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广东省茂名市高州市第一中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试题
1．（2025九上·高州开学考） 教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育，下列安全图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025九上·高州开学考） 下列等式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025九上·高州开学考） 如图，为了测量湖两岸、两点间的距离，可在、外选一点，再确定、的中点、，测得，则两点间的距离是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九上·高州开学考） 若分式的值为零，则等于（　　）
A． B．0 C．2 D．0和
5．（2025九上·高州开学考） 用配方法解方在，下列配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·高州开学考） 如图，四边形是菱形，于点E，则的长是（　　）
A． B．6 C． D．12
7．（2025九上·高州开学考）如图，四边形是正方形，将绕点顺时针旋转得，连接，则的角度为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九上·高州开学考）一次抛掷两枚相同的硬币，则这两枚硬币都是正面向上的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九上·高州开学考）如图，在四边形中，对角线相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
10．（2025九上·高州开学考）如图，在正方形中，，延长至点，使得．分别连接，为的中点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025九上·高州开学考） 如图，在菱形中，已知，则　 　．
12．（2025九上·高州开学考）据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年4月至6月，新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆．设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，则可列方程　 　．
13．（2025九上·高州开学考） 分解因式：　 　．
14．（2025九上·高州开学考） 将点沿x轴方向向右平移3个单位，再沿y轴方向向上平移2个单位，所得的点的坐标是　 　．
15．（2025九上·高州开学考） 如图，中，，，．点是边上的动点，过点作边，的垂线，垂足分别为，．连接，则的最小值为　 　．
16．（2025九上·高州开学考）
（1）解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来；
（2）因式分解：．
17．（2025九上·高州开学考） 解方程
（1）；
（2）．
18．（2025九上·高州开学考） 小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程．
小颖：原式
…
小红：原式
…
（1）小颖解法的依据是　 　，小红解法的依据是　 　．
A．分式的基本性质 B．等式的基本性质 C．乘法结合律 D．乘法分配律
（2）请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“，，”中选一个合适的数作为的值，代入求该分式的值．
19．（2025九上·高州开学考） 已知关于x的方程．
（1）若该方程的一个根为，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，该方程总有实数根．
20．（2025九上·高州开学考） 仁寿县鳌峰中学组织学生开展了“青春心向党，红色永传承”党史知识竞赛，为了解学生对党史的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图
（1）本次共抽取了 ▲ 名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
（2）若本校共有3200人参加本次竞赛活动，请估计竞赛成绩为B等级的学生人数；
（3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加学校党史报告活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率．
21．（2025九上·高州开学考） 某商店以元千克的单价进货了一批商品，经调查发现，每天的销售量千克与销售单价元千克之间的函数关系如图中线段所示．
（1）求与的函数表达式；
（2）要使每天的销售利润达到元，销售单价应定为每千克多少元？
22．（2025九上·高州开学考）如图，线段是矩形的对角线．
（1）实践与操作，利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为O，交于点E，交于点F，连接（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，需标明字母）
（2）猜想与证明 试猜想四边形的形状，并加以证明．
23．（2025九上·高州开学考）综合实践
背景 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利．
素材1 某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等．
素材2 若农业公司共购进20架无人机，A型无人机5万元/架，B型无人机6万元/架．
问题解决
任务1 A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？
任务2 若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，那么该公司如何购买A型和B型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本．
24．（2025九上·高州开学考） 如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为．
（1）求当为何值时，四边形矩形；
（2）求当为何值时，四边形是菱形；
（3）在运动过程中，沿着把翻折，求当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在边上．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A：图案是轴对称图形，不是中心对称图形，所以A不符合题意；
B：图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以B符合题意；
C：图案是轴对称图形，不是中心对称图形，所以C不符合题意；
D：图案不是轴对称图形，是中心对称图形，所以D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）符合因式分解的定义，符合题意，
B、a（x+y）＝ax+ay是乘法运算，不符合题意，
C、x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1中等号右边不是积的形式，不符合题意，
D、a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1中等号右边不是积的形式，不符合题意，
故答案为：A
【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式）结合题意对选项逐一判断即可求解。
3．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE是的中位线，
∴AB=2DE=120m。
故答案为：D.
