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高一年级9月月考数学试卷
一、单选题
1．已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若直线的斜率为，则的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．在三棱锥中，若，，，则（ ）
A． B．1 C． D．0
4．已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（ ）.
A．9 B．10 C．11 D．12
5．已知，，则下列直线的方程不可能是的是（ ）
A．B．C．D．
6．已知 ，且，则（ ）
A．-5 B． C．4 D．
7．已知点，，，则平面的法向量是（ ）
A． B． C． D．
8．在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
二、多选题
9．若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（ ）
A． B． C． D．
10．若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（ ）
A． B．1 C． D．5
11．在正方体中，、分别为线段、的中点，则（ ）
A．与异面 B．平面
C． D．平面
三、填空题
12．如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2.
若圆锥的母线长为4，则圆锥的体积为 ；若
是底面圆的半径，且为线段的中点，则异面
直线与所成的角的余弦值为 ．
13．过点，平行于x轴的直线方程为 ．
14．正方体的边长为，点是的中点，点到直线的距离为 .
四、解答题
15．求分别满足下列条件的直线方程，结果写成斜截式.
(1)过点，斜率；
(2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍；
如图，在直三棱柱中，，
D是棱AC的中点，
(1)求C点到平面的距离.
(2)求直线与平面所成的角的正弦值.
17．已知直线与直线.
(1)当为何值时，？
(2)当为何值时，？
18．已知.
(1)求向量的坐标；
(2)若，求的值.
19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，为等边三角形，，，．
(1)求证：；
(2)若四棱锥的体积为，
求平面与平面的夹角正弦值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B B B D A B CD AD
题号 11
答案 AC
1．D
【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得：
．
故选：D
2．C
【详解】设直线的倾斜角为，因为直线的斜率是，所以，
又因为，所以，即直线的倾斜角为．
故选：C
3．B
【详解】因为，，，
所以.
故选：B
4．B
【详解】因为向量，，共面，所以存在实数，使得.
则可得.
由，可列出方程组.
由可得，将其代入中，得到.
去括号得，移项合并同类项得，解得.
将代入，可得.
将，代入，可得.
故选：B.
5．B
【详解】，
直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2，
故D正确，当时，, 故B不正确，当时，或，由图象知AC正确.
故选：B
6．D
【详解】因为 ，且，
所以，解得.
故选：D.
7．A
【详解】由已知得，．设，
则即令，则，，所以．
故选：A.
8．B
【详解】因为，
所以，即，
又点M是平面内一点，
所以，解得.
故选：B
9．CD
【详解】对于A项，易知，则A项中向量共面，不符合；
对于B项，易知，则B项中向量共面，不符合；
对于C项，易知不共面，能作为空间的一个基底，即C正确.
对于D项，设不能作为空间的一个基底，
则存在实数，使得，
由于是空间的一组基底，则满足，
故不存在使得，
故能作为空间的一个基底，D正确，
故选： CD
10．AD
【详解】由斜率的定义，直线的斜率，
因为，则，解得或，
代入验证或时，两点横坐标均不同，直线的斜率均存在，
故或均满足题意，
故选：AD.
11．AC
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为，则、、、、
、、，
对于A选项，、既不平行，也不相交，故与异面，A对；
对于B选项，，易知平面的一个法向量为，
则，故与平面不平行，B错；
对于C选项，，所以，，故，C对；
对于D选项，，所以，，所以，、不垂直，
故与平面不垂直，D错.
故选：AC.
12． /
【详解】由题意得圆锥的高长为，
所以其体积为；
由题意得平面，则，，
而，则两两相互垂直，
则可以点为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图的空间直角坐标系如图．
如图，，，，则，，，
则直线与的夹角的余弦值为．
故答案为：，.
13．
【详解】过点，平行于x轴的直线方程为.
故答案为：
14．/
【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设点到直线的距离为，则
.
故答案为：
15．略
16．(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知，两两垂直，
于是建立如图所示的空间直角坐标系,

则，，，，
∴，，.
设平面的一个法向量为，
即，令，则.
所以点C到平面的距离.
（2）设直线与平面所成的角为，
，
，
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
17．(1)
(2)
【详解】（1）设直线的斜率分别为，
则.当时，有，解得.
（2）当时，，即，
所以，所以.
18．(1)
(2)
【详解】（1）由，得.
（2）由（1）知，，
由，得
，
所以.
19．(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）如图所示，取的中点，连接，

因为，所以且，
所以四边形是平行四边形，则，
因为，所以，
又为等边三角形，所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，
所以．
（2）设四棱锥的高为，
由题设，得，则，
由题设知，所以底面，
因为底面，所以，
故可以点为坐标原点，直线为轴、为轴、为轴建立如图所示空间直角坐标系，

则，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
则，则，
令，则，所以；
设平面的法向量为，
则，则，
令，则，所以，
所以，
设平面与平面的夹角为，则，所以，
即平面与平面的夹角正弦值为．

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