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人教版八（上）数学第十四章 全等三角形 单元测试基础卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025八上·衡阳期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八上·期中） 如图，已知AC∥DF 且AC=DF，BD=AE，则判定△FDE≌△CAB的依据是 (　　)
A．AAS B．ASA C．SAS D．SSS
3．（2023七上·河口期末）如图，与交于点O，若，要用“SAS”证明，还需要的条件是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·来宾期中）如图，在中，，，平分交于，于，厘米，则的周长是（　　）厘米．
A． B．6 C． D．12
5．（2025八下·茂名期末）如图，射线OC平分∠AOB，点P在OC上，过点P作PD⊥OB于点D，若PD=3，则点P到OA的距离是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（2025七下·坪山期末）如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点A和B，在岸边标记目标点C、D，使AC=CD，并利用测角仪测得∠BAC=∠EDC=90°。此时，利用三角形全等的性质，测量DE长度即可得到河宽。要说明两个三角形全等最恰当的理由是（　　）
A．SSS B．ASA C．SSA D．SAS
7．（2025七下·南山期末）如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A，B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接最出A，B间的距离。为此，小明和小华两位同学提供了如下测量方案：
方案1 ①如图1，选定点O； ②连接AO，并延长到点C，使OC=OA，连接BO，并延长到点D，使OD=OB： ③连接DC，测量DC的长度即可。 方案2 ①如图2，选定点O： ②连接AO，BO，并分别延长到点F，E，使OF=OB，OE=OA： ③连接EF，测量EF的长度即可。
对于方案1和方案2，下列说法正确的是（　　）
A．1、2都不可行 B．1不可行、2可行
C．1可行、2不可行 D．1、2都可行
8．（2025八上·期末） 如图，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点F为BC上一点，连接AF，过点C，B分别作CD⊥AF于点D，BE⊥AF交AF的延长线于点 E，若CD=4，BE=1，则ED的长为（　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2025八上·嘉兴期末）如图，将沿折叠，的对应边恰好经过顶点，，设，，则下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024七下·浦东期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． 有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（2025七下·揭西期末）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，则∠CDE的度数为　 　.
12．（2025七下·光明期末） 如图，∠ABC=∠C=90°，AB=BE，AD⊥BE于点D，若BD=3，则CE=　 　.
13．（2025七下·源城期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 　 　 ．
14．（2025七下·深圳期末） 如图，在中，，，D为平面上一点，，若，则的面积为　 　.
15．（2025七下·杭州期末） 如图，的三条角平分线交于点，，若的周长为10，，则　 　．
三、解答题：本大题共8小题，共75分.
16．（2025七下·坪山期末）如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别为E、F，且D是BC的中点，已知DE=3，求DF的长度.
解： ∵BE⊥AE，CF⊥AE
∴∠CFD=∠E=90°
∴D为BC中点
∴ ▲
在△CDF和△BDE中
（　　）
∴△CDF≌△BDE（　　）
∴DF=DE=3（　　）
17．（2024八上·玉州期末）如图，已知：在和中，点A、E、F、C在同一直线上，，，.求证：.
18．（2024八上·上城期末）已知：如图，与相交于点，，，求证：．
19．（2025八上·诸暨期末）如图，已知，点在同一直线上．
（1）若，，求的度数；
（2）若，点是的中点，求的长．
20．（2025八上·期中）如图，在 中，AD为中线，过点B作 于点E，过点C作 交AD的延长线于点 F.
（1）求证：BE=CF；
（2）若 的面积为7， 的面积为2，求 的面积.
21．（2024八上·上城期末）如图，AD＝AE，BD＝CE．
（1）求证：∠B＝∠C；
（2）若∠A＝40°，∠BEC＝70°，求∠C的度数．
22．（2025八上·期中） 如图， A B∥C D ， AC = DC ，____，求证：
（1）请从①∠AED=∠BCD，②DE=BC，③DC-AE=AB 中选择一个适当的条件填入横线中，使命题成立.你的选择是　 　(只需填一个序号即可)；
（2）根据(1)中的选择给出证明.
