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射洪中学高 2023 级高三上期第一次模拟考试
数学试卷
（考试时间：120 分钟 满分：150 分）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第I卷（选择题）
一 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
已知集合 A={2a-1，a2，0}，B={1-a，a-5，9}，若 A∩B={9}，则实数 a 的值为( )
A.-3 B.3 C.5 D.5 或-3 或 3
a 是a 0 成立的( )
充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
已知 a>b，则下列不等式一定成立的是( )
<

|a|>|b| C.a2>b2 D.2a>2b
如图是下列四个函数中某一个的部分图象，则该函数为（ ）
f x
C. f x
x
x3
x 1 2
f x
D. f x
x 1 ex 1 1
x
x 1 2
已知样本数据 3，6，3，2，7，4，6，8 的中位数为 n ，则 x2 x 2 n 的展开式中含 x 项
的系数为（ ）
80 B. 240 C.
80
D. 32
f x
f x 2 f 1 x
4x 1
已知定义在 R 上的函数 满足
， 若函数 y
与函数
4x 2 2
y f (x) 的图象的交点为(x1 , y1 ) ， (x2 , y2 ) ，… (x9 , y9 )
21
，则 xi yi （ ）
i 1
27
9 B.
2
C. 12 D.
2
1 1 1
若a 168 , b ee , c 33 ，则（ ）
a b c
C. b c a
a c b
D. c b a
已知函数 f (x) log2 x ,

x 0
，若函数 F (x)
x 0
f (x) b 有四个不同的零点
x x x2 x x2
x , x , x , x x x x x ，则 4 1 3 2 3 的取值范围是（ ）
1 2 3 4 1 2 3 4
3
(2， )
2, 17
2, 17
[ , + ∞)
4 4
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
已知 1 2x2 1 x n a a x a x2 a x3 a x4 a x5 a x6 a x7 ，则（ ）
n 5
C. a4 25
a0 1
D. a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 32
已知正实数 x 、 y 满足 xy x 2 y 6 ，则下列说法正确的有（ ）
xy 的最大值为18 B. x 2 y 的最小值为12
C. 2x y 的最小值为13 D.
1
x 2
4
y 1 2
的最小值为 1
2
已知 f (x) 是定义在R 上的奇函数，其导函数为 f (x) ，且 f (x) f (x) 2ex ，则（ ）
f (x) 为偶函数 B. f (x) 在R 上单调递增
x R, f (x)
f (x)
x 0, f (x) xf (x)
第 II 卷（非选择题）
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
若函数 f x x x a 2 在 x 1 处有极小值，则a .
设等比数列 a 的前 n 项和为 S ，已知 S 3a 2, a a 3 ，则 a
n n 3 1 3 1 2 5
定义：如果函数 f(x)在区间[a，b]上存在 x1，x2(af / (x )
f / (x )
f (b) f (a)
， 则称函数 f(x) 是[a， b] 上的“ 双中值函数”. 已知函数
b a
f(x)=x3-x2+a 是[0，a]上的“双中值函数”，则实数 a 的取值范围是 .四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）一年一度的“双 11”促销活动又将拉开帷幕，各大电商平台发布的数据显示，在消费品以旧换新、家电政府补贴等促消费政策和活动的带动下，消费市场潜能加速释放，带动相关商品销售保持增长. 经过调研，得到 2019 年到 2024 年“双 11”活动当天某电商平台线上日销售额 y （ 单位: 百亿元） 与年份（ 第 x 年） 的 6 组数据（ 时间变量 x 的取值依次为 1, 2, , 6 ）， 对数据进行处理， 得到如下散点图（ 图 1 ） 及一些统计量的值. 其中
1 6
ti ln xi , t ti .
i 1
y x 6 x2 i i 1 6 xi yi i 1 t 6 t 2 i i 1 n ti yi i 1
48.7 3.5 91 1204 1.1 9.4 388.1
分别用两种模型：① y bx a ；② y b ln x a 进行拟合，得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图（图 2）（残差值 真实值 预测
值）.
根据题中信息，通过残差图比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型进行拟合？请说明理由；
根据（1）中所选模型，
求出 y 关于 x 的经验回归方程（系数精确到 0.1）；
若该电商平台每年活动当天线上日销售额 y 与当日营销成本u 及年份 x 存在线性关
系: y 3u 2.6x ，则在第几年活动当日营销成本的预测值最大
xi yi nx y
参考公式: b i 1 , a y b x ；参考数据: ln 7 1.95 .
n 2 2
xi
i 1
nx
16.(15 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x ，0 时，f(x)= + (a∈R).

