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甘肃省白银市平川区第七中学2024-2025学年九年级上学期 数学期中试题
1．（2024九上·平川期中）下列性质中正方形具有而菱形没有的是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．一条对角线平分一组对角
【答案】B
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形和正方形的对角线都互相平分，不符合题意；
B、正方形的对角线都相等，菱形的对角线不一定相等，符合题意；
C、正方形与菱形的对角线都互相垂直，不符合题意；
D、菱形和正方形的一条对角线都平分一组对角，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用正方形的性质（①拥有平行四边形所有的性质；②拥有矩形所有的性质；③拥有菱形所有的性质）和菱形的性质（①拥有平行四边形所有的性质；②四条边相等；③对角线互相垂直；④每条对角线平分一组对角）分析求解即可.
2．（2024九上·平川期中）如图，，若，，则DE等于（　　）
A．5 B．6 C．7 D．9
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，整理得：，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入求出DE的长即可.
3．（2024九上·平川期中）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）.
A．（32﹣2x）（20﹣x）=570
B．32x+2×20x=32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570
D．32x+2×20x﹣2x2=570
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设道路的宽为xm，根据题意得：
(32 2x)(20 x)=570，
故答案为：A.
【分析】利用平移的思想，可得种植草坪其实质就是一个长为（32-2x）m，宽为（20-x）m的矩形，进而根据矩形的面积计算公式列式即可.
4．（2024九上·平川期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝10，则CD＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝10，∴AE＝CE＝10，
∵AD＝2，
∴DE＝8，
∵CD为AB边上的高，
∴在Rt△CDE中，CD＝＝＝6，
故答案为：D．
【分析】先利用直角三角形斜边上中线的性质求出AE＝CE＝10，再利用线段的和差求出DE的长，最后利用勾股定理求解即可.
5．（2024九上·平川期中）如图，平行四边形的周长为，、相交于点O，交于E，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴为的垂直平分线，
∴，
∵平行四边形的周长为，
∴．
∴的周长．
故答案为：C．
【分析】先利用垂直平分线的性质可得，再利用平行四边形的周长公式可得，最后利用三角形的周长公式及等量代换求解即可.
6．（2024九上·平川期中）顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（　　）
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
【答案】B
【知识点】中点四边形模型
【解析】【解答】解：菱形，理由为：
如图所示，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF∥AC，EF=AC，
同理HG∥AC，HG=AC，
∴EF∥HG，且EF=HG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵EH=BD，AC=BD，
∴EF=EH，
则四边形EFGH为菱形，
故选B
【分析】菱形，理由为：利用三角形中位线定理得到EF与HG平行且相等，得到四边形EFGH为平行四边形，再由EH=EF，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得证．
7．（2024九上·平川期中）三角形两边的长分别是4和6，第三边的长是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数根，则该三角形的周长是（　　）
A．20 B．20或16 C．16 D．18或21
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【分析】先解方程（x-6)（x-10)=0得到x1=6，x2=10，而三角形两边的长分别是4和6，根据三角形三边的关系得到第三边的长是6，再计算周长．
【解答】∵（x-6)（x-10)=0，
∴x-6=0或x-10=0，
∴x1=6，x2=10，
而三角形两边的长分别是4和6，
而4+6=10，则x=10舍去，
∴x=6，即第三边的长是6，
∴三角形的周长=6+6+4=16．
故选C．
8．（2024九上·平川期中）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（　　）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率；概率公式；概率的简单应用
【解析】【解答】解：A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项不符合题意；
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，故本选项不符合题意；
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故本选项不符合题意；
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用频率估算概率的计算方法（大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率）分析求解即可.
9．（2024九上·平川期中）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（　　）
A．3 B．5 C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；四边形-动点问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】如图：连接BE，
，
∵菱形ABCD，
∴B、D关于直线AC对称，
∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小
∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值，
∵菱形ABCD，，点，
∴，，
∴
∴△CDB是等边三角形
∴
∵点是的中点，
∴，且BE⊥CD，
∴
故答案为：A．
【分析】连接BE，根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值，再证出△CDB是等边三角形，求出，再结合，且BE⊥CD，最后利用勾股定理求出BE的长即可.