23．（2025七下·盐田期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，，，点P为射线BC上一动点，连接AP，在直线AB的左上方作，且，连接CQ交射线AB于点M。
（1）如图1，当点P在线段BC上时，过点Q作于点H，则QH　 　AB，QM　 　CM；（填“=”、“>”或“<”）
（2）如图2，当点P在线段BC的延长线上时，线段QM与CM的上述数量关系还成立吗？如果成立，请给出证明，如果不成立，请写出你的理由；
（3）在（2）的条件下，若，求的值。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，
由三角形内角和定理得，，
∵两个三角形全等，
∴，
故答案为：C．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠2的度数，再根据全等三角形对应角相等可得答案.
2．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵BD=AE，
∴BD+BE=AE+EB，即DE=AB，
∵ AC∥DF，
∴ ∠D=∠A，
在△FDE 和△CAB中，
故答案为：C
【分析】根据边之间的关系可得DE=AB，再根据直线平行性质可得∠D=∠A，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：A、OB=OC，∠AOB=∠DOC，OA=OD，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出，故A正确；
B、AB=DC，OA=OD，∠AOB=∠DOC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故B错误；
C、∠A=∠D，OA=OD，∠AOB=∠DOC，符合全等三角形的判定定理ASA，不符合全等三角形的判定定理SAS，故C错误；
D、∠B=∠C，∠AOB=∠DOC，OA=OD，符合全等三角形的判定定理AAS，不符合全等三角形的判定定理SAS，故C错误；
故答案为：A.
【分析】SAS指的是“边角边”关系判定三角形全等，已知OA=OD和∠AOB=∠DOC，只需要找到组成该角的另一条相等就可以解答.
4．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵平分，，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，又，
∴的周长，
，
，
，
，
，
∵厘米，
∴的周长为厘米．
故答案为：B．
【分析】根据角平分线性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据三角形周长即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：
如图，过点 P作PE⊥AO 于点E，
∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB于点D， PD=3
∴PE=PD=3
故答案为：B.
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到点P到OA的距离是3，由此解答即可.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：在和中，，，（对顶角相等 ），
满足“两角及其夹边对应相等”，即 判定定理.
故答案为： .
【分析】识别两个三角形中相等的角和边，对照全等三角形判定定理（：两角及其夹边相等 ），确定最恰当的理由，关键是准确找出对应相等的角和边.
7．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：方案1：在△AOB与△COD中，
AO=OC，AOB=COD，OB= OD，
∴△AOB△COD(SAS)，
∴AB=CD.
方案2：在△AOB与△EOF中，
AO=EО，
AOB=EOF，
OB=OF
∴△AOB△EOF(SAS)，
∴AB=EF.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件发现方案1，方案2都可以利用SAS证明两个三角形全等，即两种方案都可行，由此即可解答.
8．【答案】B
【知识点】垂线的概念；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠DAC=90°，
∵CD⊥AF，BE⊥AF，
∴ ∠ADC= ∠BEA= 90°，
∴∠DAC+∠ACD = 90°，
∴ ∠ACD = ∠BAE，
在△ADC 和△BEA 中，
∴△ADC ≌ △BEA(AAS)，
∴AD=BE，CD=AE，
∵CD=4，BE=1，
∴AE=4，AD=1，
∴ED=AE-AD=3.
故答案为：B。
【分析】首先根据AAS证得△ADC ≌△BEA，从而得出AD=BE=1，CD=AE=4，进而得出ED=AE-AD=4-1=3.
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由翻折得，，
∴，
而，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据全等三角形的对应角相等得到，，然后利用外角得到，再根据三角形的内角和定理解题即可．
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
∵、分别平分、，
∴，，
∴，
∴，故结论①正确；
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，故结论②正确；
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵是的外角，
∴，
∴，故结论③错误；
又∵，，
∴，
即，故结论④正确，
∴正确的个数是个．
故选：C．
【分析】
①由直角三角形两锐角互余知，由角平分线的概念得，由内角和得；
②由周角的概念可得，结合角平分线的概念可利用ASA证明；
③由于与互余、与互余，而等于的一半，即；
④由②知，又，则由同角的余角相等可得，则可利用ASA证明，由全等的性质可得，则等量代换得．
11．【答案】55°
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°
∴∠ACB=180°-50°-60°=70°
∵CD平分∠ACB
∴∠DCB=∠ACB=35°
∵DE⊥BC与E
∴∠CED=90°
在△CED中∠CDE=180°-90°-35°=55°
故答案为：55°.
