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2024人教版 八上数学第13章过关检测
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
（2025 连云港）下列长度（单位：cm）的3根小木棒能搭成三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10
如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC＝35°，则∠OBD的度数为（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
（2025 台湾）如图，△ABC中有AD，D点在BC上．根据图中标示的度数，求p+q+r之值是多少？（　　）
A．140 B．150 C．160 D．180
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是DC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
四边形ABCD中，E、F两点在BC上，G点在AD上，各点位置如图所示．连接GE、GF后，根据图中标示的角与角度，判断下列关系何者正确？（　　）
A．∠1+∠2＜∠3+∠4 B．∠1+∠2＞∠3+∠4
C．∠1+∠4＜∠2+∠3 D．∠1+∠4＞∠2+∠3
如图，直线l1∥l2，点A在l2上，AB⊥l3，垂足为B．若∠1＝138°，则∠2的度数为（　　）
A．32° B．38° C．42° D．48°
如图，△ABC的两条中线AD、BE交于点F，若四边形CDFE的面积为18，则△ABC的面积是（　　）
A．54 B．51 C．42 D．41
如图，梯形ABCD中，AD∥BC．若∠ADC＝140°，且BD⊥CD，则∠DBC的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含30°角的三角板的斜边与含45°角的三角板的一条直角边平行，则∠α的角度为（　　）
A．100° B．105° C．110° D．120°
如图．△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD＝α，则∠EFC的度数是（用含α的代数式表示）（　　）
A．90°+α B．90°﹣α C．180°﹣α D．α
如图，已知，，，，则为（ ）
A． B． C． D．
如图,AD是△ABC的中线,DE是△ADC的高线,AB=3,AC=5,DE=2,点D到AB的距离是（ ）
A． 2 B． C． D．
1 、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 　 　．

（2025 乐山）如图，∠1的度数为 　 　 ．
已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣9|+（b﹣1）2＝0，c为奇数，则c＝　 　．
如图，的一边为平面镜，，一束光线（与水平线平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在上的点E处，则的度数是_______度．
如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的最小值等于_____．
剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片，从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片，…，如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为 　 　．
1 、解答题（本大题共8小题，共66分）
如图，点A．B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，求证：∠E＝∠F．
如图，△ABC的周长为24cm，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，AD，BE相交于点O，CO的延长线交AB于点F，且BD＝4cm，AE＝3.5cm，求AF的长．
若△ABC的三边长分别为m﹣2，2m+1，8．
（1）求m的取值范围；
（2）若△ABC的三边均为整数，求△ABC的周长．
在三角形ABC中，
①分别作出AB，BC，AC边上的中线CD，AE，BF．
②在①的作图条件下，这三条中线相交于点O，若三角形ABC的面积是64平方米，则三角形AOF的面积是 　 　平方米．
某木材市场上木棒规格与价格如下表：
规格 1m 2m 3m 4m 5m 6m
价格（元/根） 10 15 20 25 30 35
小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为3m和5m的木棒，还需要到某木材市场上购买一根．
（1）有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？
（2）选择哪一种规格木棒最省钱？
已知：在中，，分别是的高和角平分线，若．你能帮助工人师傅解决下面的问题吗．
（1）求的度数；
（2）试写出与有何关系．（不必证明）
