资源简介

安徽省长丰县部分学校2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试卷
1．（2024九上·长丰期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九上·长丰期中）下列各组图中，是相似图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·长丰期中）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后对应的二次函数解析式为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九上·长丰期中）若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九上·长丰期中）如图，在中，D是上一点，连接，下列条件中不能判断的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九上·长丰期中）如图，的顶点分别在坐标轴和反比例函数的图象上，并且的面积为6，则k的值为（　　）
A．6 B． C．3 D．
7．（2024九上·长丰期中）如图，抛物线与轴交于，，则关于的方程的解为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
8．（2024九上·长丰期中）如图，这是某平台销售的折叠椅子的示意图，与地面平行，已知，，若，则的长是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九上·长丰期中）如图，点D，E分别在边，上，，．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024九上·长丰期中）在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2024九上·长丰期中）已知，，，是比例线段，若，，，则　 　．
12．（2024九上·长丰期中）如图，某小区地下车库入口栏杆短臂，长臂，当短臂端点A下降时，长臂端点B升高 　 　m．
13．（2024九上·长丰期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，且与反比例函数的图象交于点C，D，则的面积为　 　．
14．（2024九上·长丰期中）如图，点C的坐标为，是x轴上的一动点，B为y轴上一点，且，．
（1）如图1，当时，　 　．
（2）如图2，连接，F为的中点，在点A从原点O运动到点的过程中，点F所经过的路线长是　 　．
15．（2024九上·长丰期中）如图，，直线m，n分别与直线a，b，c交于点B，C，E和点A，D，F．已知，，，求线段的长．
16．（2024九上·长丰期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点A，B，C都在格点（网格线的交点）上．
（1）将向左平移6个单位长度，得到，画出．
（2）画出与相似的，使它与的相似比为．
17．（2024九上·长丰期中）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即：阻力阻力臂动力动力臂，用代数式表示为．如图，已知石头重量（阻力）为，阻力臂长，小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他只有的力量，那么他该选择动力臂为多少米的撬棍才能撬动这块大石头？
18．（2024九上·长丰期中）定义：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”．
（1）若点是“完美点”，求a的值．
（2）已知某“完美函数”的顶点在直线上，且与y轴的交点到原点的距离为4，求该“完美函数”的解析式．
19．（2024九上·长丰期中）如图，已知反比例函数的图象与直线相交于，B两点．
（1）求k的值．
（2）当时，请直接写出x的取值范围．
20．（2024九上·长丰期中）如图，在中，，，，点Q在边上，，点P在边上，，垂足为H．
（1）求证：．
（2）求的长．
21．（2024九上·长丰期中）综合与实践
【问题情境】图1是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉，喷出的水花是形状相同的抛物线．如图2，以点O为原点，建立平面直角坐标系，水平方向为x轴，所在直线为y轴，点C、D为水花的落水点在x轴上，抛物线的解析式为．
【问题解决】
（1）求喷水管的高度；
（2）现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为，已知喷水管降低后，喷水管喷出的水花抛物线形状不改变，且水柱在距原点的水平距离处达到最高，求喷水管要降低的高度．
22．（2024九上·长丰期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，．动点M从点A出发，沿向终点O方向运动，动点N从点O出发，沿向终点B方向运动，如果点M的速度是每秒4个单位长度，点N的速度是每秒2个单位长度，它们同时出发，当有一点到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为．
（1）当时，求M，N两点之间的距离．
（2）用含t的代数式表示的面积S．
（3）当为多少时，以O，M，N为顶点的三角形与相似？