【分析】首先得出DE是的中位线，再根据三角形中位线定理，即可得出AB=2DE=120m。
4．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式值为零，
∴x+2=0，且x≠0，
∴x=-2.
故答案为：A.
【分析】根据分式的值为0的条件，即可得出x+2=0，且x≠0，解得x=-2.即可得出答案。
5．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
移项，得：，
配方，得：，
即（x-2）2=10。
故答案为：D.
【分析】首先把常数项移到方程的右边，然后再在等式两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式，即可得出答案。
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：∵ 四边形是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO=，BO=DO==4，BC=CD=5
∴OC=，
∴AC=2OC=6，
∴S菱形ABCD=，
∴，
∴AE=.
故答案为：A.
【分析】首先根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO=，BO=DO==4，BC=CD=5，进而根据勾股定理得出OC=3，再得出AC=6，进而根据菱形面积的两种求法，即可得出AE的长。
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
由旋转知，，，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】首先根据正方形的性质得出，再由旋转知，，即可得出，进一步根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，即可得出．
8．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】
解：由题意可得：
∴总可能发生的情况有4种，两个都朝上是1种，故两个都是正面向上的概率为：，
故答案为：B；
【分析】首先根据树状图进行分析，得出所有机会均等的结果，以及所关注事件的结果，进而根据概率计算公式，即可得出答案。
9．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、∵，，
∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、∵，，
∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
D、由，不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意，
故选：D．
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】
解：连接，
∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵M为的中点，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据正方形的性质得出．根据等腰直角三角形的性质得出，进而得出，然后根据勾股定理可先求得AC和AF，再求得CF，最后根据直角三角形斜边上的中线，即可得出AM的长度。
11．【答案】64
【知识点】平行线的性质；菱形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴∠CDO=∠ABO=26°，∠COD=90°，
∴∠DCO=64°。
故答案为：64.
【分析】首先根据菱形的性质得出AB∥CD，AC⊥BD，进而得出∠CDO=∠ABO=26°，∠COD=90°，再根据直角三角形两锐角互余，即可得出∠DCO=64°。
12．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，依题意得，
，
故答案为：．
【分析】设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，根据 新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆． 即可得出方程。
13．【答案】3(x+1)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3（x2+2x+1）=3（x+1）2.
故答案为：3（x+1）2.
【分析】首先提公因式3，再根据完全平方公式，即可得出结果。
14．【答案】（5，3）
【知识点】点的坐标；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 将点沿x轴方向向右平移3个单位， 可得出（5，1），
再向上平移2个单位，即可得出（5，3）。
故答案为：（5，3）.
【分析】根据点的平移与坐标的变化之间的关系，即可得出答案。
15．【答案】2.4
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：连接CD，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠CED=90°，∠CFD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴EF=CD，
当CD⊥AB时，CD 的值最小，
当CD最小时，EF的值最小。
由勾股定理得：AB=，
∴，
∴5CD=3×4，
∴CD=2.4，
∴EF=2.4.
故答案为2.4：.
【分析】首先可证明四边形DECF是矩形，可得出EF=CD，故而可得出CD的最小值，即为EF的最小值，根据垂线段最短，可得出当CD⊥AB时，CD的值最小，然后根据勾股定理，首先求出AB的长，进而根据面积法即可得出CD的最小值，即为EF的最小值。
16．【答案】（1）解：解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x>-2，
故原不等式组的解集为-2将其解集在数轴上表示如下图所示：
（2）解： 2ax2-18a2
= 2a(x2-9a2)
= 2a(x + 3a)(x- 3a)..
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；在数轴上表示不等式组的解集；列一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）首先分别接不等式①②，求出它们的解集，然后再求得它们解集的公共部分，即可得出不等式组的解集，并在数轴上把解集表示出来即可；
（2）首先提公因式2a，然后再根据平方差公式，即可得出分解结果。
17．【答案】（1）解：，
，
或
故 ，.