已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A．B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A．B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是　　　　　　；
②当∠BAD=∠ABD时，x=　　　　　　；当∠BAD=∠BDA时，x=　　　　　　．
如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
如图1，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，∠EDF＝30°，∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，记∠ADF为α（0°＜α＜180°），在旋转过程中；
（1）如图2，当∠α＝　 　时，，当∠α＝　 　时，DE⊥BC；
（2）如图3，当顶点C在△DEF内部时，边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N，
①此时∠α的度数范围是　 　；
②∠1与∠2度数的和是否变化？若不变求出∠1与∠2度数和；若变化，请说明理由；
③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度数范围．
答案解析
1 、选择题
【考点】三角形三边关系
【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析判断即可．
解：A．1+2＝3，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
B、2+3＞4，能构成三角形，故本选项符合题意；
C、3+5＝8，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
D、5+4＜10，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
【考点】垂线，三角形内角和定理
【分析】利用光的反射得∠BOD＝∠AOC＝35°，根据垂直的定义得∠ODB＝90°，再利用三角形内角和即可得出答案．
解：∵∠AOC＝35°，
∴∠BOD＝∠AOC＝35°，
∵PD⊥CD，
∴∠ODB＝90°，
∴∠OBD＝180°﹣90°﹣35°＝55°．
故选：C．
【点评】本题考查垂线，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握垂直的定义和性质．
【考点】三角形的外角性质，三角形的内角和定理
【分析】先由三角形内角和定理得r＝80，再根据三角形外角性质得p+q＝80，由此即可得出p+q+r的值．
解：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠C＝70°，∠ADC＝r°，
由三角形内角和定理得：∠DAC+∠C+∠ADC＝180°，
∴30°+70°+r°＝180°，
∴r＝80，
∴∠ADC＝r°＝80°，
∵∠ADC是△ABD的外角，∠B＝q°，∠BAD＝p°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝p°+q°，
∴p°+q°＝80°，
∴p+q＝80，
∴p+q+r＝80+80＝160．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的外角性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．
【分析】根据直角三角形的定义，找出图中的直角三角形即可解决问题．
解：因为∠BAC＝90°，
所以△ABC是直角三角形．
因为AD是BC边上的高，
所以∠ADB＝∠ADC＝90°，
所以△ABD、△AED、△ACD都是直角三角形，
所以图中的直角三角形共有4个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，能根据所给条件找出图中的所有直角三角形是解题的关键．
【分析】通过三角形内角和与四边形内角和，排除错误选项．
解：∵∠1+∠2+∠EGF＝180°，∠3+∠4+∠EGF＝180°，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
故A．B选项错误，
∵∠1+∠C+∠D+∠EGD＝360°，
∴∠1+70°+105°+∠4+∠EGF＝360°，
∴∠1+∠4＝185°﹣∠EGF，
∵∠2+∠B+∠A+∠AGF＝360°，
∴∠2+85°+100°+∠3+∠EGF＝360°，
∴∠2+∠3＝175°﹣∠EGF，
∴∠1+∠4＞∠2+∠3，
故选：D．
【点评】本题考查了角度之间的大小比较，属于简单题．
【考点】平行线的性质，三角形的外角性质，垂线．
【分析】由平行线的性质得到∠3＝∠1＝138°，由垂直的定义得到∠ABC＝90°，由三角形外角的性质就求出∠2＝48°．
解：∵直线l1∥l2，
∴∠3＝∠1＝138°，
∵AB⊥l3，
∴∠ABC＝90°，
∵∠3＝∠2+∠ABC，
∴∠2＝48°．
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，垂线，关键是由平行线的性质得到∠3＝∠1＝138°，由三角形外角的性质即可求解．
【考点】三角形的重心，三角形的面积
