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1.5 三角函数的应用
素养目标
1.会把实际问题转化为数学问题,能够借助于计算器进行有关三角函数的计算,并能对结果的意义进行说明.
2.知道三角函数在解决问题过程中的作用,增强数学应用意识和解决问题的能力.
◎重点::三角函数在航海、测量、改造工程方面的应用.
【预习导学】
知识点一：利用方位角求距离——航海问题
阅读教材本课时“想一想”前面的内容,根据问题要求,作出解答.
请你根据题意画出船与小岛的方位关系,并给予说明.(并在图中标出已知条件)
　　　　
知识点二：仰角与俯角问题
请你阅读教材本课时“想一想”,并回答下列相关问题.
什么是仰角 什么是俯角 在图1-14中,30°的仰角、60°的仰角分别指哪两个角
　　　　
1.如图,一艘海轮位于灯塔P的东北方向,距离灯塔40海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处,则海轮行驶AB的路程为 (　　)
A.(40+40)海里 B.80海里
C.(40+20)海里 D.80海里
　　2.如图,测得一商场自动扶梯的长AB为12米,自动扶梯与地面所成的角为α,则该自动扶梯到达的高度BC为 (　　)
A.12tan α米 B.12sin α米
C.12cos α米 D. 米
【合作探究】
任务驱动一：如图,一条船上午8点在A处望见西南方向有一座灯塔B,此时测得船和灯塔相距36海里,船以每小时20海里的速度向南偏西24°的方向航行到C处,此时望见灯塔B在船的正北方向.(参考数据sin 24°≈0.4,cos 24°≈0.9)
(1)求几点钟船到达C处.
(2)当船到达C处时,求船和灯塔的距离.
任务驱动二：如图,某幢大楼顶部有广告牌CD,张老师身高MA为1.60米,他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°;接着他向大楼前进14米,站在点B处,测得广告牌顶端点C的仰角为45°.(取≈1.732,计算结果保留一位小数)
(1)求这幢大楼的高DH.
(2)求这块广告牌CD的高度.
　　　　
　　　　
　　方法归纳总结　利用直角三角形的边角关系解决实际生活问题的一般步骤:
①解析题意,根据已知条件画出它的平面或截面示意图;
②作辅助线构成直角三角形;
③根据已知条件利用直角三角形的边角关系求解未知元素;
④近似计算要按照题目中已知数据的精确度进行,结果按题目要求取近似值,注明单位.
任务驱动三：如图,兰兰站在河岸上的G点,看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来,此时,测得小船C的俯角是∠FDC=30°,若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米,BG=1米,BG平行于AC所在的直线,迎水坡的坡度i=4∶3,坡长AB=10米,求小船C到岸边的距离CA的长.(参考数据:≈1.73,结果精确到0.1 m)
　
参考答案
【预习导学】
知识点一
首先我们可将小岛A确定,货轮B在小岛A的南偏西55°的B处,C在B的正东方,且在A南偏东25°处,示意图如图所示.
知识点二
当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角.从高处观测低处时,视线与水平所夹的锐角称为俯角.30°的仰角指∠DAC,60°的仰角指∠DBC.
对点自测
1.A　2.B
【合作探究】
任务驱动一
解:(1)如图,延长CB与AD交于点E,∴∠AEB=90°.
∵∠BAE=45°,AB=36,
∴BE=AE=36.
根据题意得∠C=24°,
sin 24°=,∴AC≈90,90÷20=4.5,所以12点30分到达C处.
(2)在直角三角形ACE中,cos 24°=,
即cos 24°=,BC=45.
所以船到C处时,船和灯塔的距离是45海里.
任务驱动二
解:(1)在Rt△DME中,ME=AH=45米;
由tan 30°=,得DE=45×≈15×1.732=25.98米;
又因为EH=MA=1.6米,
因而大楼DH=DE+EH=25.98+1.6=27.58≈27.6米.
答:楼高DH为27.6米.
(2)在Rt△CNE中,NE=45-14=31米,
由tan 45°=,得CE=NE=31米.
因而广告牌CD=CE-DE=31-25.98≈5.0米.
答:广告牌CD的高度为5.0米.
任务驱动三
解:如图,过点B作BE⊥AC于点E,延长DG交CA于点H,得Rt△ABE和矩形
BEHG.i==,AB=10(米),
∴BE=8(米),AE=6(米).
∵DG=1.5(米),BG=1(米),
∴DH=DG+GH=1.5+8=9.5(米),
AH=AE+EH=6+1=7(米).
在Rt△CDH中,
∵∠C=∠FDC=30°,DH=9.5(米),tan 30°=,
∴CH=(米).
又∵CH=CA+7,
即=CA+7,
∴CA≈9.435≈9.4(米).
答:CA的长约为9.4米.

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