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2025-2026学年南京市励志高级中学高一创新班上学期开学调研
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，边长为的正方形内接于圆，是弧包括端点上一点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.关于函数，下列说法正确的是( )
A. 在上单调递增，且曲线存在对称轴
B. 在上单调递增，且曲线存在对称中心
C. 在上单调递减，且曲线存在对称轴
D. 在上单调递减，且曲线存在对称中心
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.设函数，其中所有正确结论的编号是( )
的最小正周期为；
的图象关于直线对称；
在上单调递减；
把的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象．
A. B. C. D.
5.若正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知，，在上的投影向量为，记向量与的夹角为，则的值为 ．
A. B. C. D.
7.已知函数，若方程的实根在区间上，则的最大值是( )
A. B. C. D.
8.已知圆心角为的扇形的半径为，是弧上一动点不包括、，作矩形，与相交于点，给出下列四个结论：
存在点，使得与的面积相等；
存在点，使得与的面积相等；
面积的最大值为，此时；
矩形面积的最大值为，此时．
其中，所有正确结论的序号为 ．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式正确的是( )
A. B.
C. D.
10.下列函数中最小值不小于的是( )
A. B.
C. D.
11.若实数，满足，，则下列说法正确的为( )
A. 当时，的最大值为 B. 当时，的最小值为
C. 当时，的最小值为 D. 当时，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知实数满足，则的取值范围是 ．已知，，求的最大值是 ．
13.设，那么的最小值是 ．已知，且求的最小值是 ．
14.已知正实数，且满足，则的最小值是 ．
年月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了关于构建更高水平的全民健身公共服务体系的意见，再次强调持续推进体育公园建设．如图，某市拟建造一个扇形体育公园，其中，千米．现需要在，，上分别取一点，，，建造三条健走长廊，，，若，，则的最大值为 千米．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
．
已知，求的值．
求函数的值域．
16.本小题分
已知函数满足．
求函数的解析式及最小正周期；
函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，求的最小值．
设，是大于的常数，函数，若恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
已知函数，．
若，，求的值；
若存在，使等式成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
对于定义在上的函数，若存在实数，使得为偶函数，则称函数为型函数，若存在实数，使得为奇函数，则称函数为型函数．
已知的定义域为，且的图象关于直线对称．证明：若为型函数．
若，，且为型函数．
证明：；
若，对于，，求的取值范围．
19.本小题分
，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 ．
设定义在区间上的函数的图像为是上任意一点，为坐标原点，设向量，，，当实数满足时，记向量定义“函数在区间上可在标准下线性近似”是指“恒成立”，其中是一个确定的正数．
求证：三点共线；
设函数在区间上可在标准下线性近似，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.；
15.易知
；
由可得，
可得
；
易知函数的定义域为，当时，，
当时，可得，
令，显然，因此，
当可知，此时；
当，可得，
当可知，当且仅当时，等号成立；
当可知，当且仅当时，等号成立；
综上可知，
所以函数的值域为．

16.，
，，即
又，故，即，
的最小正周期为：；
由题意，，
，
由，可得，
，
解得，因，
的最小值为．
因为，所以，，
则，
因为，所以，
当且仅当时，即时等号成立，
所以，
又因为恒成立，所以，由于，解得：，
所以的取值范围为．

17.
．
，则，
由于，，
所以或，即或，
当时，，
当时，．
当时，，则，
即，
令，，
关于的方程在上有解，即在上有解，
当时，，
由，得，
即实数的取值范围是．

18.若关于对称，所以，
即，
故为偶函数，即为型函数．
设，
则为奇函数，即在上恒成立；
由
，
则，即，
因为，所以．
由知，，则不等式化为：
，则．
因
，
令，则，，
故当时，取到最小值，所以．
故的取值范围为．

19.因为，，与的夹角为钝角，
所以或，
所以的取值范围是；
证明：由题向量，
得，所以三点共线；
由题得向量，，
所以向量，
由题意，，，
则，向量，
所以恒成立，
当时，当且仅当时等号成立，
所以，即函数在区间上可在标准下线性近似，则的取值范围为．

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