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2024人教版 八上数学第14章过关检测
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
（2025 青海）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即CM＝CN，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，这种做法的依据是（　　）
A．AAS B．SAS C．SSS D．ASA
（2025 山西）如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝DO．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中△AOB与△COD全等的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（　　）
A．∠A＝∠D
B．∠AFB＝∠DEC
C．AB＝DC
D．AF＝DE
如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'、BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（　　）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
如图，在△ABC中，AD交边BC于点D．设△ABC的重心为Q，若点Q在线段AD上，则下列结论正确的是（　　）
A．AD平分∠BAC
B．AD为BC的中垂线
C．BD＝CD
D．△ABD的周长等于△ACD的周长
（2025 威海）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是（　　）
A．BO＝DO，AC⊥BD
B．∠DAC＝∠BAC，AD＝AB
C．∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA
D．∠ADC＝∠ABC，BO＝DO
（2025 内江）按如下步骤作四边形ABCD：（1）画∠EAF，（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AE、AF于点B、D，（3）分别以点B和点D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C，（4）连接BC、DC、BD．若∠A＝40°，则∠BDC的度数是（　　）
A．64° B．66° C．68° D．70°
如图，正五边形中，的度数为（ ）
A．
如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定
如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（　　）
A．24 B．22 C．20 D．18
如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD+BC的大小关系是（　　）
A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．无法确定
1 、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为 　 　．
如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是_____（只写一个条件即可）．
如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE＝BF；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N．若MN＝2，AD＝4MD，则AM＝　 　，
如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8cm，AC=4cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发，以2cm/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E运动_________秒时，点B、D、E组成的三角形与点A．B、C组成的三角形全等．
平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图，若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，则∠BPD的度数为_____．
如图,已知BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,且交BE于点E,∠BAC=30°,则∠CAE=__.
1 、解答题（本大题共8小题，共66分）
（2025 陕西）如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BD＝AB，DE∥AB，DE＝BC．求证：BE＝AC．
如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．
（1）求证：△ACE≌△BDF，
（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．
（2025 宿迁）实验活动：仅用一把圆规作图．
【任务阅读】如图1，仅用一把圆规在∠AOB内部画一点P，使点P在∠AOB的平分线上．
小明的作法如下：
如图2，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OA．OB于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，则点P为所求点．
理由：如图3，连接EP、FP、OP，
由作图可知OE＝OF，PE＝PF，
又因为OP＝OP，
所以 　 　 ．
所以∠EOP＝∠FOP．
所以OP平分∠AOB．
即点P为所求点．
【实践操作】如图4，已知直线AB及其外一点P，只用一把圆规画一点Q，使点P、Q所在直线与直线AB平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法）
已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：
①AB＝DE，②AC＝DF，③BE＝CF，④∠ABC＝∠DEF．
（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．
（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：CF＝AD ，
（2）若AD＝3，AB＝8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上，为什么？
已知，如图，∠B=∠C=90 ，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论；
（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由.
