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安徽省合肥市肥西县部分学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷
1．（2024九上·肥西期中）若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九上·肥西期中）抛物线的开口方向和顶点坐标分别是（　　）
A．开口向下， B．开口向上，
C．开口向下， D．开口向上，
3．（2024九上·肥西期中）如图，，已知，，则的值为（　　）
A．4 B．6 C．7 D．8
4．（2024九上·肥西期中）若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024九上·肥西期中）如图，，和分别是和的角平分线，已知，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九上·肥西期中）如图，在中，点是上一点，下列条件不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九上·肥西期中）如图，在一片树叶中，为的黄金分割点，如果的长度为，那么较短线段的长度为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九上·肥西期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九上·肥西期中）如图，点A，B都是双曲线上的点，连接并延长交x轴于点C，已知的面积为12，，则k的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2024九上·肥西期中）如图，正方形的边长为，点和点分别沿着路线和同时运动，点和点的运动速度分别为、，当点运动到点时，两点同时停止运动，连接，，设的面积为，运动时间为，和之间的函数关系图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
11．（2024九上·肥西期中）将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后得到的抛物线的函数表达式为　 　．
12．（2024九上·肥西期中）如图，已知，补充一个条件：　 　，可使．
13．（2024九上·肥西期中）如图，某公园的示意图是对角线互相垂直的四边形，已知米，则该四边形公园的最大面积为　 　平方米．
14．（2024九上·肥西期中）如图，在矩形的边上取一点，使得，点是上一点，以为直角边作等腰，．连接并延长交于点．
（1）若，则的度数为　 　°；
（2）连接，若，，则的最小值为　 　．
15．（2024九上·肥西期中）如图，抛物线（b，c是常数）与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点A和点B，已知．求，的值．
16．（2024九上·肥西期中）如图，在边长为的小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，证明：．
17．（2024九上·肥西期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于轴对称的；
（2）以原点为位似中心，在网格中画出（1）中的位似图形，使与的相似比为．
18．（2024九上·肥西期中）已知线段a，b，c满足，且．
（1）求线段a，b，c的长；
（2）若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长．
19．（2024九上·肥西期中）已知抛物线（是常数）
（1）当时，求该抛物线的顶点坐标；
（2）证明：不论为何值，该抛物线与轴没有交点．
20．（2024九上·肥西期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）直接写出关于的不等式的解集：___________；
（3）连接，，求的面积．
21．（2024九上·肥西期中）九年级学生小林进行跨学科自主学习活动，他利用函数的相关知识在实验场景和实验场景下做对比，研究某种化学试剂的挥发情况，若当实验过程中该试剂挥发时间为分钟时，在实验场景，中的剩余质量分别为，（单位：克）记录，与的几组对应值如下：
（分钟） 0 5 10 15 20 …
（克） 25 23.5 20 14.5 7 …
（克） 25 20 15 10 5 …
请你协助小林将探究过程补充完整：
（1）在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，并画出函数，的图象；
（2）进一步探究发现，实验场景的图象是抛物线的一部分，与之间近似满足二次函数：；实验场景的图象是直线的一部分，与之间近似满足一次函数，则___________，___________，___________；
（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于5克时，才能发挥有效作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景，中发挥有效作用的时间分别为，，则___________（填“>”，“=”或“<”）．
22．（2024九上·肥西期中）在中，，点是上一点，过点作于点．
（1）如图1，证明：；
（2）已知平分，点是上一点，与交于点，，．
①如图2，当时，求的值；
②如图3，当点为的中点时，求的值．
23．（2024九上·肥西期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）已知．
①求该抛物线的对称轴；
②若，当时，有最大值13，求的值；
（2）已知，，若点，和在该抛物线上，且，则　 　（用含，的式子表示），的取值范围为　 　．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】
，
．
故选：C．
【分析】根据比例的性质得，将其代入计算，即得答案．
2．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线中，
∵，
∴图象开口向下，
∴由顶点式可得顶点坐标为，
故选：A ．
【分析】根据二次函数顶点式中，，图象开口向上，，图象开口向下，顶点坐标为，由此即可求解．
3．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
故选：B．
【分析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例解答即可，解题的关键是熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
4．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】∵反比例函数的图象在第二四象限，
∴，
解得，
∴．
故选：D．
【分析】根据反比例函数的图象在第二四象限，可得，求出解集，再判断即可．
5．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
∵和分别是和的角平分线，
∴，即，
故答案为：A ．
【分析】
根据相似三角形的对应边的比，对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比均等于相似，对应面积的比等于相似比的平方，解答即可．
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、因为，，所以，故该选项不符合题意；
B、因为，，所以，故该选项不符合题意；
C、因为，且夹角都不是，即夹角不相等，所以不相似，故该选项符合题意；
D、因为，且，即夹角相等两边成比例，所以，故该选项不符合题意；
故选：C
【分析】两组对应角相等或者夹角相等，两边成比例的三角形是相似三角形，据此进行逐项分析，即可作答．
7．【答案】D
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题知，P为的黄金分割点，
又因为，
，
所以，
故选：D．
【分析】根据黄金分割的定义知进行计算即可．
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上，
则图象上的点离对称轴越远则的值越大，
∵，，，
∴，
∴，
故选：．
【分析】由二次函数的性质：可知 开口向上，对称轴为x=-2，则图像上的点离对称轴越远y值越大.
