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富宁上海新纪元总校2025－2026学年度上学期
高二数学 座位号：______
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、单选题：本小题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．已知向量＝（1，1，0），＝（－1，0，2），且与互相垂直，则k＝（ ）
A．－1 B．2 C． D．
2．某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有7张抽奖券，其中3张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李能获得奖品的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．设A，B是一个随机试验中的两个事件，P（A）＝0.2，P（B）＝0.5，P（AB）＝0.2，则P（AB）＝（ ）
A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5
4．已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A． B． C． D．4
5．向量＝（2x，1，3），＝（1，－2y，9），若//，则（ ）
A．x＝y＝1 B． C． D．
6．在空间直角坐标系中，向量＝（2，－1，m），＝（－4，2，4），下列结论正确的是（ ）
A．若//，则m＝2 B．若⊥，则m＝
C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则m＝4
7．在三棱柱中，D是四边形的中心，且，则＝（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方体中，E、F分别是、的中点．下列结论错误的是（ ）
A．EF⊥ B．EF⊥平面
C．EF与所成的角为45° D．EF//平面
二、多选题：本小题共3题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9．已知向量＝（2，－1），＝（－3，2），＝（1，1），则（ ）
A． B． C． D．
10．某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为，两人能否获得满分相互独立，则（ ）
A．两人均获得满分的概率 B．两人至少一人获得满分的概率
C．两人恰好只有甲获得满分的概率 D．两人至多一人获得满分的概率
11．如图所示，在棱长为2的正方体中，M、N分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线AM与BN是平行直线 B．直线MN与AC所成的角为60°
C．直线MN与平面ABCD所成的角为45° D．平面BMN截正方体所得的截面面积为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．已知A（0，2，3），B（－2，1，6），C（1，－1，5），则平面ABC的一个法向量是______．
13．已知空间向量＝（1，1，2），＝（2，3，2），则向量在向量上投影向量的坐标是______．
14．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b{1，2，3，4，5，6，7}，若，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为______．
四、解答题：本大题共计5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（13分）已知甲、乙、丙参加某项测试时，通过的概率分别为0.6，0.8，0.9，而且这3人之间的测试互不影响．
（1）求甲、乙、丙都通过测试的概率；
（2）求甲未通过且乙、丙通过测试的概率；
（3）求甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率．
16．（15分）如图所示，在长方体中，AD＝1，AB＝＝2，N、M分别为AB、的中点．
（1）求证：NM∥平面；
（2）求证：NM⊥平面．
17．（15分）如图，在正四棱柱中，＝2AB＝4，E，F分别为的中点．
（1）证明：//平面CDE．
（2）求与平面CDE所成角的正弦值．
18．（17分）科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件A，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件B．
（1）求事件A发生的概率P（A）；
（2）求事件A和事件B同时发生的概率P（AB）；
（3）求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率．
19．（17分）在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD，PC＝PD，O为CD的中点，二面角A－CD－P为直二面角．
（1）求证：PB⊥PD；
（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值；
（3）求平面POB与平面PAB夹角的余弦值．

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