（1）如图1，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，AD平分∠BAC．求证：AD＝AC，
（2）如图2，在△ABC中，点E在BC边上，中线BD与AE相交于点P，AP＝BC．求证：PE＝BE．
课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，平分交于点D，且．求证：．小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明结论．
（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使_________，连接．请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在的内部，，，分别平分，，，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题；
（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在中，，点D在边上，，那么平分．小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．
答案解析
1 、选择题
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】利用SSS证明△OMC≌△ONC，得∠COM＝∠CON，即可解决问题．
解：在△OMC和△ONC中，
，
∴△OMC≌△ONC（SSS），
∴∠COM＝∠CON，
即射线OC是∠AOB的平分线，
故选：C．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【考点】全等三角形的应用
【分析】根据SAS可证明结论．
解：在△AOB与△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS），
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【考点】作图—基本作图．
【分析】利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．
解：根据基本作图可判断图1中AD为∠BAC的平分线，图2中AD为BC边上的中线，图3中AD为∠BAC的平分线．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作已知线段的垂直平分线，作已知角的角平分线，过一点作已知直线的垂线）是解题的关键．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据BE＝CF求出BF＝CE，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
解：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE，
∴当∠A＝∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合题意，
当∠AFB＝∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合题意，
当AB＝DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合题意，
当AF＝DE时，无法证明△ABF≌△DCE，故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据点O为AA'、BB'的中点得出OA＝OA'，OB＝OB'，根据对顶角相等得到∠AOB＝∠A'OB'，从而证得△AOB和△A'OB'全等，于是有AB＝A'B'，问题得证．
解：∵点O为AA'、BB'的中点，
∴OA＝OA'，OB＝OB'，
由对顶角相等得∠AOB＝∠A'OB'，
在△AOB和△A'OB'中，
，
∴△AOB≌△A'OB'（SAS），
∴AB＝A'B'，
即只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键．
【考点】三角形的重心，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质
【分析】利用重心的性质得到AD为△ABC的中线，便可对各选项进行判断．
解：∵△ABC的重心为Q，
∴AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．重心到三角形3个顶点距离的和最小．
【考点】垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【分析】根据筝形的判定逐一进行判定即可．
解：A．∵BO＝DO，AC⊥BD，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴四边形ABCD是筝形，
∴A选项不符合题意；
B．在△ACD与△ACB中，
，
∴△ACD≌△ACB（SAS），
∴CD＝CB，
∴四边形ABCD是筝形，
∴B选项不符合题意；
C．在△ACD与△ACB中，
，
∴△ACD≌△ACB（ASA），
∴AD＝AB，CD＝CB，
∴四边形ABCD是筝形，
∴C选项不符合题意；
D．由∠ADC＝∠ABC，BO＝DO，不能证明四边形ABCD是筝形，
∴D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，理解筝形定义是解题的关键．
【考点】全等三角形的判定与性质，作图—基本作图
【分析】由尺规作图可知AB＝AD＝BC＝DC，则四边形ABCD是菱形，根据菱形性质得AB∥CD，∠BDC∠ADC，再根据∠A＝40°得∠ADC＝140°，由此可得出∠BDC的度数．
解：由尺规作图可知：AB＝AD＝BC＝DC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∠BDC＝∠ADB∠ADC，
∴∠A+ADC＝180°，
∵∠A＝40°，
∴∠ADC＝180°﹣∠A＝140°，
∴∠BDC∠ADC＝70°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了尺规作图，菱形的性质，熟练掌握尺规作图，菱形的性质是解决问题的关键．
【考点】全等三角形的判定与性质,多边形内角与外角
【分析】首先由正五边形的性质得到≌， ，，然后由正五边形 内角度数，求出和 的度数，进而求出 的度数．
解：∵五边形为正五边形，
∴，，
∴，
∴，，
∴．
故选：
【点评】本题考查了正多边形的性质：各边相等，各角相等，掌握正多边形的性质是解决本题的关键．
【考点】角平分线的性质
【分析】过D点作DE⊥BC于E，如图，根据角平分线的性质得到DE=DA=3，然后根据三角形面积公式计算．
解：如图，过点D作DE⊥BC于点E．
∵∠A=90°，
∴AD⊥AB．
∴AD=DE=3．
又∵BC=5，
∴S△BCD=BC DE=×5×3=7.5．
故选A．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】通过证明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH，进而可确定当MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，通过证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解．
解：∵CG∥AB，
∴∠B＝∠MCG，
∵M是BC的中点，
∴BM＝CM，
在△BMH和△CMG中，
，
∴△BMH≌△CMG（ASA），
∴HM＝GM，BH＝CG，
∵AB＝6，AC＝8，
∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，
∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，
∵∠A＝90°，MH⊥AB，
∴GH∥AC，
∴四边形ACGH为矩形，
∴GH＝8，
∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，
故选：B．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，确定GH的值是解题的关键．
【考点】角平分线的性质，全等三角形的判定和性质
【分析】在AB上截取AF＝AD，连接EF，易得∠AEB=90°和△ADE≌△AFE，再证明△BCE≌△BFE，利用全等三角形对应边相等即可得出三条线段之间的关系.