23．（2024九上·长丰期中）如图，二次函数的图象与x轴的交点分别为和，与y轴交于点C，Q是直线上方二次函数图象上一动点．
（1）求二次函数的解析式．
（2）如图1，过点Q作x轴的平行线交于点E，过点Q作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及点Q的坐标．
（3）如图2，设M为抛物线对称轴上一动点，当点Q，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：A、y是x的正比例函数，不符合题意；
B、y是x的反比例函数，符合题意；
C、y是的反比例函数，不符合题意；
D、y是x的二次函数，不符合题意；
故选B．
【分析】根据形如，这样的函数叫做反比例函数，进行判断即可．
2．【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：A．都是五边形，但是形状不相同，不符合相似形的定义，不是相似图形，故此选项不符合题意；
B． 大人和小孩的外形轮廓形状不相同，不符合相似形的定义，不是相似图形，故此选项不符合题意；
C． 形状不相同，不符合相似形的定义，不是相似图形，故此选项不符合题意；
D． 形状相同，大小不同，符合相似形的定义，是相似图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据相似图形的定义：相似图形是指形状相同，但大小不一定相同的图形，逐项判断即可．
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后对应的二次函数解析式为．
故选D．
【分析】二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”．
4．【答案】A
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据可得，再将其代入计算即可。
5．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、根据，，并不满足相似三角形的判定条件中的“两边成比例且夹角相等”所以，不能判断，故本选项符合题意；
B、因为，，满足相似三角形的判定条件“两组对应角相等”，所以，，故本选项不符合题意；
C、因为，，满足相似三角形的判定条件“两组对应角相等”，所以，，故本选项不符合题意；
D、因为，，满足相似三角形的判定条件中的“两边成比例且夹角相等”所以，，故本选项不符合题意．
故选：A．
【分析】有两组角对应相等的两个三角形相似．
6．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点C作轴于点E，如图所示：
则，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵反比例函数图象在第一象限，
∴．
故选：A．
【分析】过点C作轴于点E，证明四边形为矩形，得出，求出结果即可．
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵抛物线与轴交于，，
∴方程的解为或，
令，
则关于的方程可变为，
∴方程的解为或，
∴或，
解得，，
故选：．
【分析】由题意可得方程的解为或，令，则关于的方程可变为，即可得方程的解为或，进而即可求解．
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴， ，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据，可得出，，由相似三角形的性质可得出，代入可得出．
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】先证出，再利用相似三角形的性质可得，再结合，利用三角形的内角和求出即可.
10．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；二次函数与反比例函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：∵0，
若，，
则反比例函数的图象位于第一、第三象限，
二次函数的图象开口向上，
与y轴的交点位于y轴的正半轴．
故C符合条件，B不符合条件；
若，，
反比例函数的图象位于第二、第四象限，
二次函数的图象开口向下，
与y轴的交点位于y轴的负半轴．
故B，D不符合条件，
故选：C．
【分析】本题主要对反比例函数图象，二次函数图象与系数的关系，二次函数与反比例函数的图象共存等知识点进行考查。
因为0，所以会有两种情况：
①，，此时 反比例函数的图象位于第一、第三象限 ， 二次函数的图象开口向上并与y轴的交点位于y轴的正半轴
②，，此时反比例函数的图象位于第二、第四象限，二次函数的图象开口向下与y轴的交点位于y轴的负半轴．
根据两种情况，可得C正确。
11．【答案】6
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【解答】解：∵线段a、b、c、d是比例线段，∴a：b=c：d．
∵a=2，b=3，c=4，∴2：3=4：d，解得：d=6．
故答案为：6．
【分析】
根据线段成比例，则可以列出方程a：b=c：d，代入数值求解即可解答．
12．【答案】1.8
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：根据题意知，，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：1.8．
