资源简介

28.2.1　解直角三角形
素养目标
1.知道直角三角形中五个元素的关系,知道什么是解直角三角形.
2.会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
◎重点:直角三角形的解法.
【预习导学】
知识点一：直角三角形中元素的关系
阅读课本本课时开始至“例1”前的内容,填空(阅读时注意:直角三角形的三边之间的关系,两锐角之间的关系,边角之间的关系).
归纳总结　(1)在直角三角形的六个元素中,除直角外的五个元素只要知道 个元素(其中至少有 )就可以求出其余的 个元素.
(2)定义:在直角三角形中,由除直角外的 求 的过程就是解直角三角形.
知识点二：解直角三角形
阅读课本本课时中“例1”“例2”,填空(阅读时注意题目中的已知量和未知量).
　　归纳总结　解直角三角形的方法.
已知条件 解法
一条边和 一个锐角 斜边c和锐角∠A ∠B= ,a= ,b=
直角边a和锐角∠A ∠B= ,b= ,c=
两条边 两条直角边a和b c= ,由 求∠A,∠B=
直角边a和斜边c b= ,由 求∠A,∠B=
【合作探究】
任务驱动一：解直角三角形
1.在Rt△ABC中,根据下列条件解直角三角形.
(1)∠C=90°,∠A=60°,c=8;
(2)∠C=90°,a=20,c=40.
变式演练　
如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠C=45°,CD=,BD=3.
(1)求sin∠CBD的值.
(2)若AB=3,求AD的长.
任务驱动二：解直角三角形中的分类讨论
2.在△ABC中,AD是BC边上的高,AD=2,AC=2,AB=4,你能求出∠BAC的度数吗
　　变式演练　
1.若某等腰三角形的两边长分别为4,9,求其底角的余弦值.
学习小助手：求一个角的余弦值,应该把这个角放在 三角形中求解,所以只要作出 上的高即可求解.
2.在△ABC中,AB=10,AC=2,∠B=30°,求△ABC的面积.
方法归纳交流　作什么辅助线可以把非直角三角形转化为直角三角形求解
参考答案
【预习导学】
知识点一
归纳总结
两　一条边　三　已知元素　未知元素
知识点二
归纳总结
90°-∠A　c·sin A　c·cos A　90°-∠A　　　　tan A=　90°-∠A　　sin A=　90°-∠A
【合作探究】
任务驱动一
1.解:(1)∵sin A=,∴a=c·sin 60°=12.
∵cos A=,∴b=c·cos 60°=4.
∵∠A+∠B=90°,∴∠B=90°-∠A=30°,∴a=12,b=4,∠B=30°.
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∴sin A=,
∴∠A=45°=∠B,b=a=20.
变式演练　
解:(1)如图,过点D作DE⊥BC于点E.
在Rt△CED中,∵∠C=45°,CD=,
∴CE=DE=1.
在Rt△BDE中,sin∠CBD==.
(2)如图,过点D作DF⊥AB于点F,
则∠BFD=∠BED=∠ABC=90°,
∴四边形BEDF是矩形,
∴DE=BF=1.
∵BD=3,
∴DF=2,
∴AF=AB-BF=2,
∴AD=2.
任务驱动二
2.解:如图1,当点D在线段BC上时.
在Rt△ABD中,
∵cos∠DAB==,
∴∠DAB=60°.
在Rt△ACD中,∵cos∠DAC==,∴∠DAC=45°,故∠BAC=∠DAB+∠DAC=60°+45°=105°.
如图2,当点D在线段BC的延长线上时,∠BAC=∠DAB-∠DAC=60°-45°=15°.
变式演练　
1.直角　底边
解:∵4+4=8<9,∴AB=AC=9,BC=4,过点A作AD⊥BC于点D(如图).∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=DC=BC=2.∵AB=AC=9,
∴cos∠ABD==.
2.解:作AD⊥BC交BC(或BC的延长线)于点D.
①如图1,当AB,AC位于AD异侧时,
在Rt△ABD中,∵∠B=30°,AB=10,
∴AD=ABsin B=5,BD=ABcos B=5.
在Rt△ACD中,∵AC=2,
∴CD===,
则BC=BD+CD=6,
∴S△ABC=·BC·AD=×6×5=15.
②如图2,当AB,AC在AD的同侧时,
由①知BD=5,CD=,
则BC=BD-CD=4,
∴S△ABC=·BC·AD=×4×5=10.
综上所述,△ABC的面积是15或10.
方法归纳交流
答:作高线可以把锐角三角形和钝角三角形转化为两个直角三角形.

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