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2024人教版 八上数学第1次月考试卷
考试范围：第13-14章
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
题号 一 二 三 总分
得分
1 、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．4cm，5cm，9cm
B．8cm，8cm，15cm
C．5cm，5cm，10cm
D．6cm，7cm，14cm
三角形的重心是（　　）
A．三角形三条边上中线的交点
B．三角形三条边上高线的交点
C．三角形三条边垂直平分线的交点
D．三角形三条内角平分线的交点
（2025 南充）如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（　　）
A．120° B．130° C．140° D．150°
如图，AB∥CD，过点D作DE⊥AC于点E．若∠D＝50°，则∠A的度数为（　　）
A．130° B．140° C．150° D．160°
如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有（　　）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法．
（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′；（3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是（　　）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
如图，△ABC内部有一点D，且△DAB、△DBC、△DCA的面积分别为5、4、3．若△ABC的重心为G，则下列叙述何者正确？（　　）
A．△GBC与△DBC的面积相同，且DG与BC平行
B．△GBC与△DBC的面积相同，且DG与BC不平行
C．△GCA与△DCA的面积相同，且DG与AC平行
D．△GCA与△DCA的面积相同，且DG与AC不平行
如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正确的是（　　）
A．γ=2α+β B．γ=α+2β C．γ=α+β D．γ=180°﹣α﹣β
已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（　　）
A．作∠APB的平分线PC交AB于点C
B．过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC
C．取AB中点C，连接PC
D．过点P作PC⊥AB，垂足为C
如图，AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110°，∠BAE=60°，则∠CAE为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA．OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB=（　　）
A．149° B．149.5° C．150° D．150.5°
1 、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5=　 　．
如图,为的平分线.,..则点到射线的距离为__________．
已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为　 　．
现有A．B两个大型储油罐，它们相距2km，计划修建一条笔直的输油管道，使得A．B两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为0.5km，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有　 　种．
已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC．射线OC即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是　 　．
平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图，若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，则∠BPD的度数为_____．
1 、解答题（本大题共8小题，共78分）
如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求证：BC∥EF．
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB上一点，连接CD，过点A．B分别向CD作垂线，垂足分别为点F、E，试判断AF、BE与EF之间的数量关系，并证明你的结论．
（题文）已知a，b，c是三角形的三边长．
（1）化简：|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|；
（2）在（1）的条件下，若a=5，b=4，c=3，求这个式子的值．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
如图，在△ABC与△ABD中，BC＝BD．设点E是BC的中点，点F是BD的中点．
（1）请你在图中作出点E和点F；(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法与证明）
（2）连接AE，AF．若∠ABC＝∠ABD，请你证明△ABE≌△ABF．
已知点O为线段AB的中点，P为线段AB外一点，过P作直线l，分别过A．B作直线l的垂线段AM、BN；
（1）当点O在直线l上时，求证：OM=ON；
（2）直角三角形斜边上的中线有下列性质：斜边上的中线等于斜边的一半．
请你利用这一性质回答问题：当点O不在直线l上时，OM=ON吗？
已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠BAD；
（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？
（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．
如图①，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P.
（1）如果∠A=70°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，过P点作直线MN∥BC，分别交AB和AC于点M和N，试求∠MPB+∠NPC的度数（用含∠A的代数式表示）；
（3）的条件下，将直线MN绕点P旋转.
（ⅰ）当直线MN与AB、AC的交点仍分别在线段AB和AC上时，如图③，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由；
（ⅱ）当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图④，试问（ⅰ）中∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明你的理由；若不成立，请给出∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由.