9．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】如图，过点A作轴于点E，过点B作于点D．
∵，
∵，
∵，
∴，
∴．
设，则，，
∴点，
∴，
∴，则，
∴，
解得．
故选：D．
【分析】过点A作轴于点E，过点B作于点D，证明，则，设设，则，，点，然后通过三角形面积即可求解．
10．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：由题意知，当时，点在上，如图1，
∴；
当时，点在上，如图2，
∵，
∴，
，
∴函数图象如下；
．
故选：A．
【分析】由题意知，当时，；当时，，然后根据一次函数和二次函数的图象求解作答即可．
11．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，
∴平移后的解析式为：，
故答案为： ．
【分析】根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”进行计算即可求解．
12．【答案】
【知识点】相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：补充：
∵，
∴，
设，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】对应边成比例的三角形相似，即可得出结论.
13．【答案】3200
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
如图，记的交点为，
∴，
整理得，，
∵，
∴当时，该四边形公园的面积最大，为平方米，
故答案为：．
【分析】由，可得，如图，记的交点为，根据，求最值即可．
14．【答案】55；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：（1）由题意可知和都是等腰直角三角形，
∴，，
，，
，即，，
∴，
，如图．
又，
，
则；
（2）由（1）可知，，
，
由点是上一点，当时，有最小值，此时是等腰直角三角形，
∵，，
∴，
，即，
解得；
故答案为55，．
【分析】本题主要对 矩形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，等知识点进行考查；
（1）由题意可知和都是等腰直角三角形，得到各角关系，证明，进而有，， 然后可得，进而可得，所以；
（2）由（1）可知，，然后可得，进而可知当时，有最小值，此时是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，即，解得．
15．【答案】解：，点A和点B位于x负半轴和y负半轴，
点，点，
代入，得
，
解得，
即，的值分别为2，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】根据，的长，求出A、B点的坐标，然后运用待定系数法即可求出答案．
16．【答案】证明：根据勾股定理，得，，，，，，∴，，，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的判定-SSS；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】由网格可知，，，，，，再利用三边对应成比例的两个三角形相似即可求证，解答即可．
17．【答案】（1）如图，即为所求，
（2）如图，即为所求．
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【分析】（1）根据关于x轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数找出三个顶点的对应点，再连线即可；
（2）根据位似图形的坐标特点，先求出对应点的坐标，再描点连线即可得解．
（1）如图，即为所求，
（2）如图，即为所求．
18．【答案】（1）解：设，则，，，
又∵，
∴，
解得，
∴，，；
（2）解：∵线段k是线段a，b的比例中项，
∴，
解得或（舍去），
∴线段．
【知识点】比例的性质；比例线段；开平方（求平方根）
【解析】【分析】
（1）设，然后用k表示出a、b、c，再代入求解得到k，即可得到a、b、c的值，解答即可；
（2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解，即可求出线段k的长，解答即可．
（1）解：设，则，，，
又∵，
∴，
解得，
∴，，；
（2）解：∵线段k是线段a，b的比例中项，
∴，
解得或（舍去），
∴线段．
19．【答案】（1）解：当时，，
该抛物线的顶点坐标为；
（2）解：，
不论为何值，该抛物线与轴没有交点．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）把代入函数解析式，然后把函数解析式化为顶点式即可求解；
（2）证明判别式即可．
（1）解：当时，，
该抛物线的顶点坐标为；
（2）解：，
不论为何值，该抛物线与轴没有交点．
20．【答案】（1）解：∵点在一次函数的图象上，
∴，