解：如图所示，在AB上截取AF＝AD，连接EF，
∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠DAB=180°，
又∵BE平分∠ABC，AE平分∠DAB
∴∠ABE+∠EAB==90°，
∴∠AEB=90°即∠2+∠4=90°，
在△ADE和△AFE中，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
所以∠1＝∠2，
又∠2+∠4＝90°，∠1+∠3＝90°，
所以∠3＝∠4，
在△BCE和△BFE中，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
所以BC＝BF，
所以AB＝AF+BF＝AD+BC；
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，截长补短是证明线段和差关系的常用方法.
1 、填空题
【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据全等三角形的对应边相等得到EF＝BC＝7，计算即可．
解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
又BC＝8，
∴EF＝8，
∵EC＝5，
∵CF＝EF﹣EC＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
【考点】全等三角形的判定
【分析】由题意得，AE=AD，∠A=∠A（公共角），可选择利用AAS、SAS进行全等的判定，答案不唯一．
解：由题意得，AE=AD，∠A=∠A（公共角），可选择利用AAS、SAS、ASA进行全等的判定，答案不唯一：
添加，可由AAS判定△ABE≌△ACD；
添加AB=AC或DB=EC可由SAS判定△ABE≌△ACD；
添加∠ADC=∠AEB或∠BDC=∠CEB，可由ASA判定△ABE≌△ACD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，属于开放型题目，解答本题需要同学们熟练掌握三角形全等的几种判定定理．
【分析】由作图过程可知，BP为∠ABC的平分线，结合角平分线的性质可得MD＝MN＝2，则AD＝4MD＝8，进而可得AM＝AD﹣MD＝6．
解：由作图过程可知，BP为∠ABC的平分线，
∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC，
∵MN⊥AB，
∴MD＝MN＝2．
∴AD＝4MD＝8，
∴AM＝AD﹣MD＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上时，再分别分成两种情况AC=BE，AB=BE进行计算即可．
解：①当E在线段AB上，AB=BE时，≌，
这时E在A点未动，因此时间为0秒；
②当点E在线段AB上，AC=BE时，≌，
∵AC=4cm，
∴BE=4cm，
∴AE=AB－BE=8－4=4cm，
∴点E的运动时间为4÷2=2（秒）；
③当E在BN上，AC=BE时，≌，
∵AC=4cm，
∴BE=4cm，
∴AE=AB+BE=8+4=12cm，
∴点E的运动时间为12÷2=6（秒）；
④当E在BN上，AB=BE时，≌，
∵AB=8cm，
∴BE=8cm，
∴AE=AB+BE=8+8=16cm，
∴点E的运动时间为16÷2=8（秒），
综上所述，当点E运动0或2或6或8秒时，点B、D、E组成的三角形与点A．B、C组成的三角形全等．
故答案为：0或2或6或8．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟练的掌握直角三角形全等的判定定理．
【考点】三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质
【分析】易证△ACD≌△BCE，由全等三角形的性质可知：∠A＝∠B，再根据已知条件和四边形的内角和为360°，即可求出∠BPD的度数．
解：在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠A＝∠B，∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCA＝∠ECD，
∵∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，
∴∠BCA+∠ECD＝100°，
∴∠BCA＝∠ECD＝50°，
∵∠ACE＝55°，
∴∠ACD＝105°
∴∠A+∠D＝75°，
∴∠B+∠D＝75°，
∵∠BCD＝155°，
∴∠BPD＝360°﹣75°﹣155°＝130°，
故答案为：130°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理，解题的关键是利用整体的数学思想求出∠B+∠D＝75°．