答案解析
1 、选择题
【考点】三角形三边关系
【分析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中的三边长，即可得出结论．
解：A．∵5+4=9，9=9，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
B、8+8=16，16＞15，
∴该三边能组成三角形，故此选项正确；
C、5+5=10，10=10，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
D、6+7=13，13＜14，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是：用较短的两边长相交与第三边作比较．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合三角形三边关系，代入数据来验证即可．
【考点】三角形的重心．
【分析】根据三角形的重心是三条中线的交点解答．
解：三角形的重心是三条中线的交点，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形重心的定义．掌握三角形的重心是三条中线的交点是解题的关键．
【考点】三角形的外角性质
【分析】利用三角形的外角性质计算即可．
解：∵直角三角板，
∴α＝90°+60°＝150°，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
【考点】三角形内角和定理，平行线的性质,垂线．
【分析】利用三角形内角和定理先得出∠C的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠A．
解：∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
在△CDE中，∠D＝50°，∠DEC＝90°，
∴∠C＝40°，
又∵AB∥CD，
∴∠A+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝140°．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理、平行线的性质，熟记三角形的内角和等于180°以及平行线的性质是解题关键．
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∵AC=AB，
∵∠CAE=∠BAD，
∴△AEC≌△ADB；
∴CE=BD，
∵AC=AB，
∴∠CBE=∠BCD，
∵∠BEC=∠CDB=90°，
∴△BCE≌△CBD；
∴BE=CD，
∴AD=AE，
∵AO=AO，
∴△AOD≌△AOE；
∵∠DOC=∠EOB，
∴△COD≌△BOE；
∴OB=OC，
∵AB=AC，
∴CF=BF，AF⊥BC，
∴△ACF≌△ABF，△COF≌△BOF．
共6对，故选D．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、HL．做题时要由易到难，不重不漏．　
【考点】作图—复杂作图，全等三角形的判定
【分析】由作图过程可得，OC＝OD＝O'C'＝O'D'，C'D'＝CD，结合全等三角形的判定可得答案．
解：由作图过程可得，OC＝OD＝O'C'＝O'D'，C'D'＝CD，
∴△C′O′D′≌△COD（SSS），
∴判定△C′O′D′≌△COD的依据是三边分别相等的两个三角形全等．
故选：A．
【点评】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．
【分析】由题意可得S△ABC＝5+4+3＝12，利用三角形重心性质可得S△GBC＝S△ABC＝×12＝4，进而可得S△GBC＝S△DBC＝4，即可判断结论A正确．
解：∵△ABC内部有一点D，且△DAB、△DBC、△DCA的面积分别为5、4、3，
∴S△ABC＝5+4+3＝12，
∵△ABC的重心为G，
∴S△GBC＝S△ABC＝×12＝4，
∴S△GBC＝S△DBC＝4，
∴点D、G到BC的距离相等，且位于BC的同侧，
∴DG∥BC，故结论A正确；结论B、C、D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的中线、重心，三角形面积，熟练掌握三角形的重心的性质是解题关键．
【考点】三角形外角的性质
【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．
解：由折叠得：∠A=∠A'，
∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，
∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，
∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．
【考点】全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定
【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论．
解：A．利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；
C、利用SSS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；
D、利用HL判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意，
B、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键．
【考点】全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理
【分析】运用SAS证明△ABD≌△ACE，得∠B=∠C．根据三角形内角和定理可求∠DAE的度数．则易求∠CAE的度数．
解：如图，∵∠1=∠2=110°，
∴∠ADE=∠AED=70°，
∴∠DAE=180°-2°．
∵BE=CD，∴BD=CE．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠BAD=∠CAE．
∵∠BAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE=20°．
故选A．
【点评】此题考查等腰三角形的判定和性质及三角形内角和定理，证明三角形为等腰三角形是关键．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF，
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN，
∴EM=NF，PM=PN，故（1）正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故（3）正确，
∵OM+ON=OE+ME+OF﹣NF=2OE=定值，故（2）正确，
MN的长度是变化的，故（4）错误，
故选B．
【点评】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理
