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保密 ★ 启用前 【考试时间：2025年9月 26日】
雅安天立学校高2024级2025-2026学年度秋期
高2024级第一次月考
数 学
本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成，共4页；答题卡共4页。满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．掷一颗骰子，出现点数是2或4的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“反面朝上”的概率和频率分别是（ ）
A．0.5，0.5 B．0.51，0.51 C．0.49，0.49 D．0.5，0.51
3．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点数大于4”，C=“点数为奇数”，D=“点数为偶数”，下列结论正确的是（ ）
A．B，C为对立事件 B． A，C为互斥事件
C．C，D为对立事件 D．A，D为互斥事件
4．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生10组随机数：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907．由此估计3例心脏手术全部成功的概率为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
5．在正方体中，棱长为1，则等于（ ）
A．0 B．1 C． D．
6．若空间向量，则下列向量可以与构成空间的一个基底的是（ ）
A． B． C． D．
7．在三棱锥中，，，，且，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
8．已知直四棱柱的底面为矩形，，，，平面，，则三棱锥的体积为（ ）
A． B．5 C．4 D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8
B．某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.7
C．某人射击10次，击中靶心的频率是，则他应击中靶心5次
D．某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心4次
10．已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A．向量与向量的夹角为 B．
C． D．向量在向量上的投影向量为
11．已知，，则下列说法中正确的是（ ）
A．若A，B互斥，则 B．若A，B互斥，则
C．若A，B独立，则 D．若A，B独立，则
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则的值是_____
13．连掷一枚硬币5次，则至少出现一次正面向上的概率为 _____
14．已知甲 乙两人参加闯关活动，活动一共设置两关.甲每关闯关成功的概率均为，乙每关闯关成功的概率均为，且甲 乙两人闯关成功与否互不影响，则甲 乙两人总共至少有三关闯关成功的概率是 _____
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(13分)已知．
(1)求向量的坐标；
(2)若，求的值．
(15分)随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高．某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查．现从消费者人群中随机抽取500人作为样本，得到下表（单位：人）．
老年人 中年人 青年人
酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶
满意 100 120 120 100 150 120
不满意 50 30 30 50 50 80
(1)从样本中任意取1人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；
(2)试估计该地区青年人对酸奶满意的概率；
(3)依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写出结果即可）
注：本题中的满意度是指消费群体中满意的人数与该消费群体总人数的比值．
(15分)某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否回答正确互不影响．
(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．
18．(17分)某次答辩活动有4道题目，第1题1分，第2题2分，第3题3分，第4题4分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第题的概率分别为，，，，且每道题目能否答对都是相互独立的．
(1)求甲得10分的概率；
(2)求甲得3分的概率；
(3)若参加者的答辩分数大于6分，则答辩成功，求甲答辩成功的概率．
19．(17分)在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，，为正三角形，且平面平面，设为线段上一动点.
(1)当平面时，求的值；
(2)当最小时，求与所成角的余弦值；
(3)当二面角的大小为时，求的值.
《雅安天立学校2025-2026 学年度上期高 2024 级数学第一次月考》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C B B C D A ACD BC
题号 11
答案 ACD
1．B
【详解】由等可能性可知，出现点数是2和4的概率各为，所以出现点数是2或4的概率是.
故选：B.
2．D
【详解】抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，故有51次反面朝上，故“反面朝上”的频率为，“反面朝上”的概率为0.5，
故选：D
3．C
【详解】样本空间为，，，，，
对于A，，所以B，C不互斥，更不可能对立，故A错误；
对于B，由于，所以A，C不互斥，故B错误；
对于C，因为，，所以C，D为对立事件，故C正确；
对于D，，所以A，D不互斥，故D错误．
故选：C．
4．B
【详解】随机模拟产生10组随机数中，有3组随机数表示手术成功，
故3例心脏手术全部成功的概率为：．
故选：B.
5．B
【详解】解：由题得
.
故选：B
6．C
【详解】A选项，设，
即，
所以，解得，，
此时不能构成基底.
B选项，，此时不能构成基底.
C选项，设，
即，
，此方程组无解，故此时能构成基底.
D选项，，此时不能构成基底.
故选：C
7．D
【详解】
由题意，.
故选：D.
8．A
【详解】如图，以为坐标原点，，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系.