10．（2024九上·平川期中）如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点C，连接，，给出以下结论：；；；，其中所有正确结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由折叠可知，，，
，
在和中，，，
，故①正确；
∵正方形边长是12，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
解得：，
，，， ，故②、③正确；
，是等腰三角形，易知不是等腰三角形，故④错误；
故答案为：C．
【分析】先利用“HL”证出，再利用全等三角形的性质及等量代换可得，再利用勾股定理求出EG的长，最后利用相似三角形的判定方法证出，从而得证.
11．（2024九上·平川期中）已知：，则＝　 　．
【答案】
【知识点】整式的混合运算；比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设x=4a，则y=3a，z=2a，则原式==．
故答案为：
【分析】根据题意设x=4a，则y=3a，z=2a，进而即可将原式求解。
12．（2024九上·平川期中）已知点C是线段的黄金分割点，且，若，则　 　．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵C是线段的黄金分割点，且，，
∴，，
故答案是：.
【分析】利用黄金分割的定义可得，再利用线段的和差求出BC的长即可.
13．（2024九上·平川期中）若m是一元二次方程2x2＋3x﹣1＝0的一个根，则4m2＋6m﹣2021＝　 　．
【答案】﹣2019
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵m是一元二次方程2x2+3x1=0的一个根，
∴2m2+3m1=0，
整理得，2m2+3m=1，
∴4m2+6m2021=2（2m2+3m）2021=2×12021=2019．
故答案为：﹣2019．
【分析】利用一元二次方程根的定义可得2m2+3m1=0，再将其代入4m2+6m2021=2（2m2+3m）2021计算即可.
14．（2024九上·平川期中）如图所示，九（6）班数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，则建筑物的高是　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：依题意，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得，，
即建筑物CD的高是，
故答案为：．
【分析】先证出，再利用相似三角形的性质可得，最后求出CD的长即可.
15．（2024九上·平川期中）如图，在矩形中，点F在上，点E在上，把这个矩形沿折叠后，使点D恰好落在边上的点G处．若矩形面积为且，，则折痕的长为　 　．
【答案】2
【知识点】二次根式的乘除混合运算；等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知，，，，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵矩形的面积为，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2
【分析】先证出为等边三角形，利用等边三角形的性质可得，，再利用含30°角的直角三角形的性质及勾股定理求出，再利用线段的和差求出，再利用矩形的性质可得，求出，最后求出即可．
16．（2024九上·平川期中）如图，中，点D和点E分别是边，上的点，且，，若，则的面积为　 　．
【答案】1
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】先证出，，再利用相似三角形的性质可得，，，再求出，最后求出即可.
17．（2024九上·平川期中）解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：，
∴，
∴或，
∴，.
（2）解：，
∴，
∴或，
∴，；
（3）解：，
∴，
∴或，
∴，；
（4）解：，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）利用十字相乘法（先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数）的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用十字相乘法（先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数）的计算方法及步骤分析求解即可；
（3）利用直接开方法的计算方法及步骤分析求解即可；
（4）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
（1）解：，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：，
∴，
∴或，
∴，；
（3）解：，
∴，
∴或，
∴，；
（4）解：，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
18．（2024九上·平川期中）如图，路灯（点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
【答案】解：如图，
即
解得
即
解得
从点走到点，身影的长度是变短了
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】先证出，再利用相似三角形的性质可得，将数据代入求出BN的长，再证出，利用相似三角形的性质可得，将数据代入求出AM的长，最后利用线段的和差求解即可.
19．（2024九上·平川期中）有一个面积为的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的总长为，求鸡场的长与宽各为多少？
【答案】解：设鸡场的宽为x米，则长为米，
由题意得，，
整理得，
解得或，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
∴鸡场的长与宽各为米，米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设鸡场的宽为x米，则长为米，根据“ 一个面积为的长方形鸡场 ”列出方程，再求解即可.
20．（2024九上·平川期中）如图，在中，，，点D，E分别为上的点，且，若，求的长．
【答案】解：∵，，
∴，，
∴
∵，
∴．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得：．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC的长，再证出，利用相似三角形的性质可得，即，最后求出BD的长即可.
21．（2024九上·平川期中）平川区已有五家旅游景区，分别为A：屈吴山；B：打拉池王将军墓；C：响泉公园；D：华辰生态园；E：陶瓷小镇．张帆同学与父母计划在国庆长假期间从中选择部分景区游玩．
（1）张帆一家选择D：华辰生态园的概率是多少？
（2）若张帆一家选择了E：华辰生态园，他们再从A，B，C，D四个景区中任选两个景区去旅游，求选择A，D两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）．
【答案】（1）解：∵一共有五家旅游景区，且每个景区被选择的概率相同，
∴张帆一家选择D：华辰生态园的概率是.