（2）解：，
∵，，，
∴，
∴，
所以 ，
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法，即可求解；
（2）根据公式法即可求解。
18．【答案】（1）A；D
（2）解：选择小颖的解法：
，
，
，
，
则原式 = ；
选择小红的解法，
∵当x为2，-2时，原式无意义，
∴当x=1时，原式=.
【知识点】分式有无意义的条件；分式的基本性质；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：（1）观察小颖的解法，依据是分式的基本性质；小红的解法，依据是乘法分配律；
故答案为：A，D
【分析】（1） 小颖 是首先根据分是的基本性质进行同分，先计算括号里面的，然后在进行乘法运算；小红是根据乘法分配律，去括号，先进性乘法运算，再进行加法运算，即可得出答案；
（2）选择小颖的解法，可得出化简结果为，然后根据原分式的意义可选取x=1，进行代入求值即可；选择小红的解法，可得出化简结果为，然后根据原分式的意义可选取x=1，进行代入求值即可。
19．【答案】（1）解：将x=1代入原方程可得：
1+( m +3)+3m=0，
解得：m=-1
（2）证明：一元二次方程x2+(m+3)x+3m=0中，a=1，b=m+3，c=3m，
∴△=b2-4аc=(m+3)2-4×3m=(m-3)2≥0，
∴不论m取何实数，该方程总有实数根。
【知识点】解一元一次方程；一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；偶次方的非负性；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】（1）根据方程的根的意义，可把x=1代入原方程，即可得出1+( m +3)+3m=0，解方程即可求得m的值；
（2）首先求得根的判别式，然后根据偶次方的非负性，即可得出结论。
20．【答案】（1）解：400； D等级的人数为：400-120-160-80=40（名)，
补全图，如下
抽样成绩等级的条形统计图
（2）解：由题意得
（名），
答：估计竞赛成绩为B等级的学生人数为1280名；
（3）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 　 甲，乙 甲，丙 甲，丁
乙 乙，甲 　 乙，丙 乙，丁
丙 丙，甲 丙，乙 　 丙，丁
丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙 　
共有12种等可能结果，甲、乙两人同时被选中的结果有2种，
，
故甲、乙两人同时被选中的概率为.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）80÷20%=400（人）
故答案为：400；
【分析】（1）首先用C组人数÷C组所占的百分比，即可得出抽取的学生人数；并从总人数中减去其他各组人数，即可得出D组人数，并补全条形统计图即可；
（2）首先求出样本中B组所占的比例，然后用样本中去估计总体，即可由学生总人数×B组所占的比例，得出 竞赛成绩为B等级的学生人数；
（3）首先用列表法列举出所有机会均等的结果，进而找出甲、乙两人同时被选中的结果，再根据概率计算公式，即可得出答案。
21．【答案】（1）解：设 y 与 x 的函数表达式为 ，将 (20，60)，(80，0) 代入 ，
得：，
解得：.
∴ y 与 x 的函数表达式为 .
（2）解：根据题意得：
整理得：，
解得：，.