解得，
∴点．
∵反比例函数经过点，
∴，
∴反比例函数关系式为；
（2）或
（3）解：如图所示，当时，，所以点；
当时，，所以点．
∴，
∴．
【知识点】点的坐标；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】
解：（2）当或时．
故答案为：或；
【分析】
（1）、分别将两个点的坐标代入一次函数关系式，可求出两个点的坐标，再将点A代入反比例函数关系式可得答案，解答即可；
（2）、根据反比例函数图象在一次函数的图象上方，可得自变量取值范围，解答即可；
（3）、先求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据大三角形的面积减去两个小三角形的面积得出答案，解答即可．
（1）∵点在一次函数的图象上，
∴，
解得，
∴点．
∵反比例函数经过点，
∴，
∴反比例函数关系式为；
（2）当或时．
故答案为：或；
（3）如图所示，当时，，所以点；
当时，，所以点．
∴，
∴．
21．【答案】（1）（1）由题意，作图如图．
（2），25，
（3）
【知识点】函数自变量的取值范围；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；描点法画函数图象
【解析】【解答】（2）由题意，实验场景的图象是抛物线的一部分，与之间近似满足函数关系，
∵点，在函数图象上，
，
解得，
实验场景函数关系式为，
对于实验场景的图象是直线的一部分，与之间近似满足函数关系，
∵，在函数图象上，
，解得，
∴实验场景函数关系式为，
故答案为：，25，；
（3）
由题意，当时，实验场景中，，实验场景中，，
故答案为：．
【分析】（1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解；
（2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可；
（3）依据题意，分别求出当时x的值，即可得出答案；
（1）（1）由题意，作图如图．
（2）由题意，实验场景的图象是抛物线的一部分，与之间近似满足函数关系，
∵点，在函数图象上，
，
解得，
实验场景函数关系式为，
对于实验场景的图象是直线的一部分，与之间近似满足函数关系，
∵，在函数图象上，
，解得，
∴实验场景函数关系式为，
故答案为：，25，；
（3）由题意，当时，实验场景中，，实验场景中，，
故答案为：．
22．【答案】（1）证明：，
，
，
又，
，
，即；
（2）解：①在中，，
平分，
，
，，
，即，
，
；
②，，平分，
，
又，，
，
，则，
由（1）可知，则，且，
，
解得，
过点作，与延长线交于点，如图，则，
，，
又点是的中点，即，
，
，
，则，
．
【知识点】三角形全等及其性质；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；三角形的角平分线
【解析】【分析】本题主要对全等三角形的判定和性质，角平分的性质定理，相似三角形的判定和性质 ，勾股定理等知识点进行考查。
（1）根据垂直关系可得到，进一步证明，最后可得即；
（2）①在中，根据勾股定理可得，根据垂直的定义可得即，可证，所以有；
②根据角平分线的性质定理并且，平分，可得，又因为，进一步可证，由（1）可知，可得，过点作，与延长线交于点，如图，则，可证，得到，则，根据相似三角形的性质可得到．
（1）证明：，
，
，
又，
，
，即；
（2）解：①在中，，
平分，
，
，，
，即，
，
；
②，，平分，
，
又，，
，
，则，
由（1）可知，则，且，
，
解得，
过点作，与延长线交于点，如图，则，
，，
又点是的中点，即，
，
，
，则，
．
23．【答案】（1）解：①，
，则抛物线为，
该抛物线的对称轴为直线；
②，
抛物线开口向上，又，
当时，为最大值，即，
解得；
（2）；
【知识点】二次函数y=ax²的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】（2）解：当时，则有，
∴二次函数的图象经过点，
，均在抛物线上，
抛物线的对称轴为直线，
；
抛物线经过，，
，，
，
，
由，得，
，
，
；
由，得，
，
，
综上，；
故答案为；．
【分析】（1）①根据可求解；②根据二次函数的增减性可知当时，为最大值，然后代入求解即可；
（2）由题意易得二次函数的图象开口向上，且，均在抛物线上，则有对称轴为直线，然后根据二次函数的性质可进行求解
（1）解：①，
，则抛物线为，
该抛物线的对称轴为直线；
②，
抛物线开口向上，又，
当时，为最大值，即，
解得；
（2）解：当时，则有，
∴二次函数的图象经过点，
，均在抛物线上，
抛物线的对称轴为直线，
；
抛物线经过，，
，，
，
，
由，得，
，
，
；
由，得，
，
，
综上，；
故答案为；．
1 / 1安徽省合肥市肥西县部分学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷
1．（2024九上·肥西期中）若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】