（2）解；列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中选择A，D两个景区的结果数有2种，
∴选择A，D两个景区的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可；
（2）先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
（1）解：∵一共有五家旅游景区，且每个景区被选择的概率相同，
∴张帆一家选择D：华辰生态园的概率是；
（2）解；列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中选择A，D两个景区的结果数有2种，
∴选择A，D两个景区的概率为．
22．（2024九上·平川期中）如图，是平行四边形中的平分线，交于E．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴.
∵是平行四边形中的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵，又由(1)知，
∴为等边三角形，
∴；
连接与相交于O．
由(1)知四边形是菱形，
∴，，
∴
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合AD=AF，即可证出四边形是菱形；
（2）连接与相交于O，先利用勾股定理求出OA的长，再结合AE的长，最后利用菱形的面积公式列出算式求解即可.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴.
∵是平行四边形中的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵，
又由(1)知，
∴为等边三角形，
∴；
连接与相交于O．
由(1)知四边形是菱形，
∴，，
∴
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质，解题关键是熟练运用菱形的判定进行证明，利用等边三角形的判定和勾股定理求出对角线长．
23．（2024九上·平川期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．以原点O为位似中心，将放大，使变换后得到的三角形与原三角形对应边的比为．
（1）请在网格内画出变换后图形，并写出各顶点的坐标；
（2） ．
【答案】（1）解：如图，，即为所求；
；
∴，，，，，；
（2）
【知识点】作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】（2）解：∵以原点O为位似中心，将放大，使变换后得到的三角形与原三角形对应边的比为．
∴；
故答案为：.
【分析】（1）先利用位似图形的性质及特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用相似三角形的性质（相似三角形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方）分析求解即可.
（1）解：如图，，即为所求；
；
∴，，，，，；
（2）解：∵以原点O为位似中心，将放大，使变换后得到的三角形与原三角形对应边的比为．
∴；
24．（2024九上·平川期中）如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接．
（1）求证：D是的中点；
（2）若，试判断四边形的形状，并证明．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴D是的中点.
（2）解：若，则四边形是矩形．
证明如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴平行四边形是矩形．
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用“AAS”证出，用全等三角形的性质可得AF=CD，再利用等量代换可得，即可得到D是的中点；
（2）先证出四边形是平行四边形，再结合，即可证出平行四边形是矩形．
（1）证明：∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴D是的中点；
（2）解：若，则四边形是矩形．证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴平行四边形是矩形．
25．（2024九上·平川期中）已知关于x的方程．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为，，若，求m的值．
【答案】（1）证明：∵，
∴
∴此方程有两个不相等的实数根.
（2）解：∵方程的两个根分别为，，
∴，
∵，
∴，
即，
，
解得：，
即m的值为：3或-3．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得，再求解即可.
（1）证明：∵，
即
∴此方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的两个根分别为，，
∴，
∵，
∴，
即，
，
解得，
即值为3或者-3．
26．（2024九上·平川期中）2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会，吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱．某超市在今年1月份销售“冰墩墩”256个，“冰墩墩”十分畅销，2、3目销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400个．
（1）求“冰墩墩”2、3这两个月销售量的月平均增长率；
（2）若“冰墩墩”每个进价25元，原售价为每个40元，该超市在今年4月进行降价促销，经调查发现，若“冰墩墩”价格在3月的基础上，每个降价1元，销售量可增加5个，当“冰墩墩”每个降价多少元时，出售“冰墩墩”在4月份可获利4620元？
【答案】（1）解：设“冰墩墩”月销售量平均增长率为x，
根据题意，得256（1＋x）2＝400．
解得：x1＝ 2.25（舍去），x2＝0.25＝25%，
答：“冰墩墩”月销售量的月平均增长率为25%.
（2）解：设“冰墩墩”每个降价x元时，出售“冰墩墩”在4月份可获利4620元，
由题意得：（40-25-x）（400+5x）=4620，
解得：x1=4，x2=-69（舍去），
答：“冰墩墩”每个降价4元时，出售“冰墩墩”在4月份可获利4620元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设“冰墩墩”月销售量平均增长率为x，根据“ 3月份的销售量达到400个 ”列出方程256（1＋x）2＝400，再求解即可；
（2）设“冰墩墩”每个降价x元时，出售“冰墩墩”在4月份可获利4620元，列出方程（40-25-x）（400+5x）=4620，再求解即可.