答：销售单价应定为每千克40元或60元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；通过函数图象获取信息
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得出与的函数表达式；
（2）根据（销售单价-进价）×销量=利润，即可得出方程，解方程即可得出答案。
22．【答案】（1）解：所求垂直平分线如图所示：·
（2）四边形是菱形．
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）利用尺规作垂直平分线的方法求解即可；
（2）首先根据平行四边形的性质得出，再根据ASA证得≌，即可得出，即可得出四边形是平行四边形，再根据线段垂直平分线的性质得出，即可证得四边形是菱形．
（1）所求垂直平分线如图所示：·
（2）四边形是菱形．
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴四边形是菱形．
23．【答案】解：任务1，设A型无人机每小时送喷洒x公顷，则B型每小时喷洒公顷由题意可得：
解得：
经检验：是原分式方程的根，
答：A型无人机每小时喷洒8公顷，B型无人机每小时喷洒10公顷．
任务2，设A型无人机a台，则B型无人机台，总费用为w万元，
由题意可知：
解得：
∵，
∴w随a的增大而减小，
∴当，（万元）
此时B型无人机（台）．
答：采购A型无人机10台，B型机10台时总费用最少，最少费用为110万元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】任务1，设A型无人机每小时送喷洒x公顷，则B型每小时喷洒公顷，根据 A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等，可列分式方程，求解即可；
任务2，设A型无人机a台，则B型无人机台，总费用为w万元，根据题这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田 可得不等式：
，求出；并根据总费用= A型无人机 费用+B型无人机费用，可得：，根据一次函数的性质即可求解。
24．【答案】（1）解：由已知可得，BQ=DP=2tcm，AP=CQ=(12-2t)cm
在矩形ABCD中， ∠B=90°， AD//BC，AD=BC，
当BQ=AP时，四边形ABQP为矩形时，
2t=12-2t，解得：t=3，
故当t=3时，四边形ABQP为矩形；
（2）解：，，
，
即，
，
四边形AQCP为平行四边形，
当时，四边形AQCP为菱形，
根据勾股定理得：，，
此时，
解得，
故当时，四边形AQCP为菱形；
（3）解：如图2，
根据折叠可知：∠AQB=∠AQB'，AB'=AB=6cm，BQ=B'Q=2tcm，
∠AB'Q=∠B=90°，
在矩形ABCD中，AD//BC，
∴∠AQB=∠PAQ，
∴∠AQB'=∠PAQ，
∴PA=PQ=(12-2t)cm，
∴B'P=12-2t-2t=(12-4t)cm，
∵∠AB'P =180°—90°= 90°，
在中，由勾股定理得：，
∴，
即：，
解得：，，
即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点B'恰好落在PQ边上。
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得出BQ=DP=2tcm，AP=CQ=(12-2t)cm，根据矩形的性质可得出2t=12-2t，解方程即可得出t的值；
（2）根据题意可得：BQ=DP=2tcm，AP=CQ=(12-2t)cm，再根据勾股定理得出，根据菱形的性质可得出，解方程即可得出t的值；
（3）由题意可知， 翻折后点的对应点恰好落在边上 ，则∠AQB'=∠AQB，故而得出∠AQB'=∠PAQ，进而PA=PQ=(12-2t)cm，然后根据勾股定理得：，即，解方程即可得出t的值。
1 / 1广东省茂名市高州市第一中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试题
1．（2025九上·高州开学考） 教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育，下列安全图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A：图案是轴对称图形，不是中心对称图形，所以A不符合题意；
B：图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以B符合题意；
C：图案是轴对称图形，不是中心对称图形，所以C不符合题意；
D：图案不是轴对称图形，是中心对称图形，所以D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
2．（2025九上·高州开学考） 下列等式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）符合因式分解的定义，符合题意，
B、a（x+y）＝ax+ay是乘法运算，不符合题意，
C、x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1中等号右边不是积的形式，不符合题意，
D、a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1中等号右边不是积的形式，不符合题意，
故答案为：A
【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式）结合题意对选项逐一判断即可求解。
3．（2025九上·高州开学考） 如图，为了测量湖两岸、两点间的距离，可在、外选一点，再确定、的中点、，测得，则两点间的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE是的中位线，
∴AB=2DE=120m。
故答案为：D.
【分析】首先得出DE是的中位线，再根据三角形中位线定理，即可得出AB=2DE=120m。
4．（2025九上·高州开学考） 若分式的值为零，则等于（　　）
A． B．0 C．2 D．0和
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式值为零，
∴x+2=0，且x≠0，
∴x=-2.
故答案为：A.
【分析】根据分式的值为0的条件，即可得出x+2=0，且x≠0，解得x=-2.即可得出答案。
5．（2025九上·高州开学考） 用配方法解方在，下列配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
移项，得：，
配方，得：，
即（x-2）2=10。
故答案为：D.
【分析】首先把常数项移到方程的右边，然后再在等式两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式，即可得出答案。
6．（2025九上·高州开学考） 如图，四边形是菱形，于点E，则的长是（　　）
A． B．6 C． D．12
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：∵ 四边形是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO=，BO=DO==4，BC=CD=5
∴OC=，
∴AC=2OC=6，
∴S菱形ABCD=，
∴，
∴AE=.
故答案为：A.