【分析】连接CF，依据中线的性质，推理可得S△BCF＝S△BAF＝S△ACF，进而得出S△ABC＝3S△BAF，据此可得结论．
解：如图所示，连接CF，
∵△ABC的两条中线AD、BE交于点F，
∴S△BCE＝S△ABD，
∴S四边形CDFE＝S△ABF＝18，
∵BE是△ABC的中线，FE是△ACF的中线，
∴S△BCE＝S△ABE，S△FCE＝S△FAE，
∴S△BCF＝S△BAF＝18，
同理可得，S△ACF＝S△BAF＝18，
∴S△BCF＝S△BAF＝S△ACF＝18，
∴S△ABC＝3S△BAF＝3×18＝54，
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的中线的性质，关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
【考点】梯形，平行线的性质，垂线的性质，三角形的内角和定理
【分析】先根据垂直的定义可得：∠BDC＝90°，则∠C+∠CBD＝90°，由平行线的性质可得：∠C＝180°﹣140°＝40°，从而得结论．
解：∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠C+∠CBD＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠C＝180°，
∵∠ADC＝140°，
∴∠C＝180°﹣140°＝40°，
∴∠DBC＝90°﹣40°＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，垂线的性质，三角形的内角和定理，掌握这些性质是解本题的关键．
【考点】等腰直角三角形，平行线的性质，三角形内角和定理
【分析】根据平行线的性质可得∠ABC的度数，再根据三角形内角和定理可得∠α的度数．
解：∵含30°角的三角板的斜边与含45°角的三角板的一条直角边平行，如图所示：
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∵∠C＝30°，
∴∠α＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
【考点】旋转的性质，列代数式．
【分析】由旋转的性质可知，BC＝CD，∠B＝∠EDC，∠A＝∠E，∠ACE＝∠BCD，因为∠BCD＝α，所以∠B＝∠BDC＝＝90°﹣，∠ACE＝α，由三角形内角和可得，∠A＝90°﹣∠B＝．所以∠E＝．再由三角形内角和定理可知，∠EFC＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝180°﹣α．
解：由旋转的性质可知，BC＝CD，∠B＝∠EDC，∠A＝∠E，∠ACE＝∠BCD，
∵∠BCD＝α，
∴∠B＝∠BDC＝＝90°﹣，∠ACE＝α，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝．
∴∠E＝．
∴∠EFC＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝180°﹣α．
故选：C．
【点评】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和等相关内容，由旋转的性质得出∠E和∠ECF的角度是解题关键．
【考点】平行线的性质，三角形外角的性质
【分析】结合已知条件根据平行线的性质、三角形外角的性质、等式性质即可求得答案．
解：延长交于点，延长交于点，如图：
∵
∴，
∵
∴
∵，
∴，
∴
∴
∴
∵，
∴
∴．
故选：C
【点评】本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质、等式性质等知识点，合理的添加辅助线可以帮助同学们更快地解决问题．
【考点】三角形的角平分线、中线和高
【分析】作DF⊥AB于点F，先由AD是△ABC的中线可得S△ABD=S△ACD，然后根据面积法即可求出DF的长，
解：作DF⊥AB于点F，
∵AD是△ABC的中线,
∴S△ABD=S△ACD，
∴，
∴3DF=5×2，
∴DF=.
故选D.
作
【点评】本题考查了三角形中线的性质和面积法求线段的长，由中线的性质得出S△ABD=S△ACD是解答本题的关键.
1 、填空题
【考点】三角形的稳定性．
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
解：这样做的数学依据是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
【考点】三角形的外角性质
【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可计算．
解：∠1＝45°+55°＝100°．
故答案为：100°．
【点评】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
【考点】三角形三边关系；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．
解：∵a，b满足|a﹣9|+（b﹣1）2＝0，
∴a﹣9＝0，b﹣1＝0，
解得a＝9，b＝1，
∵9﹣1＝8，9+1＝10，
∴8＜c＜10，
又∵c为奇数，
