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17.2　第3课时　提公因式法和公式法的综合运用
素养目标
1.能用公式法进行两次因式分解.
2.能综合运用提公因式法和公式法进行因式分解.
3.通过乘法公式的逆向变形,进一步增强观察、归纳能力和语言表达能力.
综合运用提公因式法和公式法进行因式分解.
【自主预习】
1.对于式子3x2+6x,如何提取公因式进行初步因式分解 提取公因式后的式子还能继续分解吗
2.已知a2-4,先想想用什么方法进行因式分解,再思考若式子为3a2-12,怎样综合运用提取公因式和公式法来完成因式分解
1.下列各式不是多项式a3b-4ab因式分解后的因式的是 ( )
A.ab B.a+2
C.a-2 D.a-4
2.因式分解:5m2-5=　　　　.
【合作探究】
知识点一：提公因式法和平方差公式的综合运用
阅读课本本课时“例5”的内容,解答下列问题.
1.将x4-y4因式分解为(x2+y2)(x2-y2)可以吗 为什么
2.将x4-y4因式分解,需两次运用　　　　进行因式分解;将a3b-ab因式分解,要先运用　　　　法,再运用　　　　公式进行因式分解.
1.下面是甲、乙两名同学因式分解-x3+x的结果,下列判断正确的是 ( )
甲同学:原式=-x(x+1)(x-1).
乙同学:原式=x(1+x)(1-x).
A.只有甲的结果正确
B.只有乙的结果正确
C.甲、乙的结果都正确
D.甲、乙的结果都不正确
2.因式分解:4y2-4=　　　　.
3.因式分解:(1)x2(x-y)+y2(y-x);
(2)a2b-4b.
知识点二：提公因式法和完全平方公式的综合运用
阅读课本本课时“例6”的内容,解答下列问题.
1.多项式3ax2+6axy+3ay2中的公因式是　　　,提公因式后,再进一步因式分解,是运用　　　　公式进行因式分解.
2.先观察多项式-ax2+2a2x-a3,发现每一项都有公因式　　　　　,提取出来得到　　　　,提公因式后,括号里的式子符合完全平方公式(m-n)2=m2-2mn+n2,这里m=　　　　,n=　　　　,最终因式分解为　　　　.
因式分解中常见的错误:
(1)漏项;(2)符号错;(3)因式分解不彻底.
因此因式分解后要注意检查.
1.下列将多项式3a2-6a+3因式分解正确的是 ( )
A.3a(a-2)+3 B.3(a2-2a+1)
C.3(a-1)(a+1) D.3(a-1)2
2.因式分解:x2y-2xy+y=　　　　.
3.因式分解:(1)5a3b+10a2b2+5ab3.
(2)-2x2+32x-128.
题型1 综合运用平方差公式与完全平方公式分解因式
例1　因式分解:(a2+b2)2-4a2b2.
题型2 综合运用提公因式与完全平方公式分解因式求值
例2　若a+b=-3,ab=1.求a3b+a2b2+ab3的值.
变式训练　已知a-b=2,ab=,则a3b-2a2b2+ab3的值为　　　　.
题型3 分解因式的应用
例3　用因式分解法可以产生密码,例如x4-y4=(x-y)(x+y)(x2+y2),当x=8,y=8时,x-y=0,x+y=16,x2+y2=128,则密码为016128.对于多项式9a3-ab2,取a=10,b=10,用上述方法产生的密码是什么 (写出一个即可)
变式训练
1.东东是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:x-y,a-b,2,x2-y2,a,x+y.它们分别对应下列六个字:学,丽,美,我,爱,数.现将2a(x2-y2)-2b(x2-y2)因式分解,结果呈现的密码信息可能是 ( )
A.我爱美 B.我爱数学
C.美丽数学 D.美爱数学
2.设x+2z=3y,试判断x2-9y2+4z2+4xz的值是不是定值.如果是定值,求出它的值;如果不是定值,请说明理由.
参考答案
【自主预习】
预学思考
1.解:3x2+6x=3x(x+2),3x(x+2)不能继续分解.
2.解:a2-4=(a+2)(a-2);3a2-12=3(a+2)(a-2).
自学检测
1.D　2.5(m+1)(m-1)
【合作探究】
知识生成
知识点一
1.解:不可以,分解不彻底.
2.平方差公式　提公因式　平方差
对点训练
1.C　2.4(y+1)(y-1)
3.解:(1)原式=x2(x-y)-y2(x-y)=(x2-y2)·(x-y)=(x+y)(x-y)2.
(2)原式=b(a2-4)=b(a+2)(a-2).
知识点二
1.3a　完全平方
2.-a　-a(x2-2ax+a2)　x　a　-a(x-a)2
对点训练
1.D　2.y(x-1)2
3.解:(1)原式=5ab(a2+2ab+b2)=5ab(a+b)2.
(2)原式=-2(x2-16x+64)=-2(x-8)2.
题型精讲
题型1
例1
解:原式=(a2+b2-2ab)(a2+b2+2ab)=(a-b)2(a+b)2.
题型2
例2
解:∵a+b=-3,ab=1,
∴a3b+a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)
=ab(a+b)2=×1×(-3)2=.
变式训练
题型3
例3
解:原式=a(9a2-b2)=a(3a+b)(3a-b).
当a=10,b=10时,3a+b=40,3a-b=20,
∴密码为104020(答案不唯一).
变式训练
1.C
2.解:x2-9y2+4z2+4xz=(x2+4z2+4xz)-9y2=(x+2z)2-(3y)2=(x+2z+3y)(x+2z-3y).
把x+2z=3y代入,得原式=6y·0=0,
∴其值为定值,该定值为0.

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