理得出，，即可解答．
14．【答案】6；
【知识点】反比例函数的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过D作于点H，如图，
∵沿翻折，点B恰好落在x轴上的点F处，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴设，则，．
∵，反比例函数，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
由翻折的性质得：，，
∴，，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
解得：，
∴，
故答案为：6，．
【分析】过D作于点H，设，则，．根据反比例函数解析式，得到，，进而得到，，由翻折的性质得：，，证明，得到，求出的值，即可得到k的值．
15．【答案】解：设，
则，
所以，
．
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】设，根据比例的性质得出，再把，代入求出即可．
16．【答案】（1）解：；
（2）解：当的值为时对应的y的值分别为：，如表所示，
x … …
y … …
故答案为：；；
图象如下图所示：
（3）解：由图象得：当或时，．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；作图-二次函数图象
【解析】【分析】（1）运用配方法即可求解；
（2）取自变量的值代入计算，运用描点，连接即可作图；
（3）根据图示，运用二次函数与轴的交点即可求解．
（1）解：；
（2）解：当的值为时对应的y的值分别为：，如表所示，
x … …
y … …
故答案为：；；
图象如下图所示：
（3）解：由图象得：当或时，．
17．【答案】解：（1）如图，△A'B'C'为所作；
（2）A'(3，6)，B'(5，2)，C'(11，4)．
【知识点】作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【分析】（1）延长MA到A'使AA'=MA，则点A'为A的对应点，同样方法作出B、C的对应点B'、C'，从而得到△A'B'C'；
（2）利用（1）所画图形可得到△A'B'C'的各顶点坐标．
18．【答案】（1）证明：，，
，
，
，，
，
，
（2）解：，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据题意得到，再结合，即可证明相似；
（2）由相似三角形，得到，进而得到，即可求出的面积．
（1）证明：，，
，
，
，，
，
，
（2）解：，
，
，
，
．
19．【答案】（1）解：将代入得：，
解得：，
∴，
将代入得，
∴反比例函数的解析式为；
联立，解得或，
∴；
（2）解：由图象可得，不等式时x的取值范围是或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）因为两直线交于A，B两点，因此将代入可解得故，再代入解析式求得，联立，计算即可得解；
（2）由函数图象选取图象在之下，根据交点完成求解．
（1）解：将代入得：，
解得：，
∴，
将代入得，
∴反比例函数的解析式为；
联立，解得或，
∴；
（2）解：由图象可得，不等式时x的取值范围是或．
20．【答案】解：∵为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】根据题意利用平行四边形性质得出对应的角相等，进而证明，根据平行关系可得到，再证明，继而利用相似三角形对应边成比例即可得到本题答案．
21．【答案】（1）解：由题意得，，
销售利润y关于x的函数解析式为．
（2）解：获利不得高于进价的，
，
解得：，
的取值范围为，
，
当时，y随x的增大而增大，
当时，y取得最大值，
售价提高28元时，月销售利润达到最大．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用公式：销售利润单件头盔利润销售量，列出y关于x的函数解析式即可；
（2）根据题意“获利不得高于进价的”，所以可列出不等式求出的取值范围，结合二次函数的性质分析在求得区间单调递增，所以当时，y取得最大值．
（1）解：由题意得，，
销售利润y关于x的函数解析式为．
（2）解：获利不得高于进价的，
，
解得：，
的取值范围为，
，
当时，y随x的增大而增大，
当时，y取得最大值，
售价提高28元时，月销售利润达到最大．
22．【答案】（1）
（2）解：根据题意得：二次函数和二次函数的顶点分别为和，
∵函数互为“致真二次函数”，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为3．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴顶点坐标为，
∴其“致真二次函数”的顶点是，
∵它们开口方向相同，
∴其“致真二次函数”可以为：，
故答案为：（答案不唯一）；
【分析】（1）改写函数为顶点式，得到顶点值，再根据根据“致真二次函数”的定义得出答案；
（2）根据“致真二次函数”的定义可得，解得；
（3）因为，所以由，带入可得，再由二次函数的性质，求得最值．
（1）解：∵，
∴顶点坐标为，
∴其“致真二次函数”的顶点是，
∵它们开口方向相同，
∴其“致真二次函数”可以为：，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）解：根据题意得：二次函数和二次函数的顶点分别为和，
∵函数互为“致真二次函数”，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为3．
23．【答案】（1）解：∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，故答案为：；（2）证明：∵，，∴，又∵，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：过点C作，交于点H，如图所示：∵四边形是平行四边形，∴，，，，∴四边形为平行四边形，∴，∵，∴，同（2）可得，∴，在上取一点P使得，连接，∵，，∴，∴是等边三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，设，则，，∴，∵，∴，解得：，∴，∴．
（1）
（2）证明：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点C作，交于点H，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
同（2）可得，
∴，
在上取一点P使得，连接，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据矩形的性质与角换算，证明，根据相似三角形对应边成比例可得，最后根据，，得出；
（2）根据对角的计算得到，根据相似三角形对应边成比例得出，证明四边形是平行四边形，在根据平行四边形的性质得出，，所以有，得出，即可得出，即。
（3）过点C作，交于点H，同（2）可得，即可得出，证明，得出，设，则，，根据，得出，求出，所以有即．
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