【分析】过点E作EG∥AB，根据平行线的性质可得“∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°”，根据角的计算以及角平分线的定义可得“∠FBE+∠EDF=（∠ABE+∠CDE）”，再依据四边形内角和为360°结合角的计算即可得出结论．
解：如图，过点E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GE，
∴∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°，
∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°；
又∵∠BED=61°，
∴∠ABE+∠CDE=299°．
∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，
∴∠FBE+∠EDF=（∠ABE+∠CDE）=149.5°，
∵四边形的BFDE的内角和为360°，
∴∠BFD=360°﹣149.5°﹣61°=149.5°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及四边形内角和为360°，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．
1 、填空题
【考点】三角形内角和定理
【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠6+∠7的度数，进而得出答案．
解：如图所示：∠1+∠2+∠6=180°，∠3+∠4+∠7=180°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=220°，
∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7=360°，
∴∠6+∠7=140°，
∴∠5=180°﹣（∠6+∠7）=40°．
故答案为：40°．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确应用三角形内角和定理是解题关键．
【考点】角平分线的性质
【分析】过C作CF⊥AO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CM，进而可得答案．
解：过C作CF⊥AO．
∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，
∴CM=CF．
∵OC=5，OM=4，
∴CM=3，
∴CF=3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【考点】三角形三边关系
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求解．
解：根据三角形的三边关系，得
第三边＞4，而＜6．
又第三条边长为整数，
则第三边是5．
【点评】此题主要是考查了三角形的三边关系，同时注意整数这一条件．
【考点】点到直线的距离；全等三角形的应用
【分析】根据点A．B的可以在直线的两侧或异侧两种情形讨论即可；
解：输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有4种，如图所示；
故答案为4．
【点评】本题考查整体﹣应用与设计，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【考点】全等三角形的判定；作图—基本作图
【分析】利用基本作图得到OM=ON，CM=CN，加上公共边OC，则可根据SSS证明三角形全等．
解：由作法①知，OM=ON，
由作法②知，CM=CN，
∵OC=OC，
∴△OCM≌△OCN（SSS），
故答案为：SSS．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定．
【考点】三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质
【分析】易证△ACD≌△BCE，由全等三角形的性质可知：∠A＝∠B，再根据已知条件和四边形的内角和为360°，即可求出∠BPD的度数．
解：在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠A＝∠B，∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCA＝∠ECD，
∵∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，
∴∠BCA+∠ECD＝100°，
∴∠BCA＝∠ECD＝50°，
∵∠ACE＝55°，
∴∠ACD＝105°
∴∠A+∠D＝75°，
∴∠B+∠D＝75°，
∵∠BCD＝155°，
∴∠BPD＝360°﹣75°﹣155°＝130°，
故答案为：130°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理，解题的关键是利用整体的数学思想求出∠B+∠D＝75°．
1 、解答题
【考点】全等三角形的判定和性质、平行线的性质
【分析】由全等三角形的性质SAS判定△ABC≌△DEF，则对应角∠ACB=∠DFE，故证得结论．
证明：∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，
∵AF=DC，
∴AC=DF．
∴在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB=∠DFE，
∴BC∥EF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】求出∠BEC=∠CFA=90°，∠CBE=∠ACF，根据AAS推出△BEC≌△CFA，根据全等三角形的性质得出BE=CF，AF=CE，即可得出答案．
答：AF﹣BE=EF，
证明：∵BE⊥CE，AF⊥CE，∠ACB=90°，
∴∠BEC=∠CFA=90°，
∴∠BCE+∠ACF=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BEC和△CFA中，
，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴BE=CF，AF=CE，
∴EF=CE﹣CF=AF﹣BE，
即AF﹣BE=EF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△BEC≌△CFA，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
【考点】三角形三条边的关系
【分析】（1）三角形的两边之和大于第三边，故a-b-c=a-(b+c)＜0，同理b-c-a＜0，c-a-b＜0；根据绝对值的性质去绝对值符号，然后合并同类项，（2）将a，b，c的值代入（1）中化简的结果求值即可.
解：（1）∵a、b、c是三角形的三边长，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，
∴原式=﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a+b
=a+b+c；
（2）当a=5，b=4，c=3时，
原式=5+4+3=12．
【点睛】本题结合绝对值的性质考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系并灵活运用.