【分析】通过三角形角的关系推出∠ACB，通过角平分线的性质和垂线性质，分别得出∠DCB和∠CED的大小，通过三角形的内角和性质求∠CDE即可。
12．【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵∠ABC=∠C=90°，AD⊥BE
∴∠ADB=∠C=90°
∴∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠EBC=90°
∴∠A=∠EBC
在△ADB和△BCE中
∴△ADB≌△BCE
∴CE=BD=3
故答案为：3
【分析】根据角之间的关系可得∠A=∠EBC，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
13．【答案】15
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由尺规作图可知：AP平分 ∠ BAC，
∵ ∠C＝90°，
∴点D到AB的距离=CD=3，
∴ △ABD的面积 =.
故答案为：15.
【分析】首先根据尺规作图得出AP平分 ∠ BAC，再根据角平分线的性质得出点D到AB的距离=CD=3，进而根据三角形面积计算公式即可得出△ABD的面积。
14．【答案】18
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点B作BE⊥CD于点E，如图所示：
∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵AD⊥CD，BE⊥CD，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在△ACD和△CBE中，，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE＝6，
∴△BCD的面积为：CD BE6×6＝18．
故答案为：18
【分析】过点B作BE⊥CD于点E，先根据题意进行角的运算和等量代换得到∠CAD＝∠BCE，进而根据三角形全等的判定与性质证明△ACD≌△CBE（AAS）得到CD＝BE＝6，从而根据三角形的面积即可求解。
15．【答案】20
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解： 过点O作OE⊥AB，OF⊥BC
∵AO、BO、CO是△ABC的三条角平分线，且OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC
∴OD=OE=OF=4（角平分线性质定理）
∵
且的周长为10
∴
故答案为：20.
【分析】利用角平分线的性质定理分别作辅助线OE、OF使得OE⊥AB，OF⊥BC，则OD=OE=OF，而三条角平分线将三角形ABC分成了三部分：△AOE、△BOC、△AOC，再结合三角形面积公式与三角形ABC的周长即可求得三角形ABC的面积。
16．【答案】解： ∵BE⊥AE，CF⊥AE
∴∠CFD=∠E=90°
∴D为BC中点
∴CD=DB
在△CDF和△BDE中
（对顶角相等）
∴△CDF≌△BDE（AAS）
∴DF=DE=3（全等三角形的对应边相等）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；对顶角及其性质
【解析】【分析】通过垂直得直角，中点得边相等，结合对顶角相等，用AAS证三角形全等，再利用全等性质得线段相等，关键是全等三角形的判定与性质的应用.
17．【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵在和中
∴
∴．
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】先利用平行线的性质可得，再利用线段的和差及等量代换可得，再利用“AAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得．
18．【答案】证明：，，
，
在和中，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】由等式的性质推出∠ABC=∠DCB，从而由ASA判断出△ABC≌△DCB，由全等三角形的对应边相等得AB=DC.
19．【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的对应角相等得到，再根据三角形内角和定理解题即可；
（2）利用全等三角形的对应边相等得到，然后根据中点的定义得到，再根据解题．
（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴．
20．【答案】（1）证明：∵AD 为△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵ BE⊥AD，CF⊥AF，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在△BED和△CFD中，
∴△BED≌△CFD(AAS)，
∴BE=CF；
（2）解：由(1)可得，△BED≌△CFD，
∵△ABE的面积为7，△BDE 的面积为2，
∵AD为△ABC的中线，
∴△ACF的面积为11.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】（1）根据三角形中线可得BD=CD，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得 ，再根据三角形中线性质可得，再根据三角形面积之间的关系即可求出答案.