【分析】证明，列出比例式，进行求解即可．
13．【答案】8
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：由方程得，
，，
将代入得，．
将代入得，，
所以点D的坐标为，点C的坐标为．
将代入得，，
所以点B的坐标为．
将代入得，，
所以点A的坐标为，
则，
，
，
所以．
故答案为：8．
【分析】根据题意求出，及的面积即可解决问题．
14．【答案】；
【知识点】相似三角形的判定；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）如图，过点C作轴于点D．
∵，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为．
（2）如图，连接，．过点作交点，取的中点，连接延长交点，
∵，
∴，
∴
∴
∴
∴，
∵
∴
∴是等边三角形，
∵
∴四点共圆，
∴
∴
∵
∴
∴是等边三角形，
∴
∴
∴
∴
∴点的运动轨迹是线段
当时，，此时，
当时，点与重合，
∵
∴
∴
故答案为：．
【分析】（1）过点C作轴于点D，证明，根据相似三角形的性质可得结论；
（2）连接，．过点作交点，取的中点，连接延长交点，判断点F的运动路径长就是线段的长，根据正弦求出的长即可．
15．【答案】解：∵，
∴，即，
∴，
∴．

【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】根据可得，代入数值求出，进而即可求解．
16．【答案】（1）解：如图：即为所求；
；
（2）解：如图：即为所求．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）利用相似图形的性质，将各边扩大2倍，进而得出答案．
（1）解：如图：即为所求；
；
（2）解：如图：即为所求．
17．【答案】解：依题意，得，
∴．
当时，，
解得．
答：小华该选择动力臂为的撬棍才能撬动这块大石头
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】根据阻力阻力臂动力动力臂，可得出F与l的函数关系式；将代入可求出l即可．
18．【答案】（1）解：∵点是“完美点”，
∴，即，
解得 ；
（2）∵某“完美函数”的顶点在直线上，
∴设函数的顶点为．
∵该函数为“完美函数”，
∴，
解得，
∴，
∴该函数的顶点为．
设二次函数的解析式为，
令，则．
∵该函数图象与y轴的交点到原点的距离为4，
∴，
解得或，
∴或，
∴该“完美函数”的解析式为或．
【知识点】配方法解一元二次方程；一次函数的概念；待定系数法求二次函数解析式；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【分析】（1）根据“完美点”的定义解答即可；
（2）先根据顶点的位置设点的坐标，再根据“完美点”的定义求出顶点，可设顶点式，再令得出关于a的方程，求出解即可．
（1）解：∵点是“完美点”，
∴，即，
解得 ；
（2）∵某“完美函数”的顶点在直线上，
∴设函数的顶点为．
∵该函数为“完美函数”，
∴，
解得，
∴，
∴该函数的顶点为．
设二次函数的解析式为，
令，则．
∵该函数图象与y轴的交点到原点的距离为4，
∴，
解得或，
∴或，
∴该“完美函数”的解析式为或．
19．【答案】（1）解：∵点在直线上，
∴，
∴．
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得．
（2）或
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（2）解∶联立，
解得：或，
即，，
由图象可知，当时，或．
【分析】（1）先求出点m的值，然后利用待定系数法即可求出点k的值．
（2）先求出点B的坐标，再结合一次函数以及反比例函数的图象即可得出答案．
（1）解：∵点在直线上，
∴，
∴．
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得．
（2）解∶联立，
解得：或，
即，，
由图象可知，当时，或．
20．【答案】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴
（2）如图，过点P作于点，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行线的应用-证明问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据题意，可得，，进而证明；
（2）过点P作于点，证明为等腰直角三角形，进而证明，根据对应线段成比例即可求解；
（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴
（2）如图，过点P作于点，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：∵抛物线为，
∴令则，
∴喷水管的高度为；
（2）解：由题意，可设改建后喷出的水花的新抛物线为，
又∵抛物线过，
，
，
∴新抛物线为，
又令，
，
由（1）得，
∴喷水管要降低的高度为：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）依据题意，由抛物线为再令则，从而可以判断得解；
（2）依据题意，可设改建后喷出的水花的新抛物线为结合抛物线过，从而可得新抛物线为 再令，进而可以判断得解.