【考点】角平分线的性质及其逆定理
【分析】如图过点E分别作EG⊥BD、EH⊥BA．EI⊥AC，垂足分别为G、H、I，根据角平分线的性质可得EH=EG，EI=EG，再根据角平分线的性质的逆定理可证AE平分∠FAC，再根据∠FAC与∠BAC互补即可．
证明：如图所示：过点E分别作EG⊥BD、EH⊥BA．EI⊥AC，垂足分别为G、H、I，
∵BE平分∠ABC，EG⊥BD，EH⊥BA，
∴EH=EG．
∵CE平分∠ACD，EG⊥BD，EI⊥AC，
∴EI=EG，
∴EI=EH，
∵EH⊥BA，EI⊥AC，
∴AE平分∠FAC
∵∠BAC=30°
∴∠FAC=180°-∠BAC=150°
∴∠CAE=∠FAC=75°
故答案为：75°
【点睛】本题主要考查角平分线的性质及其逆定理；准确作出辅助线是解答本题的关键．
1 、解答题
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】由DE∥AB，得∠D＝∠ABC，而BD＝AB，DE＝BC，即可根据“SAS”证明△BDE≌△ABC，则BE＝AC．
证明：∵点D是BC延长线上一点，DE∥AB，
∴∠D＝∠ABC，
在△BDE和△ABC中，
，
∴△BDE≌△ABC（SAS），
∴BE＝AC．
【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出∠D＝∠ABC，进而证明△BDE≌△ABC是解题的关键．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明△ACE≌△DBF即可，
（2）根据全等三角形的性质即可得到结论．
（1）证明：在△ACE和△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（AAS），
（2）由（1）知△ACE≌△BDF，
∴BD＝AC＝2，
∵AB＝8，
∴CD＝AB﹣AC﹣BD＝4，
故CD的长为4．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握证明三角形全等是解决问题的关键．
【考点】作图—复杂作图
【分析】[任务阅读]根据作图可知，作图可知OE＝OF，PE＝PF，又OP＝OP，所以△OEP≌△OFP（SSS），然后通过全等三角形性质即可求证，
[实践操作]作∠CPD＝∠PAB即可，然后通过同位角相等两直线平行即可求证．
解：[任务阅读]理由：如图3，
连接EP、FP、OP，由作图可知OE＝OF，PE＝PF，
又∵OP＝OP，
∴△OEP≌△OFP（SSS），
∴OP平分∠AOB，
即点P为所求点，
故答案为：△OEP≌△OFP（SSS），
[实践操作]如图4，作∠CPQ＝∠PAB即可，
理由，由作图可知，∠CPQ＝∠PAB，
∴PQ∥AB，
∴点Q为所求．
【点评】本题考查了圆规作图——作角平分线，作一个角等于已知角，掌握知识点的应用是解题的关键．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】（1）根据两三角形全等的判定定理，选择合适的条件即可．
（2）根据（1）中所选条件，进行证明即可．
解：（1）由题知，
选择的三个条件是：①②③，
或者选择的三个条件是：①③④．
证明：（2）当选择①②③时，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
当选择①③④时，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点评】本题考查全等三角形的证明，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】（1）通过求证△FEC≌△AED来证明CF＝AD ，
（2）若点B在线段AF的垂直平分线上，则应有AB＝BF，又AB＝8，CF＝AD＝3，BC＝BF﹣CF．
解：（1）∵AD∥BC，
∴∠F＝∠DAE．
又∵∠FEC＝∠AED，
∴∠ECF＝∠ADE，
∵E为CD中点，
∴CE＝DE，
在△FEC与△AED中，
，
∴△FEC≌△AED（ASA），
∴CF＝AD．
（2）当BC＝5时，点B在线段AF的垂直平分线上，
理由：∵BC＝5，AD＝3，AB＝8，
∴AB＝BC+AD，
又∵CF＝AD，BC+CF＝BF，
∴AB＝BF，
∴△ABF是等腰三角形，
∴点B在AF的垂直平分线上．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
【考点】角平分线的判定与性质
【分析】（1）过点M作ME⊥AD于点E，再根据角平分线的性质得到MC=ME，由M为BC的中点可得MC=MB即得ME=MB，再结合MB⊥AB，ME⊥AD即可证得结论；
（2）根据角平分线的性质可得∠ADM=∠ADC，∠DAM=∠BAD，由∠B=∠C=90 可得AB//CD，即可得到∠ADC+∠BAD=180 ，再根据角平分线的性质求解即可.