21．【答案】（1）证明：∵ AD＝AE，BD＝CE ，
∴AD+BD=AE+CE，即AB=AC，
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠B=∠C.
（2）解：∵∠BEC是△ABE的外角，
∴∠A+∠B=∠BEC，
∵ ∠A＝40°，∠BEC＝70°，
∴∠B=30°.
∵∠B=∠C，
∴∠C的度数为30°．
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用SAS证明△ABE≌△ACD，即可得到∠B=∠C；
（2）利用三角形外角性质可得∠B的度数，从而可得∠C的度数.
22．【答案】（1）①或③(任填一个序号即可)
（2）解：选择①，
证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠ECD，
∵∠AED 是△CDE的一个外角，
∴∠AED=∠D+∠ECD，
∵∠BCD=∠ACB+∠ECD，∠AED=∠BCD，
∴∠D=∠ACB，
在△ABC 和△CED中，
∴△ABC≌△CED(ASA).
选择③，
证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠ECD，
∵AC=DC，DC-AE=AB，
∴AC-AE=AB，即CE=AB，
在△ABC 和△CED中，
∴△ABC≌△CED(SAS).
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】选择①：根据直线平行性质可得∠A=∠ECD，再根据三角形外角性质可得∠AED=∠D+∠ECD，再根据角之间的关系可得∠D=∠ACB，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
选择③：根据直线平行性质可得∠A=∠ECD，再根据边之间的关系可得CE=AB，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
23．【答案】（1）=；=
（2）解：成立，理由如下
过点Q作AH⊥AB，交AB的延长线于点H
∴∠H=∠ABP=90°
∴∠HQA+∠HAQ=90°
∵AQ⊥AP，AQ=AP
∴∠QAP=90°
∴∠QAH+∠BAP=90°
在Rt△ABP中，∠BAP+∠P=90°
∴∠QAH=∠P
在△AQH和△PAB中
∴△AQH≌△PAB(AAS)
∴QH=AB
∵AB=BC
∴QH=BC
在△QHM和△CBM中
∴△QHM≌△CBM(AAS)
∴QM=CM
（3）解：设BM=a，则AB=3BM=3a
∴BC=3a
∴AM=AB+BM=4a
∵△QHM≌△CBM
∴HM=BM=a
∴AH=AM+HM=5a
∵△AQH≌△PAB
∴AH=PB=5a
∴CP=PD-BC=2a
∴
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）QH=AB，QM=CM，理由如下
∵∠ABC=90°，QH⊥AB于点H
∴∠AHQ=∠QHM=∠PBA=90°
∴∠HQA+∠HAQ=90°
∵AQ⊥AP，AQ=AP
∴∠QAP=90°
∴∠QAH+∠BAP=90°
∴∠HQA=∠BAP
在△AQH和△APB中
∴△AQH≌△APB(AAS)
∴QH=AB
∵BA=BC
∴QH=BC
在△QMH和△CMB中
∴△QMH≌△CMB(AAS)
∴QM=CM
故答案为：=；=
【分析】（1）根据角之间的关系可得∠HQA=∠BAP，再根据全等三角形判定定理可得△AQH≌△APB(AAS)，则QH=AB，根据边之间的关系可得QH=BC，再根据全等三角形判定定理可得△QMH≌△CMB(AAS)，则QM=CM，即可求出答案.
（2）过点Q作AH⊥AB，交AB的延长线于点H，根据角之间的关系可得∠QAH=∠P，再根据全等三角形判定定理可得△AQH≌△PAB(AAS)，则QH=AB，根据边之间的关系可得QH=BC，再根据全等三角形判定定理可得△QHM≌△CBM(AAS)，则QM=CM，即可求出答案.
（3）设BM=a，则AB=3BM=3a，根据边之间的关系可得AM=AB+BM=4a，根据全等三角形性质可得HM=BM=a，则AH=AM+HM=5a，再根据全等三角形性质可得AH=PB=5a，则CP=PD-BC=2a，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1人教版八（上）数学第十四章 全等三角形 单元测试基础卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025八上·衡阳期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，
由三角形内角和定理得，，
∵两个三角形全等，
∴，
故答案为：C．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠2的度数，再根据全等三角形对应角相等可得答案.