【考点】平行线的判定；三角形的外角性质，三角形内角和定理，邻补角定义，角平分线定义．
【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=∠CBD=65°；
（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°．
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE=∠CBD=65°；
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°．
∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．
【考点】作一条线段中垂线，全等三角形的判定
【分析】（1）由作一条线段中垂线的方法作出点E和点F．
（2）由题意BC=BD推出BE=BF，然后证明△ABE≌△ABF．
解：(1)能看到“分别以B，C为圆心，适当长为半径画弧，两弧交于点M、N，连接MN，交BC于E”的痕迹，)能看到用同样的方法“作出另一点F(或以B为圆心，BE为半径画弧交BD于点F)”的痕迹.
(2)∵BC＝BD，E，F分别是BC，BD的中点，
∴BE＝BF，
∵AB＝AB，∠ABC＝∠ABD,
∴△ABE≌△ABF.
【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
【分析】（1）证出△AMO≌△BNO，据此即可解答；
（2）作AC∥l，延长BN交AC于C，连接OC；作BD∥l，延长AM交BD于D，连接OD．证出△MAO≌△NCO即可解答．
解：（1）在Rt△AMO和Rt△BNO中，
，
∴△AMO≌△BNO（AAS），
∴OM=ON．
（2）OM=ON．
作AC∥l，延长BN交AC于C，连接OC；作BD∥l，延长AM交BD于D，连接OD．
可知，∠ACB=90°，AM=CN．
∵O为AB的中点，
∴CO=AO，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAM=∠OCN，
在△MAO和△NCO中，
，
∴△MAO≌△NCO（SAS），
∴OM=ON．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，正确作出辅助线，构造所需图形是解题的关键．
【考点】 角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）首先要作辅助线，ME⊥AD则利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC，再利用中点的条件可知ME=MB，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM平分∠DAB．
（2）根据平行线性质得出∠CDA+∠BAD=180°，求出∠1+∠3=90°，根据三角形内角和定理求出即可．
（3）证Rt△DCM≌Rt△DEM，推出CD=DE，同理得出AE=AB，即可得出答案．
（1）证明：作ME⊥AD于E，
∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，
∴ME=MC，
∵M为BC中点，
∴MB=MC，
又∵ME=MC，
∴ME=MB，
又∵ME⊥AD，MB⊥AB，
∴AM平分∠DAB．
（2）解：DM⊥AM，
理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD=180°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠DMA=180°﹣（∠1+∠3）=90°，
即DM⊥AM．
（3）解：CD+AB=AD，
理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，
∴∠C=∠DEM=90°，
在Rt△DCM和Rt△DEM中
∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），
∴CD=DE，
同理AE=AB，
∵AE+DE=AD，
∴CD+AB=AD．
【点评】 本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，此题是一道比较典型的题目，难度适中，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
【考点】平行线的性质；角平分线的性质；三角形内角和定理
【分析】（1）由三角形内角和定理可知∠ABC+∠ACB=180°-∠A，由角平分线的性质可知及三角形内角和定理可求出∠BPC的度数；
（2）利用平行线的性质求解或先说明∠BPC=90°+∠A；
（3）（ⅰ）先说明∠BPC=90°+∠A，则∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°-(90°+∠A)= 90°-∠A；（ⅱ）不成立，∠MPB-∠NPC=90°-∠A．理由：由图可知∠MPB+∠BPC-∠NPC=180°，由（ⅰ）知：∠BPC=90°+∠A，因此∠MPB-∠NPC=180°-∠BPC=180°-(90°+∠A)= 90°-∠A．
解：：（1）∵在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，
∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=110°，
∵∠1=∠ABC，
∠2=∠ACB，
∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）
=×110°=55°，
∴∠BPC=180°-（∠1+∠2）=180°-55°=125°；
（2）由（1）可证∠BPC=90°+∠A，
∴∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°-（90°+∠A）=90°-∠A；
（3）（ⅰ）∠MPB+∠NPC= 90°-∠A．
理由：先说明∠BPC=90°+∠A，则∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°-(90°+∠A)= 90°-∠A；
（ⅱ）不成立（1分），∠MPB-∠NPC=90°-∠A
理由：由图可知∠MPB+∠BPC-∠NPC=180°，由（ⅰ）知：∠BPC=90°+∠A，
∴∠MPB-∠NPC=180°-∠BPC=180°-(90°+∠A)= 90°-∠A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了平角的定义．
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