【分析】首先根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO=，BO=DO==4，BC=CD=5，进而根据勾股定理得出OC=3，再得出AC=6，进而根据菱形面积的两种求法，即可得出AE的长。
7．（2025九上·高州开学考）如图，四边形是正方形，将绕点顺时针旋转得，连接，则的角度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
由旋转知，，，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】首先根据正方形的性质得出，再由旋转知，，即可得出，进一步根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，即可得出．
8．（2025九上·高州开学考）一次抛掷两枚相同的硬币，则这两枚硬币都是正面向上的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】
解：由题意可得：
∴总可能发生的情况有4种，两个都朝上是1种，故两个都是正面向上的概率为：，
故答案为：B；
【分析】首先根据树状图进行分析，得出所有机会均等的结果，以及所关注事件的结果，进而根据概率计算公式，即可得出答案。
9．（2025九上·高州开学考）如图，在四边形中，对角线相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、∵，，
∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、∵，，
∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
D、由，不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意，
故选：D．
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
10．（2025九上·高州开学考）如图，在正方形中，，延长至点，使得．分别连接，为的中点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】
解：连接，
∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵M为的中点，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据正方形的性质得出．根据等腰直角三角形的性质得出，进而得出，然后根据勾股定理可先求得AC和AF，再求得CF，最后根据直角三角形斜边上的中线，即可得出AM的长度。
11．（2025九上·高州开学考） 如图，在菱形中，已知，则　 　．
【答案】64
【知识点】平行线的性质；菱形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴∠CDO=∠ABO=26°，∠COD=90°，
∴∠DCO=64°。
故答案为：64.
【分析】首先根据菱形的性质得出AB∥CD，AC⊥BD，进而得出∠CDO=∠ABO=26°，∠COD=90°，再根据直角三角形两锐角互余，即可得出∠DCO=64°。
12．（2025九上·高州开学考）据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年4月至6月，新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆．设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，则可列方程　 　．
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，依题意得，
，
故答案为：．
【分析】设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，根据 新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆． 即可得出方程。
13．（2025九上·高州开学考） 分解因式：　 　．
【答案】3(x+1)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3（x2+2x+1）=3（x+1）2.
故答案为：3（x+1）2.
【分析】首先提公因式3，再根据完全平方公式，即可得出结果。
14．（2025九上·高州开学考） 将点沿x轴方向向右平移3个单位，再沿y轴方向向上平移2个单位，所得的点的坐标是　 　．
【答案】（5，3）
【知识点】点的坐标；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 将点沿x轴方向向右平移3个单位， 可得出（5，1），
再向上平移2个单位，即可得出（5，3）。
故答案为：（5，3）.
【分析】根据点的平移与坐标的变化之间的关系，即可得出答案。
15．（2025九上·高州开学考） 如图，中，，，．点是边上的动点，过点作边，的垂线，垂足分别为，．连接，则的最小值为　 　．
【答案】2.4
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：连接CD，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠CED=90°，∠CFD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴EF=CD，
当CD⊥AB时，CD 的值最小，
当CD最小时，EF的值最小。
由勾股定理得：AB=，
∴，
∴5CD=3×4，
∴CD=2.4，
∴EF=2.4.
故答案为2.4：.
【分析】首先可证明四边形DECF是矩形，可得出EF=CD，故而可得出CD的最小值，即为EF的最小值，根据垂线段最短，可得出当CD⊥AB时，CD的值最小，然后根据勾股定理，首先求出AB的长，进而根据面积法即可得出CD的最小值，即为EF的最小值。
16．（2025九上·高州开学考）
（1）解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来；
（2）因式分解：．
【答案】（1）解：解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x>-2，
故原不等式组的解集为-2将其解集在数轴上表示如下图所示：
（2）解： 2ax2-18a2
= 2a(x2-9a2)
= 2a(x + 3a)(x- 3a)..
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；在数轴上表示不等式组的解集；列一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）首先分别接不等式①②，求出它们的解集，然后再求得它们解集的公共部分，即可得出不等式组的解集，并在数轴上把解集表示出来即可；
（2）首先提公因式2a，然后再根据平方差公式，即可得出分解结果。
17．（2025九上·高州开学考） 解方程
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
或
故 ，.