2．（2025八上·期中） 如图，已知AC∥DF 且AC=DF，BD=AE，则判定△FDE≌△CAB的依据是 (　　)
A．AAS B．ASA C．SAS D．SSS
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵BD=AE，
∴BD+BE=AE+EB，即DE=AB，
∵ AC∥DF，
∴ ∠D=∠A，
在△FDE 和△CAB中，
故答案为：C
【分析】根据边之间的关系可得DE=AB，再根据直线平行性质可得∠D=∠A，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
3．（2023七上·河口期末）如图，与交于点O，若，要用“SAS”证明，还需要的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：A、OB=OC，∠AOB=∠DOC，OA=OD，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出，故A正确；
B、AB=DC，OA=OD，∠AOB=∠DOC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故B错误；
C、∠A=∠D，OA=OD，∠AOB=∠DOC，符合全等三角形的判定定理ASA，不符合全等三角形的判定定理SAS，故C错误；
D、∠B=∠C，∠AOB=∠DOC，OA=OD，符合全等三角形的判定定理AAS，不符合全等三角形的判定定理SAS，故C错误；
故答案为：A.
【分析】SAS指的是“边角边”关系判定三角形全等，已知OA=OD和∠AOB=∠DOC，只需要找到组成该角的另一条相等就可以解答.
4．（2025八下·来宾期中）如图，在中，，，平分交于，于，厘米，则的周长是（　　）厘米．
A． B．6 C． D．12
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵平分，，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，又，
∴的周长，
，
，
，
，
，
∵厘米，
∴的周长为厘米．
故答案为：B．
【分析】根据角平分线性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据三角形周长即可求出答案.
5．（2025八下·茂名期末）如图，射线OC平分∠AOB，点P在OC上，过点P作PD⊥OB于点D，若PD=3，则点P到OA的距离是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：
如图，过点 P作PE⊥AO 于点E，
∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB于点D， PD=3
∴PE=PD=3
故答案为：B.
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到点P到OA的距离是3，由此解答即可.
6．（2025七下·坪山期末）如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点A和B，在岸边标记目标点C、D，使AC=CD，并利用测角仪测得∠BAC=∠EDC=90°。此时，利用三角形全等的性质，测量DE长度即可得到河宽。要说明两个三角形全等最恰当的理由是（　　）
A．SSS B．ASA C．SSA D．SAS
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：在和中，，，（对顶角相等 ），
满足“两角及其夹边对应相等”，即 判定定理.
故答案为： .
【分析】识别两个三角形中相等的角和边，对照全等三角形判定定理（：两角及其夹边相等 ），确定最恰当的理由，关键是准确找出对应相等的角和边.
7．（2025七下·南山期末）如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A，B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接最出A，B间的距离。为此，小明和小华两位同学提供了如下测量方案：
方案1 ①如图1，选定点O； ②连接AO，并延长到点C，使OC=OA，连接BO，并延长到点D，使OD=OB： ③连接DC，测量DC的长度即可。 方案2 ①如图2，选定点O： ②连接AO，BO，并分别延长到点F，E，使OF=OB，OE=OA： ③连接EF，测量EF的长度即可。
对于方案1和方案2，下列说法正确的是（　　）
A．1、2都不可行 B．1不可行、2可行
C．1可行、2不可行 D．1、2都可行
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：方案1：在△AOB与△COD中，
AO=OC，AOB=COD，OB= OD，
∴△AOB△COD(SAS)，
∴AB=CD.
方案2：在△AOB与△EOF中，
AO=EО，
AOB=EOF，
OB=OF
∴△AOB△EOF(SAS)，
∴AB=EF.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件发现方案1，方案2都可以利用SAS证明两个三角形全等，即两种方案都可行，由此即可解答.
