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高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
第二章 直线和圆的方程 检测试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.（2025江西多校联考）下列直线中，倾斜角最小的是（　　）
A. B.
C. D.
2.若直线和直线互相垂直，则实数的值为（　　）
A. -3 B. C. 1或3 D. -1或3
3.（2022北京卷·3）若直线是圆的一条对称轴，则（　　）
A. B. C. 1 D. -1
4.（2024北京卷·3）圆的圆心到直线的距离为（　　）
A. B. 2 C. 3 D.
5.(2025河南新乡段考)若圆与圆相切，则（　　）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 9或11
6.（2025山西太原联考）已知圆的圆心是直线与直线的交点，直线与圆相交于，两点，且，则圆的方程为（　　）
A. B.
C. D.
7.（2025河南郑州名校联考）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，点满足，过点总可以向以点为圆心，为半径的圆作两条切线，则半径的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，过轴上的点分别向圆和圆引切线，记切线长分别为，，则的最小值为（　　）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得总分分，有选错得0分）
9.(2025吉林长春外国语学校月考)已知直线过，两点，那么直线的倾斜角有可能是（　　）
A. B. C. D.
10.（2025福建福州福九联盟联考）已知圆和圆，则下列说法正确的是（　　）
A. 若两圆相交，则
B. 直线可能是两圆的公切线
C. 两圆公共弦长的最大值为2
D. 两圆公共弦所在的直线方程可以是
11.(2025上海浦东期中)已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（　　）
A. 若点在圆上，则直线与圆相切
B. 若点在圆外，则直线与圆相离
C. 若点在直线上，则直线与圆相切
D. 若点在圆内，则直线与圆相离
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.(2024江苏连云港高级中学期中)已知直线过点，若原点到直线的距离为2，则直线的方程为________.
13.（2025北师大实验中学期中）已知直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为，则直线的一般式方程为________.
14.（2023新课标II卷·15）已知直线与交于，两点，写出满足“的面积为”的的一个值：________.
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.(13分)（2025江西多校联考）已知的顶点，，点在轴上。
(1)已知直线过点且在两坐标轴上的截距之和为6，求直线的一般式方程；
(2)若点到直线的距离为，求点的坐标。
16.(15分)(2025四川遂宁段考)圆内有一点，弦所在的直线过点且倾斜角为。
(1)当时，求弦的长；
(2)若弦被点平分，求弦所在的直线方程；
(3)若，求弦所在的直线方程。
17.(15分)（2025广东东莞期中）在平面直角坐标系中，已知圆，直线。
(1)求证：直线与圆总有两个不同的交点；
(2)在①，②最小，③过，两点分别作圆的切线，切线交于点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并求解：
设圆的圆心为，直线与圆交于，两点，当________时，求直线的方程。
（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
18.(17分)（2025江西多校联考）某湿地公园内有一直角梯形区域，如图，，，。相关部门欲在，两处各建一个景点，将边建成人行步道（人行步道的宽度忽略不计）。
(1)若分别以，为圆心的两个圆都与直线相切，且这两个圆外切，求，两点之间的距离；
(2)若，今欲在人行步道（线段）上设一观景台，已知观景台在过，两点的圆与直线相切的切点处时，有最佳观赏和拍摄效果，求观景台设在何处时，观赏的拍摄的效果最佳。
19.(17分)(2024江苏盐城中学期中)为解决城市拥堵问题，某城市准备对现有的穿城公路进行分流，如图，已知穿城公路自西向东到达城市中心点后转向东北方向（即）。现准备修建一条城市高架道路，在上设一出入口，在上设一出入口，假设高架道路在部分为直线段，且要求市中心到的距离为10km。
(1)求两出入口，之间距离的最小值；
