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1.4 解直角三角形
素养目标
1.知道要确定一个直角三角形至少需要除直角外的两个元素,其中一个元素是边长,另一个元素可以是锐角,也可以是边长.
2.在实际问题中,利用三角函数知识和直角三角形中已知元素,求其他的元素.
◎重点::解直角三角形.
【预习导学】
知识点一：已知直角三角形的两边求解直角三角形
阅读教材本课时“想一想”之前的内容,回答下列问题.
1.由直角三角形中除直角外的两个已知元素,求出所有未知元素的过程,叫作解直角三角形.
2.当已知直角三角形的两条边时,解直角三角形常见类型及解法如下表.(已知Rt△ABC,∠C=90°)
已知条件 解法
两条边 两条直角边a和b c=　　　　　　　　,由tan A=　　　　,求∠A,∠B=　　　　
直角边a和斜边c b=　　　　　　　　,由sin A=　　　　,求∠A,∠B=　　　　
知识点二：已知直角三角形的一边一角(直角除外)求解直角三角形
阅读教材本课时“想一想”之后的内容,思考下列问题.
当已知直角三角形的一条边和一个角时,解直角三角形常见类型及解法如下表.(已知Rt△ABC,∠C=90°)
已知条件 解法
一条 边和 一个 锐角 斜边c和锐角∠A ∠B=　　　　,a=　　　　,b=　　　　
直角边a和锐角 ∠A ∠B=　　　　,b=　　　　,c=　　　　
　　归纳总结　从以上可发现:求解直角三角形,除已知直角外,至少需要　　　　个条件,其中至少有一个条件是　　　　,另一个条件可以是一条边,也可以是一个锐角.
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=,则BC的长是(　　)
A.2　　　 B.3　　　 C.4　　　 D.8
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是BC边上的中线,BD=4,AD=2,则tan∠CAD的值是 (　　)
A.2 B. C. D.
【合作探究】
任务驱动一：在△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=4,欲求∠A的度数,最适宜的做法是 (　　)
A.计算tan A的值求出
B.计算sin A的值求出
C.计算cos A的值求出
D.先根据sin B求出∠B,再利用90°-∠B求出
变式训练　在Rt△ABC中,∠C=90°.若AB=2,BC=,则tan A的值为 (　　)
A. B. C. D.2-
任务驱动二：在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,AB=7,则BC的长为 (　　)
A.7sin 35° B.
C.7cos 35° D.7tan 35°
任务驱动三：根据下列条件解直角三角形,其中∠C=90°.
(1)Rt△ABC中,∠A=30°,c=6;
(2)Rt△ABC中,a=24,c=24.
　　　　
　　　　
方法归纳交流　解直角三角形时要尽量利用原始数据,以防止“累积误差”.一般地,“有弦(斜边)用弦(正弦、余弦),无弦用切(正切),宁乘毋除,取原避中”是解直角三角形的原则,必要时,画图帮助分析.
任务驱动四：如图,∠ACB=90°,AB=13,AC=12,∠BCM=∠BAC,求sin∠BAC和点B到直线MC的距离.
任务驱动五：如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,∠A的平分线AD=,求∠B的度数及边BC、AB的长.
　一副直角三角板按如图所示的方式放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长.
参考答案
【预习导学】
知识点一
2.　　90°-∠A　　　90°-∠A
知识点二
90°-∠A　c·sin A　c·cos A　90°-∠A　
　两　边
对点自测
1.A　2.A
【合作探究】
任务驱动一
C
变式训练　C
任务驱动二
C
任务驱动三
解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,c=6,
∴sin 30°==,∴a=3,∴b=3.
又∵∠A+∠B=90°,∴∠B=60°.
(2)∵a=24,c=24,根据勾股定理得b=24,
∴∠A=∠B=45°.
任务驱动四
解:如图,在Rt△ABC中,BC===5,
sin∠BAC==,
作BE⊥MC,垂足是E,
BE=BC·sin∠BCE,
∴BE=5×=.
任务驱动五
解:在Rt△ACD中,∵cos∠CAD===,∠CAD为锐角,
∴∠CAD=30°,∠BAD=∠CAD=30°,即∠CAB=60°,∴∠B=90°-∠CAB=30°.
∵sin B=,∴AB===16.
又∵cos B=,∴BC=AB·cos B=16·=8.
素养小测
解:如图,过点B作BM⊥FD于点M,
在△ACB中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=10,
∴∠ABC=30°,BC=AC×tan 60°=10.
∵AB∥CF,
∴BM=BC×sin 30°=10×=5,CM=BC×cos 30°=15.
在△EFD中,∠F=90°,∠E=45°,
∴∠EDF=45°,
∴MD=BM=5,
∴CD=CM-MD=15-5.

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