8．（2025八上·期末） 如图，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点F为BC上一点，连接AF，过点C，B分别作CD⊥AF于点D，BE⊥AF交AF的延长线于点 E，若CD=4，BE=1，则ED的长为（　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】垂线的概念；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠DAC=90°，
∵CD⊥AF，BE⊥AF，
∴ ∠ADC= ∠BEA= 90°，
∴∠DAC+∠ACD = 90°，
∴ ∠ACD = ∠BAE，
在△ADC 和△BEA 中，
∴△ADC ≌ △BEA(AAS)，
∴AD=BE，CD=AE，
∵CD=4，BE=1，
∴AE=4，AD=1，
∴ED=AE-AD=3.
故答案为：B。
【分析】首先根据AAS证得△ADC ≌△BEA，从而得出AD=BE=1，CD=AE=4，进而得出ED=AE-AD=4-1=3.
9．（2025八上·嘉兴期末）如图，将沿折叠，的对应边恰好经过顶点，，设，，则下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由翻折得，，
∴，
而，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据全等三角形的对应角相等得到，，然后利用外角得到，再根据三角形的内角和定理解题即可．
10．（2024七下·浦东期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． 有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
∵、分别平分、，
∴，，
∴，
∴，故结论①正确；
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，故结论②正确；
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵是的外角，
∴，
∴，故结论③错误；
又∵，，
∴，
即，故结论④正确，
∴正确的个数是个．
故选：C．
【分析】
①由直角三角形两锐角互余知，由角平分线的概念得，由内角和得；
②由周角的概念可得，结合角平分线的概念可利用ASA证明；
③由于与互余、与互余，而等于的一半，即；
④由②知，又，则由同角的余角相等可得，则可利用ASA证明，由全等的性质可得，则等量代换得．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（2025七下·揭西期末）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，则∠CDE的度数为　 　.
【答案】55°
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°
∴∠ACB=180°-50°-60°=70°
∵CD平分∠ACB
∴∠DCB=∠ACB=35°
∵DE⊥BC与E
∴∠CED=90°
在△CED中∠CDE=180°-90°-35°=55°
故答案为：55°.
【分析】通过三角形角的关系推出∠ACB，通过角平分线的性质和垂线性质，分别得出∠DCB和∠CED的大小，通过三角形的内角和性质求∠CDE即可。
12．（2025七下·光明期末） 如图，∠ABC=∠C=90°，AB=BE，AD⊥BE于点D，若BD=3，则CE=　 　.
【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵∠ABC=∠C=90°，AD⊥BE
∴∠ADB=∠C=90°
∴∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠EBC=90°
∴∠A=∠EBC
在△ADB和△BCE中
∴△ADB≌△BCE
∴CE=BD=3
故答案为：3
【分析】根据角之间的关系可得∠A=∠EBC，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
13．（2025七下·源城期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 　 　 ．
【答案】15
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由尺规作图可知：AP平分 ∠ BAC，
∵ ∠C＝90°，
∴点D到AB的距离=CD=3，
∴ △ABD的面积 =.
故答案为：15.
【分析】首先根据尺规作图得出AP平分 ∠ BAC，再根据角平分线的性质得出点D到AB的距离=CD=3，进而根据三角形面积计算公式即可得出△ABD的面积。
14．（2025七下·深圳期末） 如图，在中，，，D为平面上一点，，若，则的面积为　 　.
【答案】18
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点B作BE⊥CD于点E，如图所示：
∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵AD⊥CD，BE⊥CD，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在△ACD和△CBE中，，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE＝6，
∴△BCD的面积为：CD BE6×6＝18．
故答案为：18
【分析】过点B作BE⊥CD于点E，先根据题意进行角的运算和等量代换得到∠CAD＝∠BCE，进而根据三角形全等的判定与性质证明△ACD≌△CBE（AAS）得到CD＝BE＝6，从而根据三角形的面积即可求解。
15．（2025七下·杭州期末） 如图，的三条角平分线交于点，，若的周长为10，，则　 　．
【答案】20
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解： 过点O作OE⊥AB，OF⊥BC
∵AO、BO、CO是△ABC的三条角平分线，且OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC
∴OD=OE=OF=4（角平分线性质定理）
∵
且的周长为10
∴
故答案为：20.
