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2025 学年第一学期上大附中诊断测试高二年级数学试卷
试卷满分 150 分, 答题时间: 120 分钟
一、填空题(前 6 题每题 4 分,后 6 题每题 5 分,共 54 分)
1. 已知集合 ,则 _____
【解析】
已知 ,若用 表示 ,则 _____.
【解析】
已知常数 且 ,如果无论 取何值,函数 的图像恒过定点 ,则 的坐标是_____.
【解析】（0，-1）
已知复数 ,则复数 的虚部为_____.
【解析】
“ ”是“函数 为奇函数”的_____条件.
【解析】充分不必要
(从“充要”,“充分不必要”,“必要不充分”,“既不充分也不必要”中选择适当的填写)
已知 ,则 的值为_____.
【解析】
已知直线 与平面 相交,则它们所成角的范围为_____(角度单位用弧度)
【解析】
设四边形 是一个正方形, 平面 , ,则二面角 的大小为_____.
【解析】
9. 如图,在棱长为 1 的正方体中, 是棱 的中点,则 与平面 所成角的正切值为_____.
【解析】
10. 如图,在直角梯形 中, , ,以 边所在的直线为轴,其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体. 一只蚂蚁在形成的几何体上从点 绕着几何体的侧面爬行一周回到点 ,则蚂蚁爬行的最短路程为_____.
【解析】
正三棱锥的斜高 ,体积为 ,侧面积为 ,则 的最大值为_____.
【解析】
12. 祖暅原理: “幂势既同,则积不容异”.即:夹在两个平行平面之间的两个几何 体, 被平行于这两个平面的任意平面所截, 如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等. 有一个球形瓷碗,它可以看成半球的一部分, 若瓷碗的直径为 8 ,高为 2 ,利用祖暅原理可求得该球形瓷碗的体积为_____
【解析】（可以理解为两个高为2，一个为底边2的等腰直角三角形的直三棱柱竖着放，另一个为半径为2倒放的圆锥，两个体积差）
二、单选题(13、14题每题 4 分,15、16 题每题 5 分,共18 分)
A. 若直线 ,则
B. 若 不在平面 上,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
【解析】
14. 我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马. 如图所示,已知四棱锥 是阳马, 平面 ,且 ,若 ,则 ( )
第 14 题图
A. B.
C. D.
【解析】
15. 设地球是半径为 的球,地球上 两地都在北纬 的纬线上, 在东经 、 在东经 的经线上,则从 沿球面向正东前进( )到 地
A. B. C. D.
【解析】
16. 如图,正方形 和正方形 所在的平面互相垂直. 是正方形 及其内部的点构成的集合, 是正方形 及其内部的点构成的集合. 设 ,给出下列三个结论:
第 16 题图
① 存在 ,存在 ,使 ；
② 存在 ,存在 ,使 ；
③ 存在 ,存在 ,使 与 所成的角为 .
其中所有正确结论的个数是( )
0 B. 1 C. 2 D. 3
【解析】
三、解答题(共 5 题,共 14+14+16+16+18=78 分)
17. 设函数 的表达式为 .
(1)函数 为偶函数。求实数 的值；
(2)若 ,且 ,求实数 的取值范围.
【解析】
(1)证明：函数 的定义域为 , 不恒为 0,
函数 为偶函数 ,
,
(2)当 时, 。当=即函数 在 单调递增,又 是偶函数,
因此 ,
即 ,解得 或
所以实数 的取值范围是 .
18. 在 中,角 所对的边分别为 ,且 .
(1)求角 ；
(2)若 ,且 的面积为 ,且 ,求 和 的值.
【解析】
(1)由正弦定理及 ,知 ,
因为 ,
所以 ,因为 ,所以 ,
又 ,所以 .
(2)因为 的面积 ,所以 ,①
由余弦定理知, ,
所以 ,②
由①②解得 , 或 , ,
因为 ,所以 , .
19. 如图,已知圆锥 的底面圆 的半径 ,且圆锥侧面展开图中扇形的中心角为 ,点 是母线 的中点, ,垂足为 边上的点 ,点 在底面圆 上,且 .