(2)公路段上与市中心相距30km处有一古建筑群，为保护古建筑群，需设立一个以为圆心，5km为半径的圆形保护区。在古建筑群和市中心之间设计出入口，使高架道路所在直线不经过保护区（不包括临界状态），求的取值范围。
一、单选题
1.答案：D
解析：倾斜角，斜率，先计算各选项斜率：
A：（倾斜角）；
B：（倾斜角）；
C：（倾斜角）；
D：（倾斜角）。
正斜率的倾斜角小于负斜率，且，故D的倾斜角最小。
2.答案：B
解析：直线垂直的条件为（，）：
（）；
（）。
代入得，即，解得。
3.答案：A
解析：圆的对称轴过圆心，圆的圆心为，代入直线：
，解得。
4.答案：D
解析：将圆化为标准式：，圆心，半径。
圆心到直线的距离：
。
5.答案：D
解析：圆圆心，半径；圆圆心，半径。
圆心距。
两圆相切包括外切（，即）和内切（，即），故或。
6.答案：A
解析：第一步求圆心：联立，解得，圆心。
第二步求半径：直线到圆心的距离，弦长。
由弦长公式，得，解得。
圆方程为。
7.答案：B
解析：第一步明确的轨迹：（向量点积），设，则，展开得，即（在以为圆心、为半径的圆上）。
第二步分析切线条件：过可作圆的两条切线，说明在圆外，即。
第三步求的最小值：两圆心与的距离，故，因此。
8.答案：D
解析：设（轴上的点），切线长公式：
（即到的距离）；
（即到的距离）。
求的最小值，即求轴上一点到和的距离之和的最小值。
取关于轴的对称点，其到的距离为，即最小值为。
二、多选题
9.答案：AD
解析：直线的斜率，故（）。
倾斜角满足，：
A：，，可能；
B：，斜率不存在，但为实数，不可能；
C：，，不可能；
D：，，可能。
10.答案：ABC
解析：圆（），圆（），圆心距：
A：相交需，即，正确；
B：直线是圆的切线（距离），若（圆到的距离为），则为公共切线，正确；
C：公共弦长最大为圆的直径（当公共弦过时），正确；
D：公共弦方程为，令，得，错误。
11.答案：ACD
解析：圆圆心，半径，直线到的距离，点的距离：
A：在圆上，则，，相切，正确；
B：在圆外，则，，相交，错误；
C：在直线上，则（），，相切，正确；
D：在圆内，则，，相离，正确。
三、填空题
12.答案：或
解析：分两类：
斜率不存在：直线，到原点距离为，符合；
斜率存在：设，即，距离，解得，直线方程为。
13.答案：
解析：的斜率，的倾斜角，则。
又在轴截距为，方程为，整理为。
14.答案：（或、、）
解析：圆（），直线到的距离，弦长。
面积，解得或，取。
四、解答题
15. 解：
(1) 设直线在轴、轴上的截距分别为、，则截距式方程为。
由题意得：（直线过点）。
将代入，通分整理得：
，即。
解得、或、。
当、时，直线方程为，整理为；
当、时，直线方程为，整理为。
(2) 先求直线的方程：
、，斜率，由点斜式得，即。
设（在轴上），点到直线的距离公式为，代入得：
，即。
解得或，故或。
16. 解：
圆：，圆心，半径，点在圆内。
(1)直线的倾斜角为，斜率，过点，方程为，即。
圆心到直线的距离。
由弦长公式，代入得：
。
(2) 弦被平分，则。
计算，故（垂直直线斜率乘积为）。
直线过，方程为，整理为。
(3) 由弦长公式，代入、，得：
，解得（为圆心到直线的距离）。
分两种情况：
斜率存在：设直线方程为，即。
圆心到直线的距离，即。
平方整理得，解得，直线方程为。
斜率不存在：直线方程为，圆心到直线的距离，符合条件。
综上，直线方程为或。
17. 证明：圆：，整理为标准式，圆心，半径。
(1)直线：，整理为。
联立，解得，即直线过定点。
计算定点到圆心的距离：。
因（定点在圆内），故直线与圆总有两个不同交点。
(2) 选条件①，求直线的方程
，则，为等腰直角三角形。
等腰直角三角形中，圆心到直线的距离。
设直线：，圆心到直线的距离：
。
化简分子：，分母：。
故，平方整理得，即，解得。
代入直线方程：，整理为。
18. 解：
(1)建立平面直角坐标系：设，因、，，，故，，（在轴上）。
两圆分别以、为圆心且与（轴）相切，半径分别为、到的距离，即，。
两圆外切，故圆心距。
(2) 已知，由、，得，解得（），故，为轴上线段到。
设观景台（在上），圆过、且与切于，则圆心为（半径，因切线垂直半径，圆心横坐标与相同）。
由圆心到、距离相等（均为半径）：
。
先联立，平方得，即 ①；
再联立，平方得，即 ②。
由①得，代入②：
，化简得，即，解得（）。
故，即与重合，设在上距离点处。
19. 解：建立坐标系：为原点，为轴正方向，与轴夹角，设（），（），到距离为。
(1) 面积有两种表示：
由夹角：；
由高：，故。
由余弦定理：。
由基本不等式，得。
将代入，得，化简得。
故，最小值为。
(2) 古建筑群在上且，故，保护区方程（半径）。
设（，在与之间），则。
直线过且到距离为，设直线方程为，则，得（）。
直线不经过保护区，即到的距离：
，代入，化简得：
，平方整理得。
将代入，化简得，即，解得（）。
又（由），故的取值范围为。

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