∴c＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查三角形三边的关系，非负数的性质：绝对值，非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，熟练掌握三角形三边的关系．
【考点】平行线的性质，三角形的外角性质
【分析】根据平行线的性质可得∠ADC的度数，由光线的反射定理可得∠ODE的度数，在根据三角形外角性质即可求解．
解：∵DC∥OB，
∴∠ADC=∠AOB=38°，
由光线的反射定理易得，∠ODE=∠ACD=38°，
∠DEB=∠ODE+∠AOB =38°+38°=76°，
故答案为：76°．
【点评】本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角=反射角是解题的关键．
【考点】平移的性质，三角形三边的关系
【分析】取的中点，的中点，连接，，，，根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论．
解：取的中点，的中点，连接，，，，
将平移5个单位长度得到△，
，，
点、分别是、的中点，
，
，
即，
的最小值等于，
故答案为：．
【点评】本题考查了平移的性质，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
【考点】三角形边角关系，规律型：图形的变化类．
【分析】根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，多边形的边数增加4，如第一次，将其中两个边分成四条边，且剪刀所在那条直线增加两条边，即为2+2×2+1×2＝8＝4+4×1（边），分成两个图形，第二次，边数为：8﹣2+2×2+2×1＝12＝4+4×2，分成三个图形，……，当剪第n刀时，边数为4+4n，分成（n+1）个图形，令n＝9即可得出结论．
解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，多边形的边数增加4，
第一次，将其中两个边分成四条边，且剪刀所在那条直线增加两条边，即为2+2×2+1×2＝8＝4+4×1（边），分成两个图形，
第二次，边数为：8﹣2+2×2+2×1＝12＝4+4×2，分成三个图形，……，
当剪第n刀时，边数为4+4n，分成（n+1）个图形，
∵最后得到10张纸片，设还有一张多边形纸片的边数为m，
∴令n＝9，有4+4×9＝5+3×3+5×4+m，
解得m＝6．
故答案为：6．
【点评】此题考查了三角形边角关系，关键是理解用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得多边形的总边数增加4．也可从内角和角度出发解决．
1 、解答题
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理
【分析】根据平行线的性质可得∠ACE＝∠D，又∠A＝∠1，利用三角形内角和定理及等式的性质即可得出∠E＝∠F．
解：∵CE∥DF，
∴∠ACE＝∠D，
∵∠A＝∠1，
∴180°﹣∠ACE﹣∠A＝180°﹣∠D﹣∠1，
又∵∠E＝180°﹣∠ACE﹣∠A，∠F＝180°﹣∠D﹣∠1，
∴∠E＝∠F．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等．也考查了三角形内角和定理．
【考点】三角形的重心
【分析】根据三角形的重心性质，得CF是△ABCD的中线，再根据三角形的中线性质与三角形的周长公式便可求得AF．
解：∵BD＝4cm，AE＝3.5cm，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴AC＝2AE＝7cm，BC＝2BD＝8cm，
∵△ABC的周长为24cm，
∴AB＝24﹣7﹣8＝9（cm），
∵O点是中线AD，BE的交点，
∴CF是AB边上的中线，
∴AF＝AB＝4.5（cm）．
【点评】本题考查了三角形的重心，关键是三角形的重心得CF是AB边上的中线．
【考点】三角形三边关系
【分析】（1）直接利用三角形三边关系得出不等式组求出答案；
（2）利用m的取值范围得出m的值，进而得出答案．
解：（1）根据三角形的三边关系，
，
解得：3＜m＜5；
（2）因为△ABC的三边均为整数，且3＜m＜5，所以m＝4．
所以，△ABC 的周长为：（m﹣2）+（2m+1）+8＝3m+7＝3×4+7＝19．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出不等式组是解题关键．
【考点】三角形的重心，作图—基本作图，三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积
【分析】①分别取AB、BC、AC的中点得到CD、AE、BF，
②利用F点为AC的中点，根据三角形面积公式得到S△ABF＝S△ABC＝32平方米，再利用点O为△ABC的重心得到OF＝BF，然后根据三角形面积公式得到S△AOF＝S△ABF．
解：①如图，CD、AE、BF为所作，
②∵BF为△ABC的中线，
∴S△ABF＝S△ABC＝×64＝32（平方米），
∴点O为三角形三条中线的交点，
即点O为△ABC的重心，
∴BO＝2OF，
∴OF＝BF，
∴S△AOF＝S△ABF＝平方米．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了三角形的面积．
【考点】三角形三边关系
【分析】（1）根据三角形的三边关系可得5﹣3＜x＜5+3，再解出不等式可得x的取值范围，进而得到选择的木棒长度；