( 1 )求证: 平面 ；
(2)求异面直线 与 所成角的大小；
(3)求点 到平面 的距离;
【解析】
(1) 平面 , 平面
,
又 平面 ,
,又 为 中点, 为 中点,
,又 ,
12,
,
平面 , 平面 ,
平面 ,
平面 .
(2)由(1)知： ,
异面直线 与 所成角即为 与 所成
角,即 (或其补角),
设圆锥母线长为 ,则 ,解得: ,
,
平面 , 平面 ,
,又 ,
，异面直线 与 所成角为
设点 到平面 的距离为，则有
20. 现需要设计一个仓库,由上、下两部分组成,上部的形状是正四棱锥 ,下部的形状是正四棱柱 (如图所示),并要求正四棱柱的高 是正四棱锥的高 的 4 倍.
(1)若 ,则仓库的容积是多少 ？
(2)若正四棱锥的侧棱长为 , ,现欲粉刷仓库上部屋顶和下部外墙,上部需增加防水处理,每平方米粉刷费用是 100 元,下部每平方米粉刷费用是 80 元,问粉刷总费用是多少元(结果精确到 0.1 元)？
(3)若正四棱锥的侧棱长为 ,当 为多少时,下部的正四棱柱侧面积最大,最大面积是多少
【解析】
【解析】
(1) 由 知 .
因为 ,
所以正四棱锥 的体积 锥 .
正四棱柱 的体积 柱 .
所以仓库的容积 锥柱 .
(2) 如图,连接 ,取 的中点 ,连接 .
在正四棱锥 中, ,所以 .
因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,所以 所以正四棱锥 的侧面积为 .
正四棱柱的侧面积为：
则粉刷总费用为：元
(3) 设 ,下部分的侧面积为 ,连接 ,
则 . ,
. .
设 ,
当 ,即 时, ,
故当 时,下部的正四棱柱侧面积最大,最大侧面积是 .
21. 如图,在棱长为 4 的正方体 中, 为 的中点,经过 三点的平面记为平面 ,点 是侧面 内的动点,且 .
(1)设平面 ,求证: ；
(2) 平面 将正方体 分成两部分,求这两部分的体积之比 (其中 );
(3)当 最小时,求三棱锥 的外接球的表面积.
【解析】
(1)连接 ,因为 且 ,
所以 为平行四边形,所以 , 平面
平面 ,所以 平面 ,
又平面 平面 ,
所以 ;
(2)在正方形 中,直线 与直线DC相交,
设 ,连接 ,设 ,连接GE,
由 为 的中点,得 为 的中点,
,所以平面 即为平面 ,
因为 的中点,所以 为 的中点,
所以平面 将正方体分 . 求中一部分是三棱台CGE-,因为正方体 的棱长为 4,
所以 棱台
另一部分几何体的体积
两部分的体积 ;
(3) 取 的中点 的中点 ,连接MN、ME、 、 ,
显然MN//,EG//,所以MN//EG,
MN不包含于平面AGE , 面AGE ,所以MN //平面AGE
又 为 的中点,所以 且 又 且
所以 且 ,
所以 为平行四边形,所以 ,
平面 平面 ,
所以 平面 ,
又 平面 ,所以平面 平面 ,
又点 是侧面 内的动点,且 ,
所以P在线段MN上,又 ,
即 MN为等腰三角形,所以当P为MN的中点时 最小,
因为 为等腰直角三角形,所以其外接圆的圆心为斜边 的中点,设为 ,
令 ,则 为 的中点,连接 ,
则 ,所以 平面 ,所以球心在 上,设球心为 ,连接 、 、 ,令 ,则 为 的中点,连接 ,则 ,
所以 平面 ,所以球心在 上,设球心为 ,连接 、 、 ,
设外接球的半径为 ,则 ,
又 ,
所以 , ) ,解得 ,则
所以外接球的表面积 .2025 学年第一学期上大附中诊断测试高二年级数学试卷
试卷满分 150 分, 答题时间: 120 分钟
一、填空题(前 6 题每题 4 分,后 6 题每题 5 分,共 54 分)
1. 已知集合 ,则 _____
2. 已知 ,若用 表示 ,则 _____.