（1）解：∵抛物线为，
∴令则，
∴喷水管的高度为；
（2）解：由题意，可设改建后喷出的水花的新抛物线为，
又∵抛物线过，
，
，
∴新抛物线为，
又令，
，
由（1）得，
∴喷水管要降低的高度为：．
22．【答案】（1）解：由题意得，，
∴．
当时，，，
由勾股定理得．
（2）解：∵，，，
∴的面积．
（3）解：分两种情况：
①当时，，
∴，
解得：；
②当时，，
∴，
解得：．
∴当或时，以点O，M，N为顶点的三角形与相似．
【知识点】三角形-动点问题；用代数式表示几何图形的数量关系；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由题意得，，，将代入即可得，，根据勾股定理即可求解．
（2）根据，，用三角形面积公式即可表示．
（3）分两种情况，和，根据对应边成比例可分别求得值，即可求解．
（1）解：由题意得，，
∴．
当时，，，
由勾股定理得．
（2）解：∵，，，
∴的面积．
（3）解：分两种情况：
①当时，，
∴，
解得：；
②当时，，
∴，
解得：．
∴当或时，以点O，M，N为顶点的三角形与相似．
23．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
设．
又∵，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵抛物线与y轴交于点C，
∴点C的坐标为．
∵，在直线上
设直线解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为．
设，则，．
∴．
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为，
此时的

（3）设，，
设的中点为．
∵四边形是矩形，
∴的中点为K，
∴．
∵点N在坐标轴上，
∴或，
当时，，轴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
当时，点N在x轴上，如图，
过点Q作轴于点H．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
解得或，
∴点Q在直线上方，
∴，
∴，
∴，
综上所述，点N的坐标为或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线的解析式，设，则，．得到，利用二次函数的性质求解即可；
（3）设，，根据矩形的性质，表示出，分当N点在y轴上和点N在x轴负半轴上时，两种情况讨论，列式计算求解即可．
（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
设．
又∵，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵抛物线与y轴交于点C，
∴点C的坐标为．
∵，在直线上
设直线解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为．
设，则，．
∴．
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为，
此时的
（3）设，，
设的中点为．
∵四边形是矩形，
∴的中点为K，
∴．
∵点N在坐标轴上，
∴或，
当时，，轴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
当时，点N在x轴上，如图，
过点Q作轴于点H．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
解得或，
∴点Q在直线上方，
∴，
∴，
∴，
综上所述，点N的坐标为或．
1 / 1安徽省长丰县部分学校2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试卷
1．（2024九上·长丰期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：A、y是x的正比例函数，不符合题意；
B、y是x的反比例函数，符合题意；
C、y是的反比例函数，不符合题意；
D、y是x的二次函数，不符合题意；
故选B．
【分析】根据形如，这样的函数叫做反比例函数，进行判断即可．
2．（2024九上·长丰期中）下列各组图中，是相似图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：A．都是五边形，但是形状不相同，不符合相似形的定义，不是相似图形，故此选项不符合题意；
B． 大人和小孩的外形轮廓形状不相同，不符合相似形的定义，不是相似图形，故此选项不符合题意；
C． 形状不相同，不符合相似形的定义，不是相似图形，故此选项不符合题意；
D． 形状相同，大小不同，符合相似形的定义，是相似图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据相似图形的定义：相似图形是指形状相同，但大小不一定相同的图形，逐项判断即可．
3．（2024九上·长丰期中）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后对应的二次函数解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后对应的二次函数解析式为．
故选D．
【分析】二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”．
4．（2024九上·长丰期中）若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据可得，再将其代入计算即可。
5．（2024九上·长丰期中）如图，在中，D是上一点，连接，下列条件中不能判断的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、根据，，并不满足相似三角形的判定条件中的“两边成比例且夹角相等”所以，不能判断，故本选项符合题意；
B、因为，，满足相似三角形的判定条件“两组对应角相等”，所以，，故本选项不符合题意；
C、因为，，满足相似三角形的判定条件“两组对应角相等”，所以，，故本选项不符合题意；
D、因为，，满足相似三角形的判定条件中的“两边成比例且夹角相等”所以，，故本选项不符合题意．
故选：A．
【分析】有两组角对应相等的两个三角形相似．
6．（2024九上·长丰期中）如图，的顶点分别在坐标轴和反比例函数的图象上，并且的面积为6，则k的值为（　　）
A．6 B． C．3 D．
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点C作轴于点E，如图所示：
则，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵反比例函数图象在第一象限，
∴．
故选：A．
【分析】过点C作轴于点E，证明四边形为矩形，得出，求出结果即可．
7．（2024九上·长丰期中）如图，抛物线与轴交于，，则关于的方程的解为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵抛物线与轴交于，，
∴方程的解为或，
令，
则关于的方程可变为，
∴方程的解为或，
∴或，
解得，，
故选：．
【分析】由题意可得方程的解为或，令，则关于的方程可变为，即可得方程的解为或，进而即可求解．
8．（2024九上·长丰期中）如图，这是某平台销售的折叠椅子的示意图，与地面平行，已知，，若，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴， ，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据，可得出，，由相似三角形的性质可得出，代入可得出．
9．（2024九上·长丰期中）如图，点D，E分别在边，上，，．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】先证出，再利用相似三角形的性质可得，再结合，利用三角形的内角和求出即可.