求 f(a+2)的值；
求在（0， ）上的解不等式 f (x) 32x 1
(3)当 x∈ ， 时，不等式 f(x)≤ 恒成立，求实数 m 的取值范围.
▲
(15 分)已知数列 a n N* 满足 a1 a2 L an n 2 1 ．
n
求数列 an 的通项公式；
2 22 2n
2n 1
若bn an cos nπ ，求数列 bn 前2n 项和T2n .
(17 分)已知函数 f x x lnx 1 ax , a R .
2

若函数 （f x）在 x 1 处的切线方程为 y b ，求实数a, b ；
若函数 （f x）存在两个极值点 x1, x2 （ x1 x2 ）
①求 a 的取值范围；
②证明： f x 1
1 2
(17 分)若函数 f x 在定义域内存在两个不同的数 x1, x2 ，同时满足 f x1
f x 在点 x1, f x1 , x2 , f x2 处的切线斜率相同，则称 f x 为“切合函数”
证明： f x x3 2x 为“切合函数”；
f x2 ，且
若 g x xlnx x2 ax 为“切合函数”，并设满足条件的两个数为 x , x ．
（ⅰ）求证： x x 1 ；
1 2 4
（ⅱ）求证： a 1 2 x x
3 ．
4
数学参考答案
一．选填题答案
A B D D A D B C AB BCD ABD
1
3，8，（
二．解答题
，1）
2
【1】由残差图可知模型①的残差值比较分散和远离横轴，所以模型①平方和大于模型②的残差平方和，所以应选择模型②.
【2】（i）对于模型②： y b ln x a ，令t ln x ，可得 y bt a ，
ti yi nt y 388.1 6 1.1 48.7
则b i 1 31.2, a y b t 48.7 31.2 1.1 14.4 ，
6 2 2
9.4 6 1.12
ti
i 1
nt
可得 y 31.2t 14.4 ，所以 y 关于 x 的经验回归方程为 y 31.2 ln x 14.4 ；
（ⅱ）由（i）可得： y 31.2 ln x 14.4 3u 2.6x ，整理可得3u 31.2 ln x 14.4 2.6x ，
f x 31.2 ln x 14.4 2.6x, x 1 ，则 f x 31.2 2.6 31.2 2.6x ，
x x
令 ′ ( ) > ，解得1 x 12 ；令 ′ ( ) < ，解得 x 12 ；
可知 f x 在 1,12 内单调递增，在 12, ∞ 内单调递减，所以当 x 12 时， 3u
大值，即u 取得最大值，所以第 12 年活动当日营销成本的预测值最大.
16.（1）因为 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)=0,
f x 取到最
又当 x ，0 时， ( ) = + ( ∈ )所以 f(0) = + = ，解得 a=-1




所以 a+2=1;故 f(a+2)=f(1)=-f(-1)=-5
（2）由（1）得，当 x ，0 时， ( ) =

当 x 0， 时，-x∈ ，0 ，所以 ( ) = = ,

又 ( ) = ( ) = 所以 y=f(x)在(0,3]上的解析式为 ( ) = ; f (x) 32x 1
解集为（0，1）
（3）因为当 x∈[-1, ]时， ( ) = ,所以由 ( ) ≤
≤



，得
,整理得 ≥ ( ) + ( ) ,根据指数函数单调性可得 g(x)是减函数，


所以 ( )
= ( ) = ( ) + ( ) = 7,所以 m≥7,


故实数 m 的取值范围是[7,+∞).
【1】由题意 a1 a2 L an
n 2
1 . 当n 1 时， a 0 ；
2 22 2n
2n 1 1
当n 2 时， a1 a2 L an-1 n 3 1 ,
2 22
2n-1
2n 2
两式相减得 an
2n
n 2
1
2n 1
(n 3
1
2n 2
) 1
1
2n 1
，所以a 2n 2 ，当n 1 时也成立．
所以数列 a 的通项公式a 2n 2 .
2 2n , n为奇数
【2】根据题意，得b
a .cos nπ (2n 2) cos nπ ,
n n 2n 2, n为偶数
所以T2n b1 b2 b3 ... b2n 1 b2n ( 21 22 23 ... 22n 1 22n ) (2 2 2 ... 2 2)
21 22 23 ... 22n 1 22n
2[1 ( 2)2n ] 1 ( 2)
2 4n 2
3
. 所以T2n
2 4n 2
.
3
【1】因为 f x lnx 1 ax, f x 在 x 1 处的切线斜率为 0，
所以 f 1 1 a 0 ，即a 1 ；此时切点坐标为 1， 1 ，所以b 1 .
2 2
【2】①因为

f x lnx ax 1，
当a 0 时， f x 在 0， 单调递增， f x 0 只有一解，显然不符合题意；
当a 0 时，设h x ln x ax 1 ，则h x 1 a .
x
由h x 0 0 x 1 ；由h x 0 x 1 .
a a
所以h x 即 f x 在 0， 1 上单调递增，在 1 ， 上单调递减.
a
a
因为函数 f x 存在两个极值点 x1, x2 .
所以 f x 0 需有两解，所以 f 1 ln 1 0 为必要条件，即 1 a 0 为必要条件，
a a