（1）解：设“冰墩墩”月销售量平均增长率为x，根据题意，得
256（1＋x）2＝400．
解得x1＝ 2.25（舍去），x2＝0.25＝25%，
答：“冰墩墩”月销售量的月平均增长率为25%；
（2）解：设“冰墩墩”每个降价x元时，出售“冰墩墩”在4月份可获利4620元，
由题意得：（40-25-x）（400+5x）=4620，
解得：x1=4，x2=-69（舍去），
答：“冰墩墩”每个降价4元时，出售“冰墩墩”在4月份可获利4620元
27．（2024九上·平川期中）如图所示，在中，，，，点P由点A出发，沿边以的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿边以的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：
（1）经过几秒后，的面积等于？
（2）经过几秒后，；
（3）经过几秒后，两个三角形相似？
【答案】（1）解：设经过x秒后，的面积等于，
由题意得，
∴，
解得，
答：经过2秒或4秒后，的面积等于．
（2）解：设经过m秒后，，而，，
∴，
整理得：，
∴，
解得：（不符合题意舍去），，
∴设经过秒后，，
（3）解：设经过y秒后，与相似，
∵，
①当时，，
即，
解得；
②当时，，
即，
解得；
答：经过或秒后，两个三角形相似．
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题；三角形-动点问题；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）设经过x秒后，根据“的面积等于”列出方程，再求解即可；
（2）设经过m秒后，，而，，利用勾股定理可得，再求解即可；
（3）分类讨论：①当时，②当时，再分别列出方程求解即可.
（1）解：设经过x秒后，的面积等于，
由题意得，
∴，
解得，
答：经过2秒或4秒后，的面积等于．
（2）解：设经过m秒后，，而，，
∴，
整理得：，
∴，
解得：（不符合题意舍去），，
∴设经过秒后，，
（3）解：设经过y秒后，与相似，
∵，
①当时，，
即，
解得；
②当时，，
即，
解得；
答：经过或秒后，两个三角形相似．
1 / 1甘肃省白银市平川区第七中学2024-2025学年九年级上学期 数学期中试题
1．（2024九上·平川期中）下列性质中正方形具有而菱形没有的是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．一条对角线平分一组对角
2．（2024九上·平川期中）如图，，若，，则DE等于（　　）
A．5 B．6 C．7 D．9
3．（2024九上·平川期中）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）.
A．（32﹣2x）（20﹣x）=570
B．32x+2×20x=32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570
D．32x+2×20x﹣2x2=570
4．（2024九上·平川期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝10，则CD＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．（2024九上·平川期中）如图，平行四边形的周长为，、相交于点O，交于E，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九上·平川期中）顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（　　）
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
7．（2024九上·平川期中）三角形两边的长分别是4和6，第三边的长是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数根，则该三角形的周长是（　　）
A．20 B．20或16 C．16 D．18或21
8．（2024九上·平川期中）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（　　）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
9．（2024九上·平川期中）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（　　）
A．3 B．5 C． D．
10．（2024九上·平川期中）如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点C，连接，，给出以下结论：；；；，其中所有正确结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2024九上·平川期中）已知：，则＝　 　．
12．（2024九上·平川期中）已知点C是线段的黄金分割点，且，若，则　 　．
13．（2024九上·平川期中）若m是一元二次方程2x2＋3x﹣1＝0的一个根，则4m2＋6m﹣2021＝　 　．
14．（2024九上·平川期中）如图所示，九（6）班数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，则建筑物的高是　 　．
15．（2024九上·平川期中）如图，在矩形中，点F在上，点E在上，把这个矩形沿折叠后，使点D恰好落在边上的点G处．若矩形面积为且，，则折痕的长为　 　．
16．（2024九上·平川期中）如图，中，点D和点E分别是边，上的点，且，，若，则的面积为　 　．
17．（2024九上·平川期中）解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．（2024九上·平川期中）如图，路灯（点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
19．（2024九上·平川期中）有一个面积为的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的总长为，求鸡场的长与宽各为多少？
20．（2024九上·平川期中）如图，在中，，，点D，E分别为上的点，且，若，求的长．
21．（2024九上·平川期中）平川区已有五家旅游景区，分别为A：屈吴山；B：打拉池王将军墓；C：响泉公园；D：华辰生态园；E：陶瓷小镇．张帆同学与父母计划在国庆长假期间从中选择部分景区游玩．
（1）张帆一家选择D：华辰生态园的概率是多少？
（2）若张帆一家选择了E：华辰生态园，他们再从A，B，C，D四个景区中任选两个景区去旅游，求选择A，D两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）．