，
．
故选：C．
【分析】根据比例的性质得，将其代入计算，即得答案．
2．（2024九上·肥西期中）抛物线的开口方向和顶点坐标分别是（　　）
A．开口向下， B．开口向上，
C．开口向下， D．开口向上，
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线中，
∵，
∴图象开口向下，
∴由顶点式可得顶点坐标为，
故选：A ．
【分析】根据二次函数顶点式中，，图象开口向上，，图象开口向下，顶点坐标为，由此即可求解．
3．（2024九上·肥西期中）如图，，已知，，则的值为（　　）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
故选：B．
【分析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例解答即可，解题的关键是熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
4．（2024九上·肥西期中）若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】∵反比例函数的图象在第二四象限，
∴，
解得，
∴．
故选：D．
【分析】根据反比例函数的图象在第二四象限，可得，求出解集，再判断即可．
5．（2024九上·肥西期中）如图，，和分别是和的角平分线，已知，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
∵和分别是和的角平分线，
∴，即，
故答案为：A ．
【分析】
根据相似三角形的对应边的比，对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比均等于相似，对应面积的比等于相似比的平方，解答即可．
6．（2024九上·肥西期中）如图，在中，点是上一点，下列条件不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、因为，，所以，故该选项不符合题意；
B、因为，，所以，故该选项不符合题意；
C、因为，且夹角都不是，即夹角不相等，所以不相似，故该选项符合题意；
D、因为，且，即夹角相等两边成比例，所以，故该选项不符合题意；
故选：C
【分析】两组对应角相等或者夹角相等，两边成比例的三角形是相似三角形，据此进行逐项分析，即可作答．
7．（2024九上·肥西期中）如图，在一片树叶中，为的黄金分割点，如果的长度为，那么较短线段的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题知，P为的黄金分割点，
又因为，
，
所以，
故选：D．
【分析】根据黄金分割的定义知进行计算即可．
8．（2024九上·肥西期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上，
则图象上的点离对称轴越远则的值越大，
∵，，，
∴，
∴，
故选：．
【分析】由二次函数的性质：可知 开口向上，对称轴为x=-2，则图像上的点离对称轴越远y值越大.
9．（2024九上·肥西期中）如图，点A，B都是双曲线上的点，连接并延长交x轴于点C，已知的面积为12，，则k的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】如图，过点A作轴于点E，过点B作于点D．
∵，
∵，
∵，
∴，
∴．
设，则，，
∴点，
∴，
∴，则，
∴，
解得．
故选：D．
【分析】过点A作轴于点E，过点B作于点D，证明，则，设设，则，，点，然后通过三角形面积即可求解．
10．（2024九上·肥西期中）如图，正方形的边长为，点和点分别沿着路线和同时运动，点和点的运动速度分别为、，当点运动到点时，两点同时停止运动，连接，，设的面积为，运动时间为，和之间的函数关系图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：由题意知，当时，点在上，如图1，
∴；
当时，点在上，如图2，
∵，
∴，
，
∴函数图象如下；
．
故选：A．
【分析】由题意知，当时，；当时，，然后根据一次函数和二次函数的图象求解作答即可．
11．（2024九上·肥西期中）将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后得到的抛物线的函数表达式为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，
∴平移后的解析式为：，
故答案为： ．
【分析】根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”进行计算即可求解．
12．（2024九上·肥西期中）如图，已知，补充一个条件：　 　，可使．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：补充：
∵，
∴，
设，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】对应边成比例的三角形相似，即可得出结论.