【分析】利用角平分线的性质定理分别作辅助线OE、OF使得OE⊥AB，OF⊥BC，则OD=OE=OF，而三条角平分线将三角形ABC分成了三部分：△AOE、△BOC、△AOC，再结合三角形面积公式与三角形ABC的周长即可求得三角形ABC的面积。
三、解答题：本大题共8小题，共75分.
16．（2025七下·坪山期末）如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别为E、F，且D是BC的中点，已知DE=3，求DF的长度.
解： ∵BE⊥AE，CF⊥AE
∴∠CFD=∠E=90°
∴D为BC中点
∴ ▲
在△CDF和△BDE中
（　　）
∴△CDF≌△BDE（　　）
∴DF=DE=3（　　）
【答案】解： ∵BE⊥AE，CF⊥AE
∴∠CFD=∠E=90°
∴D为BC中点
∴CD=DB
在△CDF和△BDE中
（对顶角相等）
∴△CDF≌△BDE（AAS）
∴DF=DE=3（全等三角形的对应边相等）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；对顶角及其性质
【解析】【分析】通过垂直得直角，中点得边相等，结合对顶角相等，用AAS证三角形全等，再利用全等性质得线段相等，关键是全等三角形的判定与性质的应用.
17．（2024八上·玉州期末）如图，已知：在和中，点A、E、F、C在同一直线上，，，.求证：.
【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵在和中
∴
∴．
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】先利用平行线的性质可得，再利用线段的和差及等量代换可得，再利用“AAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得．
18．（2024八上·上城期末）已知：如图，与相交于点，，，求证：．
【答案】证明：，，
，
在和中，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】由等式的性质推出∠ABC=∠DCB，从而由ASA判断出△ABC≌△DCB，由全等三角形的对应边相等得AB=DC.
19．（2025八上·诸暨期末）如图，已知，点在同一直线上．
（1）若，，求的度数；
（2）若，点是的中点，求的长．
【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的对应角相等得到，再根据三角形内角和定理解题即可；
（2）利用全等三角形的对应边相等得到，然后根据中点的定义得到，再根据解题．
（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴．
20．（2025八上·期中）如图，在 中，AD为中线，过点B作 于点E，过点C作 交AD的延长线于点 F.
（1）求证：BE=CF；
（2）若 的面积为7， 的面积为2，求 的面积.
【答案】（1）证明：∵AD 为△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵ BE⊥AD，CF⊥AF，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在△BED和△CFD中，
∴△BED≌△CFD(AAS)，
∴BE=CF；
（2）解：由(1)可得，△BED≌△CFD，
∵△ABE的面积为7，△BDE 的面积为2，
∵AD为△ABC的中线，
∴△ACF的面积为11.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】（1）根据三角形中线可得BD=CD，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得 ，再根据三角形中线性质可得，再根据三角形面积之间的关系即可求出答案.
21．（2024八上·上城期末）如图，AD＝AE，BD＝CE．
（1）求证：∠B＝∠C；
（2）若∠A＝40°，∠BEC＝70°，求∠C的度数．
【答案】（1）证明：∵ AD＝AE，BD＝CE ，
∴AD+BD=AE+CE，即AB=AC，
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠B=∠C.
（2）解：∵∠BEC是△ABE的外角，
∴∠A+∠B=∠BEC，
∵ ∠A＝40°，∠BEC＝70°，
∴∠B=30°.
∵∠B=∠C，
∴∠C的度数为30°．
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用SAS证明△ABE≌△ACD，即可得到∠B=∠C；
（2）利用三角形外角性质可得∠B的度数，从而可得∠C的度数.
22．（2025八上·期中） 如图， A B∥C D ， AC = DC ，____，求证：
（1）请从①∠AED=∠BCD，②DE=BC，③DC-AE=AB 中选择一个适当的条件填入横线中，使命题成立.你的选择是　 　(只需填一个序号即可)；
（2）根据(1)中的选择给出证明.