22．（2024九上·平川期中）如图，是平行四边形中的平分线，交于E．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，求菱形的面积．
23．（2024九上·平川期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．以原点O为位似中心，将放大，使变换后得到的三角形与原三角形对应边的比为．
（1）请在网格内画出变换后图形，并写出各顶点的坐标；
（2） ．
24．（2024九上·平川期中）如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接．
（1）求证：D是的中点；
（2）若，试判断四边形的形状，并证明．
25．（2024九上·平川期中）已知关于x的方程．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为，，若，求m的值．
26．（2024九上·平川期中）2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会，吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱．某超市在今年1月份销售“冰墩墩”256个，“冰墩墩”十分畅销，2、3目销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400个．
（1）求“冰墩墩”2、3这两个月销售量的月平均增长率；
（2）若“冰墩墩”每个进价25元，原售价为每个40元，该超市在今年4月进行降价促销，经调查发现，若“冰墩墩”价格在3月的基础上，每个降价1元，销售量可增加5个，当“冰墩墩”每个降价多少元时，出售“冰墩墩”在4月份可获利4620元？
27．（2024九上·平川期中）如图所示，在中，，，，点P由点A出发，沿边以的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿边以的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：
（1）经过几秒后，的面积等于？
（2）经过几秒后，；
（3）经过几秒后，两个三角形相似？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形和正方形的对角线都互相平分，不符合题意；
B、正方形的对角线都相等，菱形的对角线不一定相等，符合题意；
C、正方形与菱形的对角线都互相垂直，不符合题意；
D、菱形和正方形的一条对角线都平分一组对角，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用正方形的性质（①拥有平行四边形所有的性质；②拥有矩形所有的性质；③拥有菱形所有的性质）和菱形的性质（①拥有平行四边形所有的性质；②四条边相等；③对角线互相垂直；④每条对角线平分一组对角）分析求解即可.
2．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，整理得：，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入求出DE的长即可.
3．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设道路的宽为xm，根据题意得：
(32 2x)(20 x)=570，
故答案为：A.
【分析】利用平移的思想，可得种植草坪其实质就是一个长为（32-2x）m，宽为（20-x）m的矩形，进而根据矩形的面积计算公式列式即可.
4．【答案】D
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝10，∴AE＝CE＝10，
∵AD＝2，
∴DE＝8，
∵CD为AB边上的高，
∴在Rt△CDE中，CD＝＝＝6，
故答案为：D．
【分析】先利用直角三角形斜边上中线的性质求出AE＝CE＝10，再利用线段的和差求出DE的长，最后利用勾股定理求解即可.
5．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴为的垂直平分线，
∴，
∵平行四边形的周长为，
∴．
∴的周长．
故答案为：C．
【分析】先利用垂直平分线的性质可得，再利用平行四边形的周长公式可得，最后利用三角形的周长公式及等量代换求解即可.
6．【答案】B
【知识点】中点四边形模型
【解析】【解答】解：菱形，理由为：
如图所示，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF∥AC，EF=AC，
同理HG∥AC，HG=AC，
∴EF∥HG，且EF=HG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵EH=BD，AC=BD，
∴EF=EH，
则四边形EFGH为菱形，
故选B
【分析】菱形，理由为：利用三角形中位线定理得到EF与HG平行且相等，得到四边形EFGH为平行四边形，再由EH=EF，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得证．
7．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【分析】先解方程（x-6)（x-10)=0得到x1=6，x2=10，而三角形两边的长分别是4和6，根据三角形三边的关系得到第三边的长是6，再计算周长．
【解答】∵（x-6)（x-10)=0，
∴x-6=0或x-10=0，
∴x1=6，x2=10，
而三角形两边的长分别是4和6，
而4+6=10，则x=10舍去，
∴x=6，即第三边的长是6，
∴三角形的周长=6+6+4=16．
故选C．
8．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率；概率公式；概率的简单应用
【解析】【解答】解：A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项不符合题意；
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，故本选项不符合题意；
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故本选项不符合题意；
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用频率估算概率的计算方法（大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率）分析求解即可.
