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第十七章 因式分解 复习课
复习目标
1.知道因式分解的概念,会利用提公因式法、公式法分解因式.
2.会综合用提公因式法和公式法分解因式,能用公式法进行二次因式分解.
3.会用因式分解解决实际问题.
4.学会类比和转化思想,并能够运用整体思想解决问题.
运用提公因式法、公式法分解因式.
【体系构建】
【专题复习】
专题一：用提公因式法分解因式
例1　因式分解:
(1)6a2-4ab+2a;
(2)(1+x)(1-x)-(x-1).
变式训练
1.把多项式2a2-4a分解因式,应提取的公因式是 ( )
A.a B.2 C.a2 D.2a
2.分解因式b2(x-2)+b(2-x)正确的结果是 ( )
A.(x-2)(b2+b) B.b(x-2)(b+1)
C.(x-2)(b2-b) D.b(x-2)(b-1)
3.下列因式分解正确的是 ( )
A.mn(m-n)-m(n-m)=-m(n-m)(n+1)
B.6(p+q)2-2(p+q)=2(p+q)(3p+q-1)
C.3(y-x)2+2(x-y)=(y-x)(3y-3x+2)
D.3x(x+y)-(x+y)2=(x+y)(2x+y)
4.若m+n=3,mn=-2,则m2n+mn2的值为　　　　.
专题二：用公式法分解因式
例2　因式分解:
(1)9m2-n2;
(2)(x-y)2-8(x-y)+16.
变式训练
1.分解因式:x2-4= ( )
A.(x-4)2 B.(x-2)2
C.(x+2)(x-2) D.(x+4)(x-4)
2.因式分解(x-1)2-9的结果是 ( )
A.(x+8)(x+1) B.(x+2)(x-4)
C.(x-2)(x+4) D.(x-10)(x+8)
3.若x+y+z=2,x2-(y+z)2=8时,x-y-z的值为　　　　.
4.分解因式:a2-6a+9=　　　　.
5.若(2x)n-81因式分解的结果为(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则n的值是　　　　.
专题三：提公因式法与公式法的综合运用
例3　因式分解:(1)8a2-2;
(2)xy4+4xy3+4xy2;
(3)m2(m-n)+64(n-m);
(4)(a2+4)2-16a2.
变式训练
1.将多项式a3-49a进行因式分解的结果是 ( )
A.a(a+7)(a-7) B.(a-7)2
C.a(a2-49) D.(a+7)(a-7)
2.因式分解:2ab2-4ab+2a=　　　　.
3.将x-x2+x3分解因式的结果为　 .
4.因式分解:(1)2b2(b-1)-2(b-1);
(2)2x2y-8xy2+8y3;
(3)9(x+2y)2-4(x-y)2.
专题四：因式分解的应用
例4　(新考法)整式A,B,C,D如表所示.
整式A:a2-b2
整式B:a-b
C=A+B
D=A÷B
(1)将整式A进行因式分解.
(2)化简整式D,当C=18,D=8时,求a和b的值.
变式训练
1.为保证数据安全,通常会将数据经过加密的方式进行保存,例如:将一个多项式a3-a因式分解为a(a-1)(a+1),当a=20时,a-1=19,a+1=21,将得到的三个数字按照从小到大的顺序排列得到加密数据:192021.根据上述方法,当x=15时,多项式16x3-9x分解因式后形成的加密数据是　　　　.
2.(新趋势)如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差,那么称这个正整数为“奇特数”.例如:8=32-12,16=52-32,24=72-52,则8,16,24这三个数都是“奇特数”.
(1)32这个数是“奇特数”吗 若是,将32表示成两个连续奇数的平方差形式.
(2)设两个连续奇数是2n-1和2n+1(其中n为正整数),由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数吗 为什么
(3)如图,拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数……按此规律拼叠得到正方形ABCD,其边长为19,求阴影部分的面积.
参考答案
【专题复习】
专题一
例1
解:(1)原式=2a(3a-2b+1).
(2)原式=(1+x)(1-x)+(1-x)=(1-x)(x+2).
变式训练
1.D　2.D　3.A　4.-6
专题二
例2
解:(1)原式=(3m)2-n2=(3m+n)(3m-n).
(2)原式=[(x-y)-4]2=(x-y-4)2.
变式训练
1.C　2.B　3.4　4.(a-3)2　5.4
专题三
例3
解:(1)原式=2(2a+1)(2a-1).
(2)原式=xy2(y2+4y+4)=xy2(y+2)2.
(3)原式=m2(m-n)-64(m-n)=(m2-64)(m-n)=(m+8)(m-8)(m-n).
(4)原式=(a2+4+4a)(a2+4-4a)=(a+2)2(a-2)2.
变式训练
1.A　2.2a(b-1)2
3.x
4.解:(1)原式=2(b-1)(b2-1)
=2(b-1)2(b+1).
(2)原式=2y(x2-4xy+4y2)
=2y(x-2y)2.
(3)原式=(3x+6y)2-(2x-2y)2
=(3x+6y+2x-2y)(3x+6y-2x+2y)
=(5x+4y)(x+8y).
专题四
例4
解:(1)由表可知,A=a2-b2=(a+b)(a-b).
(2)由表可知,A=a2-b2,B=a-b,C=A+B,D=A÷B,
∴D=(a2-b2)÷(a-b)=a+b,
C=a2-b2+a-b=(a-b)(a+b+1).
∵C=18,D=8,
∴a+b=8,(a-b)(a+b+1)=18,
∴(8+1)·(a-b)=18,即a-b=2,
联立解得
变式训练
1.155763
2.解:(1)∵32=92-72,∴32是“奇特数”.
(2)这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数.
理由:∵(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n·2=8n,
∴由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数.
(3)阴影部分的面积为S=192-172+152-132+…+72-52+32-12
=(19+17)(19-17)+(15+13)(15-13)+…+(3+1)(3-1)
=(19+17+15+13+…+3+1)×2
=×10×2=200.

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