【答案】（1）①或③(任填一个序号即可)
（2）解：选择①，
证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠ECD，
∵∠AED 是△CDE的一个外角，
∴∠AED=∠D+∠ECD，
∵∠BCD=∠ACB+∠ECD，∠AED=∠BCD，
∴∠D=∠ACB，
在△ABC 和△CED中，
∴△ABC≌△CED(ASA).
选择③，
证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠ECD，
∵AC=DC，DC-AE=AB，
∴AC-AE=AB，即CE=AB，
在△ABC 和△CED中，
∴△ABC≌△CED(SAS).
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】选择①：根据直线平行性质可得∠A=∠ECD，再根据三角形外角性质可得∠AED=∠D+∠ECD，再根据角之间的关系可得∠D=∠ACB，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
选择③：根据直线平行性质可得∠A=∠ECD，再根据边之间的关系可得CE=AB，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
23．（2025七下·盐田期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，，，点P为射线BC上一动点，连接AP，在直线AB的左上方作，且，连接CQ交射线AB于点M。
（1）如图1，当点P在线段BC上时，过点Q作于点H，则QH　 　AB，QM　 　CM；（填“=”、“>”或“<”）
（2）如图2，当点P在线段BC的延长线上时，线段QM与CM的上述数量关系还成立吗？如果成立，请给出证明，如果不成立，请写出你的理由；
（3）在（2）的条件下，若，求的值。
【答案】（1）=；=
（2）解：成立，理由如下
过点Q作AH⊥AB，交AB的延长线于点H
∴∠H=∠ABP=90°
∴∠HQA+∠HAQ=90°
∵AQ⊥AP，AQ=AP
∴∠QAP=90°
∴∠QAH+∠BAP=90°
在Rt△ABP中，∠BAP+∠P=90°
∴∠QAH=∠P
在△AQH和△PAB中
∴△AQH≌△PAB(AAS)
∴QH=AB
∵AB=BC
∴QH=BC
在△QHM和△CBM中
∴△QHM≌△CBM(AAS)
∴QM=CM
（3）解：设BM=a，则AB=3BM=3a
∴BC=3a
∴AM=AB+BM=4a
∵△QHM≌△CBM
∴HM=BM=a
∴AH=AM+HM=5a
∵△AQH≌△PAB
∴AH=PB=5a
∴CP=PD-BC=2a
∴
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）QH=AB，QM=CM，理由如下
∵∠ABC=90°，QH⊥AB于点H
∴∠AHQ=∠QHM=∠PBA=90°
∴∠HQA+∠HAQ=90°
∵AQ⊥AP，AQ=AP
∴∠QAP=90°
∴∠QAH+∠BAP=90°
∴∠HQA=∠BAP
在△AQH和△APB中
∴△AQH≌△APB(AAS)
∴QH=AB
∵BA=BC
∴QH=BC
在△QMH和△CMB中
∴△QMH≌△CMB(AAS)
∴QM=CM
故答案为：=；=
【分析】（1）根据角之间的关系可得∠HQA=∠BAP，再根据全等三角形判定定理可得△AQH≌△APB(AAS)，则QH=AB，根据边之间的关系可得QH=BC，再根据全等三角形判定定理可得△QMH≌△CMB(AAS)，则QM=CM，即可求出答案.
（2）过点Q作AH⊥AB，交AB的延长线于点H，根据角之间的关系可得∠QAH=∠P，再根据全等三角形判定定理可得△AQH≌△PAB(AAS)，则QH=AB，根据边之间的关系可得QH=BC，再根据全等三角形判定定理可得△QHM≌△CBM(AAS)，则QM=CM，即可求出答案.
（3）设BM=a，则AB=3BM=3a，根据边之间的关系可得AM=AB+BM=4a，根据全等三角形性质可得HM=BM=a，则AH=AM+HM=5a，再根据全等三角形性质可得AH=PB=5a，则CP=PD-BC=2a，再根据边之间的关系即可求出答案.
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