9．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；四边形-动点问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】如图：连接BE，
，
∵菱形ABCD，
∴B、D关于直线AC对称，
∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小
∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值，
∵菱形ABCD，，点，
∴，，
∴
∴△CDB是等边三角形
∴
∵点是的中点，
∴，且BE⊥CD，
∴
故答案为：A．
【分析】连接BE，根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值，再证出△CDB是等边三角形，求出，再结合，且BE⊥CD，最后利用勾股定理求出BE的长即可.
10．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由折叠可知，，，
，
在和中，，，
，故①正确；
∵正方形边长是12，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
解得：，
，，， ，故②、③正确；
，是等腰三角形，易知不是等腰三角形，故④错误；
故答案为：C．
【分析】先利用“HL”证出，再利用全等三角形的性质及等量代换可得，再利用勾股定理求出EG的长，最后利用相似三角形的判定方法证出，从而得证.
11．【答案】
【知识点】整式的混合运算；比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设x=4a，则y=3a，z=2a，则原式==．
故答案为：
【分析】根据题意设x=4a，则y=3a，z=2a，进而即可将原式求解。
12．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵C是线段的黄金分割点，且，，
∴，，
故答案是：.
【分析】利用黄金分割的定义可得，再利用线段的和差求出BC的长即可.
13．【答案】﹣2019
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵m是一元二次方程2x2+3x1=0的一个根，
∴2m2+3m1=0，
整理得，2m2+3m=1，
∴4m2+6m2021=2（2m2+3m）2021=2×12021=2019．
故答案为：﹣2019．
【分析】利用一元二次方程根的定义可得2m2+3m1=0，再将其代入4m2+6m2021=2（2m2+3m）2021计算即可.
14．【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：依题意，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得，，
即建筑物CD的高是，
故答案为：．
【分析】先证出，再利用相似三角形的性质可得，最后求出CD的长即可.
15．【答案】2
【知识点】二次根式的乘除混合运算；等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知，，，，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵矩形的面积为，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2
【分析】先证出为等边三角形，利用等边三角形的性质可得，，再利用含30°角的直角三角形的性质及勾股定理求出，再利用线段的和差求出，再利用矩形的性质可得，求出，最后求出即可．
16．【答案】1
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】先证出，，再利用相似三角形的性质可得，，，再求出，最后求出即可.
17．【答案】（1）解：，
∴，
∴或，
∴，.
（2）解：，
∴，
∴或，
∴，；
（3）解：，
∴，
∴或，
∴，；
（4）解：，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）利用十字相乘法（先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数）的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用十字相乘法（先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数）的计算方法及步骤分析求解即可；
（3）利用直接开方法的计算方法及步骤分析求解即可；
（4）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
（1）解：，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：，
∴，
∴或，
∴，；
（3）解：，
∴，
∴或，
∴，；
（4）解：，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
18．【答案】解：如图，
即
解得
即
解得
从点走到点，身影的长度是变短了
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】先证出，再利用相似三角形的性质可得，将数据代入求出BN的长，再证出，利用相似三角形的性质可得，将数据代入求出AM的长，最后利用线段的和差求解即可.
19．【答案】解：设鸡场的宽为x米，则长为米，
由题意得，，
整理得，
解得或，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
∴鸡场的长与宽各为米，米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设鸡场的宽为x米，则长为米，根据“ 一个面积为的长方形鸡场 ”列出方程，再求解即可.
20．【答案】解：∵，，
∴，，
∴
∵，
∴．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得：．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC的长，再证出，利用相似三角形的性质可得，即，最后求出BD的长即可.
21．【答案】（1）解：∵一共有五家旅游景区，且每个景区被选择的概率相同，
∴张帆一家选择D：华辰生态园的概率是.
（2）解；列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中选择A，D两个景区的结果数有2种，
∴选择A，D两个景区的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可；
（2）先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
（1）解：∵一共有五家旅游景区，且每个景区被选择的概率相同，
∴张帆一家选择D：华辰生态园的概率是；
（2）解；列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中选择A，D两个景区的结果数有2种，
∴选择A，D两个景区的概率为．
22．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴.
∵是平行四边形中的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵，又由(1)知，
∴为等边三角形，
∴；
连接与相交于O．
由(1)知四边形是菱形，
∴，，
∴
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合AD=AF，即可证出四边形是菱形；
（2）连接与相交于O，先利用勾股定理求出OA的长，再结合AE的长，最后利用菱形的面积公式列出算式求解即可.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴.
