资源简介

27.2.3　相似三角形应用举例
素养目标
1.会用相似三角形的知识,解决一些不能直接测量物体的长度和高度的实际问题.
2.能把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型,提高分析问题、解决问题的能力.
◎重点:利用相似三角形的相关知识解决实际问题.
【预习导学】
知识点一：利用太阳光(影长)测量物体的高度
认真阅读课本本课时“例4”,填空:
归纳总结　用标杆、太阳光下的影长求物体的高度,根据相似三角形的性质可得关系式:=　　　　.
温馨提示　不同时刻,物体的影长会发生变化,所以利用影长测量物体高度时,一定要在同一时刻测量所涉及的量.
知识点二：利用相似测量河的宽度
认真阅读课本本课时“例5”,解决下面的问题.
为测量河宽,构造了相似三角形,请画出所构造的图形.
知识点三：利用标杆等测量物体的高度
认真阅读课本本课时“例6”,从“图27.2-17”的(2)中抽象出解题所用的几何图形,并画出来.
【合作探究】
任务驱动一：利用太阳光(影长)测量物体的高度
1.数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB.测量和计算的部分步骤如下:
①如图,树与地面垂直,在地面上的点C处放置一块镜子,小明站在BC的延长线上,当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时,测得小明到镜子的距离CD=2米,小明的眼睛E到地面的距离ED=1.5米;
②将镜子从点C沿BC的延长线方向移动10米到点F处,小明移动到点H处时,小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A,这时测得小明到镜子的距离FH=3米;
③计算树的高度AB.
请根据测量的数据计算树的高度.
任务驱动二：利用相似测量河的宽度
2.为了保障市民出行方便,某市在流经该市的河流上架起一座桥.小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长.如图,该桥两侧河岸平行,他们在河的对岸选定一个目标作为点A,再在河岸的这一边选出点B和点C,分别在AB,AC的延长线上取点D,E,使得DE∥BC.经测量,BC=80米,DE=140米,且点E到河岸BC的距离为75米.已知AF⊥BC于点F,请你根据提供的数据帮助他们计算桥AF的长度.
任务驱动三：利用相似三角形测高
3.如图,利用标杆测旗杆的高度,当观测者的眼睛与标杆的顶端、旗杆的顶端“三点共线”
时(标杆与地面垂直),观测者到标杆的水平距离是2 m,到旗杆的水平距离是6 m,观测者的眼睛到地面的距离是1.5 m,标杆的高度是2.5 m,求旗杆的高度.
变式演练　
如图,为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度,小红在操场上点C处直立高3 m的竹竿CD,然后退到点E处,此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合;小红又在点C1处直立高3 m的竹竿C1D1,然后退到点E1处,此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合.小红的眼睛离地面的高度EF=1.5 m,量得CE=2 m,EC1=8 m,C1E1=4 m,求电线杆AB的高度.
方法归纳交流　利用相似三角形知识解决实际问题的核心是构造 ,并利用相似三角形的对应边成比例进行计算.
参考答案
【预习导学】
知识点一
归纳总结
知识点二
答:
知识点三
答:
【合作探究】
任务驱动一
1.解:设AB=x米,BC=y米.
∵∠ABC=∠EDC=90°,∠ACB=∠ECD,
∴△ABC∽△EDC,
∴=,
∴=.
∵∠ABF=∠GHF=90°,∠AFB=∠GFH,
∴△ABF∽△GHF,
∴=,
∴=,
∴=,
解得y=20.
把y=20代入=中,得x=15,
∴树的高度AB为15米.
任务驱动二
2.解:如图,过点E作EG⊥BC于点G,
∵DE∥BC,
∴△ABC∽△ADE,
∴===,
∴=.
∵AF⊥BC,EG⊥BC,
∴∠CFA=∠CGE=90°.
∵∠ECG=∠ACF,
∴△ACF∽△ECG,
∴=,即=,
解得AF=100,
∴桥AF的长度为100米.
任务驱动三
3.解:过观测者的眼睛做旗杆的垂线,即作直角梯形的高.
根据题意得到图形(如图),则AB⊥BF,CD⊥BF,AB=1.5 m,CD=2.5 m,BD=2 m,BF=6 m.
过A作AM⊥EF,垂足为M,则AM⊥CD,垂足为N.
∵AB⊥BF,CD⊥BF,EF⊥BF,
∴四边形ABDN、ABFM是矩形,
∴DN=MF=AB=1.5 m,AN=BD=2 m,AM=BF=6 m,
∴CN=2.5-1.5=1 m.
∵CD⊥BF,EF⊥BF,∴CN∥EM,
∴△ACN∽△AEM,
∴=,即=,∴EM=3 m,
∴EF=EM+FM=3+1.5=4.5 m.
故旗杆的高度为4.5 m.
变式演练　
解:∵DC⊥AE,D1C1⊥AE,BA⊥AE,
∴DC∥D1C1∥BA,
∴△F1D1N∽△F1BG,
∴=.
∵DC∥BA,
∴△FDM∽△FBG,
∴=.
∵D1N=DM,
∴=,
即=,
∴GM=10 m.
∵=,
∴=,
∴BG=9 m,
∴AB=BG+GA=10.5(m).
答:电线杆AB的高度为10.5 m.
方法归纳交流
相似三角形

展开更多......

收起↑