资源简介

28.2.2 第2课时　坡度、方位角问题
素养目标
1.知道坡度、坡角、方位角的概念,根据解直角三角形的知识解决实际问题.
2.体会数学来源于实践又反过来作用于实践的观点,加强数学应用的意识.
◎重点:用解直角三角形的知识解决与坡角、方位角有关的实际问题.
【预习导学】
知识点一：方位角问题
请你阅读课本本课时“例5”填空:
归纳总结　利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程
(1)将实际问题抽象为 问题(画出 ,转化为 的问题);
(2)根据问题中的条件,适当选用 等解直角三角形;
(3)得到 ;
(4)得到 .
知识点二：坡度问题
请你阅读课本本课时“练习”第2题,填空(阅读时注意坡度、坡角的关系).
归纳总结　
如图,坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫作坡度(或叫作 ),一般用i表示,即i=　　　　,常写成i=h∶l的形式,坡面与水平面的夹角α叫作 .坡度与坡角α之间的关系是　.
【合作探究】
任务驱动一：坡度问题
1.如图,这是某游乐公司修建的轮滑滑道草图,设计师从土台上直立大树的底端F出发,水平滑行10米到E点,沿着一个坡比为8∶15的斜坡下行8.5米到B点,然后惯性滑行5.5米到C点停止,此时测得树梢P点的仰角为24°,若A,B,C,D均在一直线上,请你依据图中数据试求树高多少米.(参考数据:sin 24°≈0.41,cos 24°≈0.91,tan 24°≈0.45)
　　变式演练　
如图,我市在建高铁的某段路基,其横断面为四边形ABCD,DC∥AB.BC长为6米,坡角β为45°,AD的坡角α为30°,则AD长为 米(结果保留根号).
任务驱动二：方位角问题
2.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”.如图,“海宝”从圆心O出发,先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处,再沿正南方向行走14米至点B处,最后沿正东方向行走至点C处,点B,C都在圆O上.参考数据:sin 67.4°≈,cos 67.4°≈,tan 67.4°≈
　　(1)求弦BC的长.
(2)请判断点A和圆的位置关系,试说明理由.
　　变式演练　
如图,这是某景区五个景点A,B,C,D,E的平面示意图,B,A在C的正东方向,D在C的正北方向,D和E均在B的北偏西18°方向上,E在A的西北方向上,C,D相距1 000米,E在BD的中点处,求景点B,A之间的距离.(参考数据:sin 18°≈0.309;cos 18°≈0.951;tan 18°≈0.325;sin 72°≈0.951;cos 72°≈0.309;tan 72°≈3.078;≈1.414)
参考答案
【预习导学】
知识点一
归纳总结
(1)数学　平面图形　解直角三角形
(2)锐角三角函数
(3)数学问题的答案
(4)实际问题的答案
知识点二
归纳总结
坡比　　坡角　i=tan α
【合作探究】
任务驱动一
1.解:如图,作EQ⊥AB于点Q.
由题意得四边形AQEF是矩形,
∴AQ=EF=10米,EQ=FA.
在Rt△BQE中,∵EQ∶QB=8∶15,BE=8.5米,
∴EQ=FA=4米,QB=7.5米.
∵BC=5.5米,
∴AC=AQ+QB+BC=10+7.5+5.5=23(米).
在Rt△PAC中,PA=AC·tan 24°≈23×0.45=10.35(米),
∴PF=PA-FA=10.35-4=6.35(米).
故树高大约6.35米.
变式演练　6
任务驱动二
2.解:(1)如图,连接OB,过点O作OD⊥AB于点D,
则四边形ODBE为矩形,
∴OD=BE.
∵AB∥SN,
∴∠A=∠AON=67.4°.
在Rt△AOD中,OD=AO×sin 67.4°≈13×=12,
∴BE=OD=12.
由垂径定理得BC=2×12=24(米).
(2)点A在圆内.
理由如下:AD=AO×cos 67.4°≈13×=5,
∴DB=14-5=9,
∴OB===15,
∴圆O的半径为15.
∵OA=13,13<15,
∴点A在圆内.
变式演练　
解:由题意,得∠C=90°,∠CAE=45°.
如图,过点E作EF⊥AC于点F.
∵E在BD的中点处,
∴EF=CD=500.
在Rt△BEF中,
BF=EF·tan 18°≈500×0.325=162.5(米).
∵AF=EF=500(米),
∴AB=AF-BF=500-162.5=337.5(米).
答:景点B,A之间的距离为337.5米.

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