3. 已知常数 且 ,如果无论 取何值,函数 的图像恒过定点 ,则 的坐标是_____.
4. 已知复数 ,则复数 的虚部为_____.
5. “ ”是“函数 为奇函数”的_____条件.
(从“充要”,“充分不必要”,“必要不充分”,“既不充分也不必要”中选择适当的填写)
6. 已知 ,则 的值为_____.
7. 已知直线 与平面 相交,则它们所成角的范围为_____(角度单位用弧度)
8. 设四边形 是一个正方形, 平面 , ,则二面角 的大小为_____.
9. 如图,在棱长为 1 的正方体中, 是棱 的中点,则 与平面 所成角的正切值为_____.
10. 如图,在直角梯形 中, , ,以 边所在的直线为轴,其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体. 一只蚂蚁在形成的几何体上从点 绕着几何体的侧面爬行一周回到点 ,则蚂蚁爬行的最短路程为_____.
11. 正三棱锥的斜高 ,体积为 ,侧面积为 ,则 的最大值为_____.
12. 祖暅原理: “幂势既同,则积不容异”.即:夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截, 如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等. 有一个球形瓷碗,它可以看成半球的一部分, 若瓷碗的直径为 8 ,高为 2 ,利用祖暅原理可求得该球形瓷碗的体积为_____
二、单选题(13、14题每题 4 分,15、16 题每题 5 分,共18 分)
A. 若直线 ,则
B. 若 不在平面 上,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
14. 我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马. 如图所示,已知四棱锥 是阳马, 平面 ,且 ,若 ,则 ( )
第 14 题图
A. B.
C. D.
15. 设地球是半径为 的球,地球上 两地都在北纬 的纬线上, 在东经 、 在东经 的经线上,则从 沿球面向正东前进( )到 地
A. B. C. D.
16. 如图,正方形 和正方形 所在的平面互相垂直. 是正方形 及其内部的点构成的集合, 是正方形 及其内部的点构成的集合. 设 ,给出下列三个结论:
第 16 题图
① 存在 ,存在 ,使 ；
② 存在 ,存在 ,使 ；
③ 存在 ,存在 ,使 与 所成的角为 .
其中所有正确结论的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
三、解答题(共 5 题,共 14+14+16+16+18=78 分)
17. 设函数 的表达式为 .
(1)函数 为偶函数。求实数 的值；
(2)若 ,且 ,求实数 的取值范围.
18. 在 中,角 所对的边分别为 ,且 .
(1)求角 ；
(2)若 ,且 的面积为 ,且 ,求 和 的值.
19. 如图,已知圆锥 的底面圆 的半径 ,且圆锥侧面展开图中扇形的中心角为 ,点 是母线 的中点, ,垂足为 边上的点 ,点 在底面圆 上,且 .
( 1 )求证: 平面 ；
(2)求异面直线 与 所成角的大小；
(3)求点 到平面 的距离;
20. 现需要设计一个仓库,由上、下两部分组成,上部的形状是正四棱锥 ,下部的形状是正四棱柱 (如图所示),并要求正四棱柱的高 是正四棱锥的高 的 4 倍.
(1)若 ,则仓库的容积是多少 ？
(2)若正四棱锥的侧棱长为 , ,现欲粉刷仓库上部屋顶和下部外墙,上部需增加防水处理,每平方米粉刷费用是 100 元,下部每平方米粉刷费用是 80 元,问粉刷总费用是多少元(结果精确到 0.1 元)？
(3)若正四棱锥的侧棱长为 ,当 为多少时,下部的正四棱柱侧面积最大,最大面积是多少
21. 如图,在棱长为 4 的正方体 中, 为 的中点,经过 三点的平面记为平面 ,点 是侧面 内的动点,且 .
(1)设平面 ,求证: ；
(2) 平面 将正方体 分成两部分,求这两部分的体积之比 (其中 );
(3)当 最小时,求三棱锥 的外接球的表面积.

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