10．（2024九上·长丰期中）在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；二次函数与反比例函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：∵0，
若，，
则反比例函数的图象位于第一、第三象限，
二次函数的图象开口向上，
与y轴的交点位于y轴的正半轴．
故C符合条件，B不符合条件；
若，，
反比例函数的图象位于第二、第四象限，
二次函数的图象开口向下，
与y轴的交点位于y轴的负半轴．
故B，D不符合条件，
故选：C．
【分析】本题主要对反比例函数图象，二次函数图象与系数的关系，二次函数与反比例函数的图象共存等知识点进行考查。
因为0，所以会有两种情况：
①，，此时 反比例函数的图象位于第一、第三象限 ， 二次函数的图象开口向上并与y轴的交点位于y轴的正半轴
②，，此时反比例函数的图象位于第二、第四象限，二次函数的图象开口向下与y轴的交点位于y轴的负半轴．
根据两种情况，可得C正确。
11．（2024九上·长丰期中）已知，，，是比例线段，若，，，则　 　．
【答案】6
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【解答】解：∵线段a、b、c、d是比例线段，∴a：b=c：d．
∵a=2，b=3，c=4，∴2：3=4：d，解得：d=6．
故答案为：6．
【分析】
根据线段成比例，则可以列出方程a：b=c：d，代入数值求解即可解答．
12．（2024九上·长丰期中）如图，某小区地下车库入口栏杆短臂，长臂，当短臂端点A下降时，长臂端点B升高 　 　m．
【答案】1.8
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：根据题意知，，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：1.8．
【分析】证明，列出比例式，进行求解即可．
13．（2024九上·长丰期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，且与反比例函数的图象交于点C，D，则的面积为　 　．
【答案】8
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：由方程得，
，，
将代入得，．
将代入得，，
所以点D的坐标为，点C的坐标为．
将代入得，，
所以点B的坐标为．
将代入得，，
所以点A的坐标为，
则，
，
，
所以．
故答案为：8．
【分析】根据题意求出，及的面积即可解决问题．
14．（2024九上·长丰期中）如图，点C的坐标为，是x轴上的一动点，B为y轴上一点，且，．
（1）如图1，当时，　 　．
（2）如图2，连接，F为的中点，在点A从原点O运动到点的过程中，点F所经过的路线长是　 　．
【答案】；
【知识点】相似三角形的判定；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）如图，过点C作轴于点D．
∵，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为．
（2）如图，连接，．过点作交点，取的中点，连接延长交点，
∵，
∴，
∴
∴
∴
∴，
∵
∴
∴是等边三角形，
∵
∴四点共圆，
∴
∴
∵
∴
∴是等边三角形，
∴
∴
∴
∴
∴点的运动轨迹是线段
当时，，此时，
当时，点与重合，
∵
∴
∴
故答案为：．
【分析】（1）过点C作轴于点D，证明，根据相似三角形的性质可得结论；
（2）连接，．过点作交点，取的中点，连接延长交点，判断点F的运动路径长就是线段的长，根据正弦求出的长即可．
15．（2024九上·长丰期中）如图，，直线m，n分别与直线a，b，c交于点B，C，E和点A，D，F．已知，，，求线段的长．
【答案】解：∵，
∴，即，
∴，
∴．

【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】根据可得，代入数值求出，进而即可求解．
16．（2024九上·长丰期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点A，B，C都在格点（网格线的交点）上．
（1）将向左平移6个单位长度，得到，画出．
（2）画出与相似的，使它与的相似比为．
【答案】（1）解：如图：即为所求；
；
（2）解：如图：即为所求．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）利用相似图形的性质，将各边扩大2倍，进而得出答案．
（1）解：如图：即为所求；
；
（2）解：如图：即为所求．
17．（2024九上·长丰期中）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即：阻力阻力臂动力动力臂，用代数式表示为．如图，已知石头重量（阻力）为，阻力臂长，小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他只有的力量，那么他该选择动力臂为多少米的撬棍才能撬动这块大石头？