则，，，，，，
则，，，，.
设平面的法向量为，则,
令，可得．
设，，则，
由可知，解得，则，即．
又在中,为的中点，所以为的重心，则，
故．
故选：A.
9．ACD
【详解】某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是，故正确；
某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是，故错误；
某人射击10次，击中靶心的频率是，则他应击中靶心次，故正确；
某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心次，故正确.
故选：.
10．BC
【详解】对于A，因为，，
所以，
又，所以，所以A错误；
对于B，因为，所以，
故，所以B正确；
对于C，由向量，，，可知，故，所以C正确；
对于D，根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为
，所以D错误，．
故选：BC.
11．ACD
【详解】对于A，，所以A正确；
对于B，若互斥，则，所以B错误；
对于C，若独立，则，
所以，C正确；
对于D，，D正确，
故选：ACD.
12．
【详解】四点共面，，
，解得：.
故答案为：.
13．/0.96875
【详解】由题意得所求概率为．
故答案为：.
14．/
【详解】设事件“甲有关闯关成功”，“乙有关闯关成功”，，
则，，
，，
设甲、乙两人总共至少有三关闯关成功的事件为，则，
.
故答案为：.
15．(1)
(2)．
【详解】（1）由，得．
（2）由（1）知，
所以，，
又，则，
即，
所以，
则．
16．(1)
(2)
(3)青年人
【详解】（1）设“这个人恰好对生产的酸奶质量满意”为事件A，
样本总人数为500，其中对酸奶质量满意的人数为，
所以．
（2）用样本频率估计总体概率，该地区青年人对酸奶满意的概率．
（3）青年人消费群体对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大.
理由如下：
老年人满意度为，满意度提高后增加的满意人数为（人）；
中年人满意度为，满意度提高后增加的满意人数为（人）；
青年人满意度为，满意度提高后增加的满意人数为（人）；
所以青年人总人数最多，对鲜奶的满意度较低，所以青年人对鲜奶的满意度提升0.1，
人数提高得最多，则整体对鲜奶的满意度提升最大.
17．(1)
(2)
【详解】（1）记表示该选手能正确回答第个问题，则
．
该选手进入第四轮才被淘汰就是前三轮答题成功，第四轮没有成功，
各轮问题能否回答正确互不影响，
所以所求概率是.
（2）该选手至多进入第三轮考核，即可能第一轮被淘汰，可能第二轮被淘汰，
可能第三轮被淘汰，这三种情况又是互斥的，
所以所求概率为
．
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意得每道题目能否答对都是相互独立的事件，
由独立事件概率公式得甲得10分的概率为．
（2）甲得3分有两种情况：甲答对第1题和第2题，甲答对第3题．且两种情况互斥，
故甲得3分的概率为．
（3）若甲恰好答对2道题目答辩成功，则甲必定答对第3题和第4题．
甲答辩成功的概率为．
若甲恰好答对3道题目答辩成功，则甲答对第2题、第3题、第4题，
或者答对第1题、第3题、第4题，或者答对第1题、第2题、第4题．
甲答辩成功的概率为．
由（1）可知甲得10分的概率为，所以甲答辩成功的概率为．
19．(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）底面是等腰梯形，，，，，
所以，则，
又，可得，故，

以为原点， 分别为轴，作射线垂直于点为轴，
构建如图空间直角坐标系，则，
所以，，显然满足，
因为是边长为的正三角形，故的高为，
所以的高为，且在平面上的投影在的角平分线上，
设且，则， ，
若是平面的一个法向量，则，可取，
若是平面的一个法向量，则，可取，
由平面平面，则，可得，故，即在轴上，
显然平面，又，故，
即为等腰直角三角形，则到的距离为，故，所以，
设，则，则，
所以，而，，
若是平面的一个法向量，则，取，
由平面，则，可得，
此时，故；
（2）由，则，
当，最小，此时，则，而，
所以，故所求异面直线的夹角余弦值为；
（3）由（1）知，平面的法向量为，，，
设平面的法向量，则，取，
二面角的大小为，则，
整理得，即，故，
所以（负值舍），故.

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