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第二十八章　锐角三角函数　复习课
复习目标
　　1.熟记30°,45°,60°的三角函数值,能进行含有30°,45°,60°角的三角函数值的计算.
2.会解直角三角形,能借助计算器,由已知锐角求它的函数值,或由已知三角函数值求出相应的锐角.
3.能运用直角三角形的边角关系解决实际问题.
◎重点:锐角三角函数值的计算、解直角三角形在实际生活中的应用.
【体系构建】
　　请你完成下面的知识结构图.
【专题复习】
专题一：三角函数的计算
1.计算:sin 60°-cos 45°+.
变式演练　
计算:2sin245°-6cos 30°+3tan 45°+4sin 60°.
专题二：解直角三角形
2.如图,若AB=4,AC=10,∠ABC=60°,求B,C两点间的距离.
方法归纳交流　求三角形中角的度数或线段的长度时,可以作辅助线构造适当的 ,然后利用 的知识求出角度的大小或线段的长度.
变式演练　
如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,BC=14,AD=12,sin B=.
求:(1)线段DC的长;
(2)tan∠ACB的值.
专题三：解直角三角形的应用
3.视角问题:如图,线段AB,DC分别表示甲、乙两建筑物的高,AB⊥BC,DC⊥BC,从B点测得D点的仰角α为60°,从A点测得D点的仰角β为30°,已知甲建筑物的高AB=36米,求乙建筑物的高DC.
变式演练　
位于河南省登封市境内的嵩岳寺塔是中国现存最早的砖塔,反映了中外建筑文化交流融合创新的历程,在结构、造型等方面具有很大的价值,对后世砖塔建筑有着巨大影响.
清明假期,小红利用所学知识来测量该塔的高度,测角仪和塔底A在同一水平面,如图,她先在C处测得塔顶B的仰角为57°,然后沿直线AC向远离塔的方向前进20米到达D处,在D处测得塔顶B的仰角为40°.求嵩岳寺塔的高度.(结果精确到1 m,参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84,sin 57°≈0.84,cos 57°≈0.54,tan 57°≈1.54)
4.坡角问题:如图,斜坡AC的坡度(坡比)为1∶,AC=10米.坡顶有一旗杆BC,旗杆顶端B处与A处有一条彩带将A,B相连,且AB=14米.试求旗杆BC的高度.
　　变式演练　
球罐,可大幅度减少钢材的消耗.对于易燃、易爆、有毒、有害等特殊物质,球罐的防护性能更好.小刚爸爸的工厂有三个球罐,小刚阅读了古代数学家刘徽编撰的《重差》后,立马有了主意,他站在球罐最高处(点C),看到地面F处恰好被点E遮挡,而他的眼睛D与点C的距离为1.6米,用测倾器测得∠D为55°,他的同伴小强测得地面上的AF为25.28米.两人画出了如图所示的截面图,求AC的高度.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 55°≈0.82,cos 55°≈0.57,tan 55°≈1.43)
　　5.方向角问题:如图,海上有一灯塔P,在它周围3海里处有暗礁.一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行,行至A处测得P在它的北偏东60°的方向上,继续行驶20分钟后,到达B处,又测得灯塔P在它的北偏东45°方向.问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险
方法归纳交流　应用解直角三角形的知识解决实际问题时,要将实际问题中的条件转化为数学问题,找准 ,利用直角三角形中的 求出实际问题的解.
参考答案
【专题复习】
专题一
1.解:sin 60°-cos 45°+=×-×+2=2.5.
变式演练　
解:原式=2×2-6×+3×1+4×
=2×-3+3+2
=1-3+3+2
=4-.
专题二
2.解:如图,过点A作AD⊥BC于点D,
在Rt△ABD中,∵∠ABC=60°,∴∠BAD=30°.
∵AB=4,∴BD=2,∴AD=2.在Rt△ADC中,∵AC=10,
∴CD==2,∴BC=2+2.
方法归纳交流
直角三角形
解直角三角形
变式演练　
解:(1)∵AD是BC边上的高,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵sin B=,AD=12,
∴AB=15,
∴BD===9.
∵BC=14,
∴DC=BC-BD=14-9=5.
(2)由(1)可知,CD=5,AD=12,
∴tan∠ACB==.
专题三
3.解:(解法不唯一)如图,过点A作AE⊥CD于点E.根据题意,得∠DBC=α=60°,∠DAE=β=30°,设DE=x,则DC=x+36,在Rt△AED中,tan 30°=,∴AE=x=BC,在Rt△DCB中,tan 60°=,∴=,解得x=18,经检验,x=18是原分式方程的解,∴DC=54(米).
变式演练　
解:根据题意可知∠BCA=57°,CD=20米,∠BDA=40°,
∵BA⊥AD,
在Rt△ABC中,∵AB=AC·tan∠BCA,
∴AC=,
∴AD=AC+CD=(+20)米,
在Rt△ABD中,∵AB=AD·tan D,
∴AB=+20×tan 40°,
解得AB≈37(米).
答:嵩岳寺塔的高度约为37米.
4.解:如图,延长BC交AD于点E,则CE⊥AD.
在Rt△AEC中,AC=10,由坡比为1∶,可知∠CAE=30°,∴CE=5,AE=AC·cos 30°=5.在Rt△ABE中,BE==11,∴BC=BE-CE=6(米).
变式演练　
解:由题意得CD=1.6米,AF=25.28米,
在Rt△ADF中,∠DAF=90°,∠D=55°,
∴AD=≈≈17.7(米),
∴AC=AD-CD=17.7-1.6=16.1(米).
答:AC的高度约为16.1米.
5.解:如图,过点P作PC⊥AB于点C.
根据题意可知AB=9×=3(海里),∠PAB=90°-60°=30°,∠PBC=90°-45°=45°,∠PCB=90°.
在Rt△APC中,tan 30°=,∴AC=≈1.73PC.
在Rt△BPC中,∵∠PBC=45°,∴BC=PC.
∵AB=AC-BC,∴0.73PC=3,∴PC≈4.1>3,
∴客轮不改变方向继续前进无触礁的危险.
方法归纳交流
直角三角形　边角关系

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