【答案】解：依题意，得，
∴．
当时，，
解得．
答：小华该选择动力臂为的撬棍才能撬动这块大石头
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】根据阻力阻力臂动力动力臂，可得出F与l的函数关系式；将代入可求出l即可．
18．（2024九上·长丰期中）定义：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”．
（1）若点是“完美点”，求a的值．
（2）已知某“完美函数”的顶点在直线上，且与y轴的交点到原点的距离为4，求该“完美函数”的解析式．
【答案】（1）解：∵点是“完美点”，
∴，即，
解得 ；
（2）∵某“完美函数”的顶点在直线上，
∴设函数的顶点为．
∵该函数为“完美函数”，
∴，
解得，
∴，
∴该函数的顶点为．
设二次函数的解析式为，
令，则．
∵该函数图象与y轴的交点到原点的距离为4，
∴，
解得或，
∴或，
∴该“完美函数”的解析式为或．
【知识点】配方法解一元二次方程；一次函数的概念；待定系数法求二次函数解析式；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【分析】（1）根据“完美点”的定义解答即可；
（2）先根据顶点的位置设点的坐标，再根据“完美点”的定义求出顶点，可设顶点式，再令得出关于a的方程，求出解即可．
（1）解：∵点是“完美点”，
∴，即，
解得 ；
（2）∵某“完美函数”的顶点在直线上，
∴设函数的顶点为．
∵该函数为“完美函数”，
∴，
解得，
∴，
∴该函数的顶点为．
设二次函数的解析式为，
令，则．
∵该函数图象与y轴的交点到原点的距离为4，
∴，
解得或，
∴或，
∴该“完美函数”的解析式为或．
19．（2024九上·长丰期中）如图，已知反比例函数的图象与直线相交于，B两点．
（1）求k的值．
（2）当时，请直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解：∵点在直线上，
∴，
∴．
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得．
（2）或
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（2）解∶联立，
解得：或，
即，，
由图象可知，当时，或．
【分析】（1）先求出点m的值，然后利用待定系数法即可求出点k的值．
（2）先求出点B的坐标，再结合一次函数以及反比例函数的图象即可得出答案．
（1）解：∵点在直线上，
∴，
∴．
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得．
（2）解∶联立，
解得：或，
即，，
由图象可知，当时，或．
20．（2024九上·长丰期中）如图，在中，，，，点Q在边上，，点P在边上，，垂足为H．
（1）求证：．
（2）求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴
（2）如图，过点P作于点，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行线的应用-证明问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据题意，可得，，进而证明；
（2）过点P作于点，证明为等腰直角三角形，进而证明，根据对应线段成比例即可求解；
（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴
（2）如图，过点P作于点，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
21．（2024九上·长丰期中）综合与实践
【问题情境】图1是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉，喷出的水花是形状相同的抛物线．如图2，以点O为原点，建立平面直角坐标系，水平方向为x轴，所在直线为y轴，点C、D为水花的落水点在x轴上，抛物线的解析式为．
【问题解决】
（1）求喷水管的高度；
（2）现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为，已知喷水管降低后，喷水管喷出的水花抛物线形状不改变，且水柱在距原点的水平距离处达到最高，求喷水管要降低的高度．
【答案】（1）解：∵抛物线为，
∴令则，
∴喷水管的高度为；
（2）解：由题意，可设改建后喷出的水花的新抛物线为，
又∵抛物线过，
，
，
∴新抛物线为，
又令，
，
由（1）得，
∴喷水管要降低的高度为：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）依据题意，由抛物线为再令则，从而可以判断得解；
（2）依据题意，可设改建后喷出的水花的新抛物线为结合抛物线过，从而可得新抛物线为 再令，进而可以判断得解.