当 1 a 0 时， x 0 时， f x ∞；x ∞时， f x ，
f x 分别在 0， 1 及 1 ， 各有一零点 x ，x ，综上： 1 a 0 .
a 1 2
a
②因为 f x 0 x x1 或 x x2 x2 x1 ，f x 0 x1 x x2 而 f 1 1 a 0 ，所以0 x1 1，而 f x1 lnx1 1 ax1 0 ax1 lnx1 1，
f x
1 1 1
所以 1 x1 lnx1 2 ax1 x1 lnx1 2 lnx1 1 2 x1lnx1 x1 ， 0 x1 1 ，
令 g x xlnx x， 0 x 1 ，所以 g x lnx 0 ，所以 g x 在 0,1 上单调递减，所以 g x g 1 1 ，所以 f x 1 .
1 2
19【1】假设存在两个不同的数 x1, x2 ，满足题意，
易知 f x 3x2 2 ，由题意可得 f x f x ，即 x3 2x x3 2x ，
1 2 1 1 2 2
x3 2x x3 2x 0 ， x3 x3 2 x x 0 ， x x x2 x x x2 2 x x 0 ，
x x x2 x x x2 2 0 ，又 x x ，所以 x2 x x x2 2 0 .
因为 f x f x ，即3x2 2 3x2 2 ，化简可得 x2 x2 ，又 x x ，所以 x x ，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
代入 x2 x x x2 2 0 ，可得 x 2, x 或 x 2, x ，
1 1 2 2 1 2 1 2
所以 f x x3 2x 为“切合函数”.
【2】由题意知 g x lnx 2x a 1 ，因为 g x xlnx x2 ax 为“切合函数”，
g x1 g x2
故存在不同的数 x1, x2 (不妨设0 x1 x2 )使得 g x g x ，即
x lnx x2 ax x lnx x2 ax
1 2
1 1 1 1 2 2 2 2 ，
lnx1 2x1 a 1 lnx2 2x2 a 1
a x1lnx1 x2lnx2 x x 1
x x 2 1
x x
整理得 2 1 ，（ⅰ）先证 2 1 ，
1 x x
lnx
lnx
2 1 2 2 1
2 lnx2 lnx1
即 x2 x1 lnx lnx ， ln x2 ，令t ，则由0 x x ，知t 1，
2 1
1 2
1
要证
ln x2 ，只需证t 1 2 ln t ，即2 ln t t 1 0 ，
x1 t t
1 2 1 t 1 2
设m t 2 ln t t
t
t 1 ，易知m t 1
t t 2 t 2
0 ，
故m t 在 1, +∞ 单调递减，所以m t m 1 0 ，故有
x2 x1
，
lnx lnx
由上面的 2 式知
2 1
1 ,所以 x x 1 .
2 1 2 4
（ⅱ）由上面的 2 得1
2 x2 x1
，
lnx2 lnx1
a x1lnx1 x2lnx2 x x x1lnx1 x2lnx2 x2 x1

x x 2 1 x x 1
2 1 2 1
x1lnx1 x2lnx2 x2 x1 x1lnx1 x2lnx2 x2 x1 lnx2 lnx1
x2 x1
2 x2 x1
lnx2 lnx1
x2 x1
2 x2 x1
2 x1lnx1 x2lnx2 x2 x1 lnx2 lnx1 x1ln x1x2 x2ln x1x2
ln x1x2
2 x2 x1 2 x2 x1 2
又 x x 1 ，所以a ln 2 且 x x e 2a ，故要证 a 1 2 x x 3 ，
1 2 4 1 2 1 2 4
只需证 a 1 2 e 2a e a 3 ，即 3 e2a +ea a 1 2 0 a ln 2 ，
4 4
设h(a) 3 e2a +ea a 1 2 ，则即证h(a) 0 a ln 2
4
h (a) 3 2e2a +ea 2 a 1 = 3 e2a +ea 2 a 1 ，
4 2
设k (a) 3 e2a +ea 2 a 1 ，则k (a) 3e2a +ea 2= 3ea 2 ea 1 0 ，
即k(a) 也就是h (a) 在 ln 2, +∞ 单调递增， h (a) h (ln 2) 3 e2ln2 eln2 2 ln 2 1
2
3 4 2 2 ln 2 2 2 3 ln 2 0 ，所以h(a) 在 ln 2, +∞ 单调递增，
2
所以h(a) h(ln 2) 3 e2ln 2 eln 2 ln 2 1 2 5 ln 2+1 2 ，因为1 ln 2+1 2 ，
4
所以1 ln 2+1 2 4 ，所以5 ln 2+1 2 0 ，所以原不等式成立

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