（2）解：，
∵，，，
∴，
∴，
所以 ，
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法，即可求解；
（2）根据公式法即可求解。
18．（2025九上·高州开学考） 小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程．
小颖：原式
…
小红：原式
…
（1）小颖解法的依据是　 　，小红解法的依据是　 　．
A．分式的基本性质 B．等式的基本性质 C．乘法结合律 D．乘法分配律
（2）请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“，，”中选一个合适的数作为的值，代入求该分式的值．
【答案】（1）A；D
（2）解：选择小颖的解法：
，
，
，
，
则原式 = ；
选择小红的解法，
∵当x为2，-2时，原式无意义，
∴当x=1时，原式=.
【知识点】分式有无意义的条件；分式的基本性质；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：（1）观察小颖的解法，依据是分式的基本性质；小红的解法，依据是乘法分配律；
故答案为：A，D
【分析】（1） 小颖 是首先根据分是的基本性质进行同分，先计算括号里面的，然后在进行乘法运算；小红是根据乘法分配律，去括号，先进性乘法运算，再进行加法运算，即可得出答案；
（2）选择小颖的解法，可得出化简结果为，然后根据原分式的意义可选取x=1，进行代入求值即可；选择小红的解法，可得出化简结果为，然后根据原分式的意义可选取x=1，进行代入求值即可。
19．（2025九上·高州开学考） 已知关于x的方程．
（1）若该方程的一个根为，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，该方程总有实数根．
【答案】（1）解：将x=1代入原方程可得：
1+( m +3)+3m=0，
解得：m=-1
（2）证明：一元二次方程x2+(m+3)x+3m=0中，a=1，b=m+3，c=3m，
∴△=b2-4аc=(m+3)2-4×3m=(m-3)2≥0，
∴不论m取何实数，该方程总有实数根。
【知识点】解一元一次方程；一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；偶次方的非负性；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】（1）根据方程的根的意义，可把x=1代入原方程，即可得出1+( m +3)+3m=0，解方程即可求得m的值；
（2）首先求得根的判别式，然后根据偶次方的非负性，即可得出结论。
20．（2025九上·高州开学考） 仁寿县鳌峰中学组织学生开展了“青春心向党，红色永传承”党史知识竞赛，为了解学生对党史的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图
（1）本次共抽取了 ▲ 名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
（2）若本校共有3200人参加本次竞赛活动，请估计竞赛成绩为B等级的学生人数；
（3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加学校党史报告活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率．
【答案】（1）解：400； D等级的人数为：400-120-160-80=40（名)，
补全图，如下
抽样成绩等级的条形统计图
（2）解：由题意得
（名），
答：估计竞赛成绩为B等级的学生人数为1280名；
（3）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 　 甲，乙 甲，丙 甲，丁
乙 乙，甲 　 乙，丙 乙，丁
丙 丙，甲 丙，乙 　 丙，丁
丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙 　
共有12种等可能结果，甲、乙两人同时被选中的结果有2种，
，
故甲、乙两人同时被选中的概率为.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）80÷20%=400（人）
故答案为：400；
【分析】（1）首先用C组人数÷C组所占的百分比，即可得出抽取的学生人数；并从总人数中减去其他各组人数，即可得出D组人数，并补全条形统计图即可；
（2）首先求出样本中B组所占的比例，然后用样本中去估计总体，即可由学生总人数×B组所占的比例，得出 竞赛成绩为B等级的学生人数；
（3）首先用列表法列举出所有机会均等的结果，进而找出甲、乙两人同时被选中的结果，再根据概率计算公式，即可得出答案。
21．（2025九上·高州开学考） 某商店以元千克的单价进货了一批商品，经调查发现，每天的销售量千克与销售单价元千克之间的函数关系如图中线段所示．
（1）求与的函数表达式；
（2）要使每天的销售利润达到元，销售单价应定为每千克多少元？
【答案】（1）解：设 y 与 x 的函数表达式为 ，将 (20，60)，(80，0) 代入 ，
得：，
解得：.
∴ y 与 x 的函数表达式为 .