解：（1）AM是平分∠BAD，
理由如下：过点M作ME⊥AD于点E，
∵DM平分∠ADC且MC⊥ CD，ME⊥AD ，
∴MC=ME，
∵M为BC的中点 ，
∴MC=MB，
∴ME=MB，
∵MB⊥AB，ME⊥AD ，
∴AM平分∠BAD；
（2）DM⊥AM.
理由如下：∵DM平分∠ADC ，
∴∠ADM=∠ADC.
∵AM平分∠BAD，
∴∠DAM=∠BAD，
∵∠B=∠C=90 ，
∴AB//CD，
∴∠ADC+∠BAD=180 ，
∴∠ADM+∠DAM=∠ADC+∠BAD=（∠ADC+∠BAD）=90 ，
∴∠DMA=90 ，
∴DM⊥AM..
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定和性质，角平分线的性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.
【考点】三角形的重心，全等三角形的判定与性质
【分析】（1）求∠BAC＝180°﹣60°﹣80°＝40°，∠BAD＝BAC＝20°，再求∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+20°＝80°，得∠C＝∠ADC，即可证明，
（2）过点A作AF∥BC交BD的延长线于点F，先证明△ADF≌△CDB，得AF＝BC，得AP＝AF，证出∠APF＝∠F，再得∠BPE＝∠PBE，即可证明．
证明：（1）在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝BAC＝20°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+20°＝80°，
∵∠C＝80°，
∴∠C＝∠ADC，
∴AD＝AC，
（2）过点A作AF∥BC交BD的延长线于点F，
∴∠F＝∠DBC，∠FAD＝∠C，
∵AD＝CD，
∴△ADF≌△CDB（AAS），
∴AF＝BC，
∵AP＝BC，
∴AP＝AF，
∴∠APF＝∠F，
∵∠APF＝∠BPE，∠F＝∠DBC，
∴∠BPE＝∠PBE，
∴PE＝BE．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，解题关键是利用倍长中线构造全等三角形．
【考点】全等三角形的判定和性质，角平分线的定义
【分析】（1）延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，根据三角形的外角性质得到∠ABC＝2∠F，则可利用SAS证明△ADF≌△ADC，根据全等三角形的性质可证明结论；
（2）在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，则可利用SAS证明△ADB≌△ADE，根据全等三角形的性质即可证明结论；
（3）延长AB至G，使BG＝BD，连接DG，则可利用SSS证明△ADG≌△ADC，根据全等三角形的性质、角平分线的定义即可证明结论．
证明：（1）如图1，延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，
则∠BDF＝∠F，
∴∠ABC＝∠BDF＋∠F＝2∠F，
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB＋BD＝AC，BF＝BD，
∴AF＝AC，
在△ADF和△ADC中，
，
∴△ADF≌△ADC（SAS），
∴∠ACB＝∠F ，
∴∠ABC＝2∠ACB．
故答案为：BD．
（2）如图3，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，
∵AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，
∴∠DAB＝∠DAE，∠DBA＝∠DBC，∠DCA＝∠DCB，
∵AB＋BD＝AC，AE＝AB，
∴DB＝CE，
在△ADB和△ADE中，
，
∴△ADB≌△ADE（SAS），
∴BD＝DE，∠ABD＝∠AED，
∴DE＝CE，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠AED＝2∠ECD，
∴∠ABD＝2∠ECD，
∴∠ABC＝2∠ACB．
（3）如图4，延长AB至G，使BG＝BD，连接DG，
则∠BDG＝∠AGD，
∴∠ABC＝∠BDG＋∠AGD＝2∠AGD，
∵∠ABC＝2∠ACB，
∴∠AGD＝∠ACB，
∵AB＋BD＝AC，BG＝BD，
∴AG＝AC，
∴∠AGC＝∠ACG，
∴∠DGC＝∠DCG，
∴DG＝DC，
在△ADG和△ADC中，
，
∴△ADG≌△ADC（SSS），
∴∠DAG＝∠DAC，即AD平分∠BAC．
【点评】本题考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
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