（2）根据木棒价格可直接选出答案．
解：（1）设第三根木棒的长度为xm，
根据三角形的三边关系可得：5﹣3＜x＜5+3，
解得2＜x＜8，
x＝3，4，5，6共4种，
∴有4种规格木棒可供小明的爷爷选择；
（2）根据木棒的价格可得选3m最省钱．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．
【考点】三角形内角和定理，角平分线定义，直角三角形的性质
【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再利用角平分线的定义求得的度数，然后由直角三角形两锐角互余求出的度数，两角相减即可得解；
（2）先根据三角形内角和定理用含 、的式子表示出的度数，再利用角平分线的定义求得的度数，然后由直角三角形两锐角互余求出的度数，两角相减即可得解．
解：（1）∵
∴
∵是的角平分线
∴
∵是的高，
∴
∴．
（2）同（1）的思路，
∵，
∴．
故答案是：（1）；（2）
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义以及直角三角形两锐角互余等知识点，属基础题目，两问解题思路是一样的，体现了从特殊到一般的思想方法．
【考点】 三角形的角平分线、中线和高；平行线的性质；三角形内角和定理．
【分析】 利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，分类讨论的思想．
解：（1）①∵∠MON=40°，OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=20°
∵AB∥ON∴∠ABO=20°
②∵∠BAD=∠ABD∴∠BAD=20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=120°
∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∴∠BAD=80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=60°
故答案为：①20 ②120，60
①当点D在线段OB上时，
若∠BAD=∠ABD，则x=20
若∠BAD=∠BDA，则x=35
若∠ADB=∠ABD，则x=50
②当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，且三角形的内角和为180°，
所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=125．
综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，
且x=20、35、50、125．
【点评】 本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．
【考点】三角形内角和定理，平行线的性质，直角三角形的性质
【分析】（1）当∠EDA＝∠B＝40°时，，得出30°＋α＝40°，即可得出结果；当时，DE⊥AB，得出50°＋α＋30°＝180°，即可得出结果；
（2）①由已知得出∠ACD＝45°，∠A＝50°，推出∠CDA＝85°，当点C在DE边上时，α＋30°＝85°，解得α＝55°，当点C在DF边上时，α＝85°，即可得出结果；
②连接MN，由三角形内角和定理得出∠CNM＋∠CMN＋∠MCN＝180°，则∠CNM＋∠CMN＝90°，由三角形内角和定理得出∠DNM＋∠DMN＋∠MDN＝180°，即∠2＋∠CNM＋∠CMN＋∠1＋∠MDN＝180°，即可得出结论；
③由，∠1＋∠2＝60°，得出∠2≥2（60° ∠2），解得∠2≥40°，由三角形内角和定理得出∠2＋∠NDM＋α＋∠A＝180°，即∠2＋30°＋α＋50°＝180°，则∠2＝100° α，得出100° α≥40°，解得α≤60°，再由当顶点C在△DEF内部时，55°＜α＜85°，即可得出结果．
解：（1）∵∠B＝40°，
∴当∠EDA＝∠B＝40°时，，
而∠EDF＝30°，
∴，
解得：α＝10°；
当时，DE⊥AB，
此时∠A+∠EDA＝180°，
，
∴，
解得：α＝100°；
故答案为10°，100°；
（2）①∵∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝45°，∠A＝50°，
∴∠CDA＝85°，
当点C在DE边上时，，
解得：，
当点C在DF边上时，，
∴当顶点C在△DEF内部时，；
故答案为：；
②∠1与∠2度数的和不变；理由如下：
连接MN，如图所示：
在△CMN中，∵∠CNM+∠CMN+∠MCN＝180°，
∴∠CNM+∠CMN＝90°，
在△MND中，∵∠DNM+∠DMN+∠MDN＝180°，
即∠2+∠CNM+∠CMN+∠1+∠MDN＝180°，
∴；
③∵∠2≥2∠1，∠1+∠2＝60°，
∴，
∴∠2≥40°，
∵，
即，
∴，
∴，
解得：α≤60°，
∵当顶点C在△DEF内部时，，
∴∠α的度数范围为．
【点评】本题考查了平行线的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理、不等式等知识，合理选择三角形后利用三角形内角和定理列等量关系是解决问题的关键．
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