13．（2024九上·肥西期中）如图，某公园的示意图是对角线互相垂直的四边形，已知米，则该四边形公园的最大面积为　 　平方米．
【答案】3200
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
如图，记的交点为，
∴，
整理得，，
∵，
∴当时，该四边形公园的面积最大，为平方米，
故答案为：．
【分析】由，可得，如图，记的交点为，根据，求最值即可．
14．（2024九上·肥西期中）如图，在矩形的边上取一点，使得，点是上一点，以为直角边作等腰，．连接并延长交于点．
（1）若，则的度数为　 　°；
（2）连接，若，，则的最小值为　 　．
【答案】55；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：（1）由题意可知和都是等腰直角三角形，
∴，，
，，
，即，，
∴，
，如图．
又，
，
则；
（2）由（1）可知，，
，
由点是上一点，当时，有最小值，此时是等腰直角三角形，
∵，，
∴，
，即，
解得；
故答案为55，．
【分析】本题主要对 矩形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，等知识点进行考查；
（1）由题意可知和都是等腰直角三角形，得到各角关系，证明，进而有，， 然后可得，进而可得，所以；
（2）由（1）可知，，然后可得，进而可知当时，有最小值，此时是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，即，解得．
15．（2024九上·肥西期中）如图，抛物线（b，c是常数）与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点A和点B，已知．求，的值．
【答案】解：，点A和点B位于x负半轴和y负半轴，
点，点，
代入，得
，
解得，
即，的值分别为2，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】根据，的长，求出A、B点的坐标，然后运用待定系数法即可求出答案．
16．（2024九上·肥西期中）如图，在边长为的小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，证明：．
【答案】证明：根据勾股定理，得，，，，，，∴，，，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的判定-SSS；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】由网格可知，，，，，，再利用三边对应成比例的两个三角形相似即可求证，解答即可．
17．（2024九上·肥西期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于轴对称的；
（2）以原点为位似中心，在网格中画出（1）中的位似图形，使与的相似比为．
【答案】（1）如图，即为所求，
（2）如图，即为所求．
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【分析】（1）根据关于x轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数找出三个顶点的对应点，再连线即可；
（2）根据位似图形的坐标特点，先求出对应点的坐标，再描点连线即可得解．
（1）如图，即为所求，
（2）如图，即为所求．
18．（2024九上·肥西期中）已知线段a，b，c满足，且．
（1）求线段a，b，c的长；
（2）若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长．
【答案】（1）解：设，则，，，
又∵，
∴，
解得，
∴，，；
（2）解：∵线段k是线段a，b的比例中项，
∴，
解得或（舍去），
∴线段．
【知识点】比例的性质；比例线段；开平方（求平方根）
【解析】【分析】
（1）设，然后用k表示出a、b、c，再代入求解得到k，即可得到a、b、c的值，解答即可；
（2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解，即可求出线段k的长，解答即可．
（1）解：设，则，，，
又∵，
∴，
解得，
∴，，；
（2）解：∵线段k是线段a，b的比例中项，
∴，
解得或（舍去），
∴线段．
19．（2024九上·肥西期中）已知抛物线（是常数）
（1）当时，求该抛物线的顶点坐标；
（2）证明：不论为何值，该抛物线与轴没有交点．
【答案】（1）解：当时，，
该抛物线的顶点坐标为；
（2）解：，
不论为何值，该抛物线与轴没有交点．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）把代入函数解析式，然后把函数解析式化为顶点式即可求解；
（2）证明判别式即可．
（1）解：当时，，
该抛物线的顶点坐标为；
（2）解：，
不论为何值，该抛物线与轴没有交点．
20．（2024九上·肥西期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）直接写出关于的不等式的解集：___________；
（3）连接，，求的面积．
【答案】（1）解：∵点在一次函数的图象上，
∴，
解得，
∴点．
∵反比例函数经过点，
∴，
∴反比例函数关系式为；
（2）或
（3）解：如图所示，当时，，所以点；
当时，，所以点．
∴，
∴．
【知识点】点的坐标；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】
解：（2）当或时．
故答案为：或；
【分析】
（1）、分别将两个点的坐标代入一次函数关系式，可求出两个点的坐标，再将点A代入反比例函数关系式可得答案，解答即可；
（2）、根据反比例函数图象在一次函数的图象上方，可得自变量取值范围，解答即可；
（3）、先求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据大三角形的面积减去两个小三角形的面积得出答案，解答即可．