（1）解：∵抛物线为，
∴令则，
∴喷水管的高度为；
（2）解：由题意，可设改建后喷出的水花的新抛物线为，
又∵抛物线过，
，
，
∴新抛物线为，
又令，
，
由（1）得，
∴喷水管要降低的高度为：．
22．（2024九上·长丰期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，．动点M从点A出发，沿向终点O方向运动，动点N从点O出发，沿向终点B方向运动，如果点M的速度是每秒4个单位长度，点N的速度是每秒2个单位长度，它们同时出发，当有一点到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为．
（1）当时，求M，N两点之间的距离．
（2）用含t的代数式表示的面积S．
（3）当为多少时，以O，M，N为顶点的三角形与相似？
【答案】（1）解：由题意得，，
∴．
当时，，，
由勾股定理得．
（2）解：∵，，，
∴的面积．
（3）解：分两种情况：
①当时，，
∴，
解得：；
②当时，，
∴，
解得：．
∴当或时，以点O，M，N为顶点的三角形与相似．
【知识点】三角形-动点问题；用代数式表示几何图形的数量关系；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由题意得，，，将代入即可得，，根据勾股定理即可求解．
（2）根据，，用三角形面积公式即可表示．
（3）分两种情况，和，根据对应边成比例可分别求得值，即可求解．
（1）解：由题意得，，
∴．
当时，，，
由勾股定理得．
（2）解：∵，，，
∴的面积．
（3）解：分两种情况：
①当时，，
∴，
解得：；
②当时，，
∴，
解得：．
∴当或时，以点O，M，N为顶点的三角形与相似．
23．（2024九上·长丰期中）如图，二次函数的图象与x轴的交点分别为和，与y轴交于点C，Q是直线上方二次函数图象上一动点．
（1）求二次函数的解析式．
（2）如图1，过点Q作x轴的平行线交于点E，过点Q作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及点Q的坐标．
（3）如图2，设M为抛物线对称轴上一动点，当点Q，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
设．
又∵，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵抛物线与y轴交于点C，
∴点C的坐标为．
∵，在直线上
设直线解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为．
设，则，．
∴．
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为，
此时的

（3）设，，
设的中点为．
∵四边形是矩形，
∴的中点为K，
∴．
∵点N在坐标轴上，
∴或，
当时，，轴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
当时，点N在x轴上，如图，
过点Q作轴于点H．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
解得或，
∴点Q在直线上方，
∴，
∴，
∴，
综上所述，点N的坐标为或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线的解析式，设，则，．得到，利用二次函数的性质求解即可；
（3）设，，根据矩形的性质，表示出，分当N点在y轴上和点N在x轴负半轴上时，两种情况讨论，列式计算求解即可．
（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
设．
又∵，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵抛物线与y轴交于点C，
∴点C的坐标为．
∵，在直线上
设直线解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为．
设，则，．
∴．
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为，
此时的
（3）设，，
设的中点为．
∵四边形是矩形，
∴的中点为K，
∴．
∵点N在坐标轴上，
∴或，
当时，，轴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
当时，点N在x轴上，如图，
过点Q作轴于点H．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
解得或，
∴点Q在直线上方，
∴，
∴，
∴，
综上所述，点N的坐标为或．
1 / 1

展开更多......

收起↑