（2）解：根据题意得：
整理得：，
解得：，.
答：销售单价应定为每千克40元或60元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；通过函数图象获取信息
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得出与的函数表达式；
（2）根据（销售单价-进价）×销量=利润，即可得出方程，解方程即可得出答案。
22．（2025九上·高州开学考）如图，线段是矩形的对角线．
（1）实践与操作，利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为O，交于点E，交于点F，连接（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，需标明字母）
（2）猜想与证明 试猜想四边形的形状，并加以证明．
【答案】（1）解：所求垂直平分线如图所示：·
（2）四边形是菱形．
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）利用尺规作垂直平分线的方法求解即可；
（2）首先根据平行四边形的性质得出，再根据ASA证得≌，即可得出，即可得出四边形是平行四边形，再根据线段垂直平分线的性质得出，即可证得四边形是菱形．
（1）所求垂直平分线如图所示：·
（2）四边形是菱形．
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴四边形是菱形．
23．（2025九上·高州开学考）综合实践
背景 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利．
素材1 某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等．
素材2 若农业公司共购进20架无人机，A型无人机5万元/架，B型无人机6万元/架．
问题解决
任务1 A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？
任务2 若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，那么该公司如何购买A型和B型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本．
【答案】解：任务1，设A型无人机每小时送喷洒x公顷，则B型每小时喷洒公顷由题意可得：
解得：
经检验：是原分式方程的根，
答：A型无人机每小时喷洒8公顷，B型无人机每小时喷洒10公顷．
任务2，设A型无人机a台，则B型无人机台，总费用为w万元，
由题意可知：
解得：
∵，
∴w随a的增大而减小，
∴当，（万元）
此时B型无人机（台）．
答：采购A型无人机10台，B型机10台时总费用最少，最少费用为110万元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】任务1，设A型无人机每小时送喷洒x公顷，则B型每小时喷洒公顷，根据 A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等，可列分式方程，求解即可；
任务2，设A型无人机a台，则B型无人机台，总费用为w万元，根据题这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田 可得不等式：
，求出；并根据总费用= A型无人机 费用+B型无人机费用，可得：，根据一次函数的性质即可求解。
24．（2025九上·高州开学考） 如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为．
（1）求当为何值时，四边形矩形；
（2）求当为何值时，四边形是菱形；
（3）在运动过程中，沿着把翻折，求当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在边上．
【答案】（1）解：由已知可得，BQ=DP=2tcm，AP=CQ=(12-2t)cm
在矩形ABCD中， ∠B=90°， AD//BC，AD=BC，
当BQ=AP时，四边形ABQP为矩形时，
2t=12-2t，解得：t=3，
故当t=3时，四边形ABQP为矩形；
（2）解：，，
，
即，
，
四边形AQCP为平行四边形，
当时，四边形AQCP为菱形，
根据勾股定理得：，，
此时，
解得，
故当时，四边形AQCP为菱形；
（3）解：如图2，
根据折叠可知：∠AQB=∠AQB'，AB'=AB=6cm，BQ=B'Q=2tcm，
∠AB'Q=∠B=90°，
在矩形ABCD中，AD//BC，
∴∠AQB=∠PAQ，
∴∠AQB'=∠PAQ，
∴PA=PQ=(12-2t)cm，
∴B'P=12-2t-2t=(12-4t)cm，
∵∠AB'P =180°—90°= 90°，
在中，由勾股定理得：，
∴，
即：，
解得：，，
即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点B'恰好落在PQ边上。
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得出BQ=DP=2tcm，AP=CQ=(12-2t)cm，根据矩形的性质可得出2t=12-2t，解方程即可得出t的值；
（2）根据题意可得：BQ=DP=2tcm，AP=CQ=(12-2t)cm，再根据勾股定理得出，根据菱形的性质可得出，解方程即可得出t的值；
（3）由题意可知， 翻折后点的对应点恰好落在边上 ，则∠AQB'=∠AQB，故而得出∠AQB'=∠PAQ，进而PA=PQ=(12-2t)cm，然后根据勾股定理得：，即，解方程即可得出t的值。
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