∵是平行四边形中的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵，
又由(1)知，
∴为等边三角形，
∴；
连接与相交于O．
由(1)知四边形是菱形，
∴，，
∴
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质，解题关键是熟练运用菱形的判定进行证明，利用等边三角形的判定和勾股定理求出对角线长．
23．【答案】（1）解：如图，，即为所求；
；
∴，，，，，；
（2）
【知识点】作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】（2）解：∵以原点O为位似中心，将放大，使变换后得到的三角形与原三角形对应边的比为．
∴；
故答案为：.
【分析】（1）先利用位似图形的性质及特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用相似三角形的性质（相似三角形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方）分析求解即可.
（1）解：如图，，即为所求；
；
∴，，，，，；
（2）解：∵以原点O为位似中心，将放大，使变换后得到的三角形与原三角形对应边的比为．
∴；
24．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴D是的中点.
（2）解：若，则四边形是矩形．
证明如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴平行四边形是矩形．
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用“AAS”证出，用全等三角形的性质可得AF=CD，再利用等量代换可得，即可得到D是的中点；
（2）先证出四边形是平行四边形，再结合，即可证出平行四边形是矩形．
（1）证明：∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴D是的中点；
（2）解：若，则四边形是矩形．证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴平行四边形是矩形．
25．【答案】（1）证明：∵，
∴
∴此方程有两个不相等的实数根.
（2）解：∵方程的两个根分别为，，
∴，
∵，
∴，
即，
，
解得：，
即m的值为：3或-3．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得，再求解即可.
（1）证明：∵，
即
∴此方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的两个根分别为，，
∴，
∵，
∴，
即，
，
解得，
即值为3或者-3．
26．【答案】（1）解：设“冰墩墩”月销售量平均增长率为x，
根据题意，得256（1＋x）2＝400．
解得：x1＝ 2.25（舍去），x2＝0.25＝25%，
答：“冰墩墩”月销售量的月平均增长率为25%.
（2）解：设“冰墩墩”每个降价x元时，出售“冰墩墩”在4月份可获利4620元，
由题意得：（40-25-x）（400+5x）=4620，
解得：x1=4，x2=-69（舍去），
答：“冰墩墩”每个降价4元时，出售“冰墩墩”在4月份可获利4620元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设“冰墩墩”月销售量平均增长率为x，根据“ 3月份的销售量达到400个 ”列出方程256（1＋x）2＝400，再求解即可；
（2）设“冰墩墩”每个降价x元时，出售“冰墩墩”在4月份可获利4620元，列出方程（40-25-x）（400+5x）=4620，再求解即可.
（1）解：设“冰墩墩”月销售量平均增长率为x，根据题意，得
256（1＋x）2＝400．
解得x1＝ 2.25（舍去），x2＝0.25＝25%，
答：“冰墩墩”月销售量的月平均增长率为25%；
（2）解：设“冰墩墩”每个降价x元时，出售“冰墩墩”在4月份可获利4620元，
由题意得：（40-25-x）（400+5x）=4620，
解得：x1=4，x2=-69（舍去），
答：“冰墩墩”每个降价4元时，出售“冰墩墩”在4月份可获利4620元
27．【答案】（1）解：设经过x秒后，的面积等于，
由题意得，
∴，
解得，
答：经过2秒或4秒后，的面积等于．
（2）解：设经过m秒后，，而，，
∴，
整理得：，
∴，
解得：（不符合题意舍去），，
∴设经过秒后，，
（3）解：设经过y秒后，与相似，
∵，
①当时，，
即，
解得；
②当时，，
即，
解得；
答：经过或秒后，两个三角形相似．
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题；三角形-动点问题；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）设经过x秒后，根据“的面积等于”列出方程，再求解即可；
（2）设经过m秒后，，而，，利用勾股定理可得，再求解即可；
（3）分类讨论：①当时，②当时，再分别列出方程求解即可.
（1）解：设经过x秒后，的面积等于，
由题意得，
∴，
解得，
答：经过2秒或4秒后，的面积等于．
（2）解：设经过m秒后，，而，，
∴，
整理得：，
∴，
解得：（不符合题意舍去），，
∴设经过秒后，，
（3）解：设经过y秒后，与相似，
∵，
①当时，，
即，
解得；
②当时，，
即，
解得；
答：经过或秒后，两个三角形相似．
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