（1）∵点在一次函数的图象上，
∴，
解得，
∴点．
∵反比例函数经过点，
∴，
∴反比例函数关系式为；
（2）当或时．
故答案为：或；
（3）如图所示，当时，，所以点；
当时，，所以点．
∴，
∴．
21．（2024九上·肥西期中）九年级学生小林进行跨学科自主学习活动，他利用函数的相关知识在实验场景和实验场景下做对比，研究某种化学试剂的挥发情况，若当实验过程中该试剂挥发时间为分钟时，在实验场景，中的剩余质量分别为，（单位：克）记录，与的几组对应值如下：
（分钟） 0 5 10 15 20 …
（克） 25 23.5 20 14.5 7 …
（克） 25 20 15 10 5 …
请你协助小林将探究过程补充完整：
（1）在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，并画出函数，的图象；
（2）进一步探究发现，实验场景的图象是抛物线的一部分，与之间近似满足二次函数：；实验场景的图象是直线的一部分，与之间近似满足一次函数，则___________，___________，___________；
（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于5克时，才能发挥有效作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景，中发挥有效作用的时间分别为，，则___________（填“>”，“=”或“<”）．
【答案】（1）（1）由题意，作图如图．
（2），25，
（3）
【知识点】函数自变量的取值范围；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；描点法画函数图象
【解析】【解答】（2）由题意，实验场景的图象是抛物线的一部分，与之间近似满足函数关系，
∵点，在函数图象上，
，
解得，
实验场景函数关系式为，
对于实验场景的图象是直线的一部分，与之间近似满足函数关系，
∵，在函数图象上，
，解得，
∴实验场景函数关系式为，
故答案为：，25，；
（3）
由题意，当时，实验场景中，，实验场景中，，
故答案为：．
【分析】（1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解；
（2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可；
（3）依据题意，分别求出当时x的值，即可得出答案；
（1）（1）由题意，作图如图．
（2）由题意，实验场景的图象是抛物线的一部分，与之间近似满足函数关系，
∵点，在函数图象上，
，
解得，
实验场景函数关系式为，
对于实验场景的图象是直线的一部分，与之间近似满足函数关系，
∵，在函数图象上，
，解得，
∴实验场景函数关系式为，
故答案为：，25，；
（3）由题意，当时，实验场景中，，实验场景中，，
故答案为：．
22．（2024九上·肥西期中）在中，，点是上一点，过点作于点．
（1）如图1，证明：；
（2）已知平分，点是上一点，与交于点，，．
①如图2，当时，求的值；
②如图3，当点为的中点时，求的值．
【答案】（1）证明：，
，
，
又，
，
，即；
（2）解：①在中，，
平分，
，
，，
，即，
，
；
②，，平分，
，
又，，
，
，则，
由（1）可知，则，且，
，
解得，
过点作，与延长线交于点，如图，则，
，，
又点是的中点，即，
，
，
，则，
．
【知识点】三角形全等及其性质；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；三角形的角平分线
【解析】【分析】本题主要对全等三角形的判定和性质，角平分的性质定理，相似三角形的判定和性质 ，勾股定理等知识点进行考查。
（1）根据垂直关系可得到，进一步证明，最后可得即；
（2）①在中，根据勾股定理可得，根据垂直的定义可得即，可证，所以有；
②根据角平分线的性质定理并且，平分，可得，又因为，进一步可证，由（1）可知，可得，过点作，与延长线交于点，如图，则，可证，得到，则，根据相似三角形的性质可得到．
（1）证明：，
，
，
又，
，
，即；
（2）解：①在中，，
平分，
，
，，
，即，
，
；
②，，平分，
，
又，，
，
，则，
由（1）可知，则，且，
，
解得，
过点作，与延长线交于点，如图，则，
，，
又点是的中点，即，
，
，
，则，
．
23．（2024九上·肥西期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）已知．
①求该抛物线的对称轴；
②若，当时，有最大值13，求的值；
（2）已知，，若点，和在该抛物线上，且，则　 　（用含，的式子表示），的取值范围为　 　．
【答案】（1）解：①，
，则抛物线为，
该抛物线的对称轴为直线；
②，
抛物线开口向上，又，
当时，为最大值，即，
解得；
（2）；
【知识点】二次函数y=ax²的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】（2）解：当时，则有，
∴二次函数的图象经过点，
，均在抛物线上，
抛物线的对称轴为直线，
；
抛物线经过，，
，，
，
，
由，得，
，
，
；
由，得，
，
，
综上，；
故答案为；．
【分析】（1）①根据可求解；②根据二次函数的增减性可知当时，为最大值，然后代入求解即可；
（2）由题意易得二次函数的图象开口向上，且，均在抛物线上，则有对称轴为直线，然后根据二次函数的性质可进行求解
（1）解：①，
，则抛物线为，
该抛物线的对称轴为直线；
②，
抛物线开口向上，又，
当时，为最大值，即，
解得；
（2）解：当时，则有，
∴二次函数的图象经过点，
，均在抛物线上，
抛物线的对称轴为直线，
；
抛物线经过，，
，，
，
，
由，得，
，
，
；
由，得，
，
，
综上，；
故答案为；．
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