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2025-2026学年四川省乐山沫若中学高二上学期开学考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知圆柱的底面半径为，体积为，则该圆柱的侧面积为( )
A. B. C. D.
3.空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4.如图，在中，是边上一点，且，点是的中点．设，，则可以表示为( )
A. B. C. D.
5.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体的棱长都是如图，，分别为棱，的中点，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在长方体中，底面是边长为的正方形，侧棱，点分别为的中点，则异面直线和所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.在平行六面体中，，分别是线段，上的点，且，，若，，，则下列说法中正确的是( )
A. 与的夹角为 B.
C. 线段的长度为 D. 直线与所成的角为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知中，点，，分别为，，的中点，则( )
A. B.
C. 点的坐标为 D. 的面积为
10.已知函数，其中，且函数的两个相邻对称轴之间的距离为，则下列说法正确的是( )
A.
B. 函数图象关于点对称
C. 函数在区间单调递增
D. 函数的图象可以由的图象向右平移个单位得到
11.如图正方体的棱长为，则下列四个命题中正确的是( )
A. 正方体被面分割成两部分的体积比为
B. 点到平面的距离为．
C. 四面体的外接球体积为
D. 二面角的大小为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，且，则 ．
13.如图，，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得，，，则，两点间的距离为
14.在九章算术中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”如图，三棱柱为一“堑堵”，是的中点，，则该“堑堵”的外接球的表面积为 ；在过点且与直线平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，为侧棱的中点，且．
证明：；
求三棱锥的体积．
16.本小题分
已知分别为三个内角的对边，且．
求；
若，且的面积为，求的周长．
17.本小题分
函数的部分图象如下图所示．
求函数的解析式；
求函数的单调递增区间；
将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，底面为正方形，分别为的中点，设平面平面．

求证：；
求证：；
若，二面角的大小为，求与底面所成角的正弦值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面四面体的体积为的面积为．
求点到平面的距离；
若，平面平面，证明：平面
在的条件下，在棱上是否存在一点，使平面与平面夹角为，若存在，求的长若不存在，说明理由
参考答案
1.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】因为平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面，又平面，所以
由，由知，平面，
又三棱锥的体积即为三棱锥的体积，
所以，所求三棱锥的体积．

16.【详解】因为，由正弦定理得，
因为，可得，所以，
若，则，不合题意，故，所以，
又因为，所以．
因为的面积为，可得，可得，
又因为，所以，由余弦定理，
可得，所以，
所以的周长为．

17.【详解】观察函数的图象，得，最小正周期，解得，
由，得，而，则，
所以函数的解析式是．
由知，，
由，得，
所以函数的单调递增区间为．
依题意，，
当时，，则当，即时，；
当或，即或时，．
所以在区间上的最大值为，最小值为．

18.【详解】因为底面为正方形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，
所以．
取的中点，连接，，

因为点分别为的中点，
所以，且，
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
又因为平面，平面平面
所以．
因为平面，平面，所以，又，
是二面角的平面角，所以，
设则，连接，，
因为，平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，所以即为与底面所成角，
因为平面，平面，所以，
所以，
所以在直角三角形中，．
所以与底面所成角的正弦值为．


19.【详解】设点到平面的距离为，由四面体的体积为的面积为，得，解得，
而平面平面，则平面，
所以点到平面的距离为．
取的中点，连接，由，得，由平面平面，
平面平面平面，得平面，即，
则，由平面平面，得，
又平面平面，则，而平面，
因此平面，
存在：
由知，又平面，则，
而的面积为，，则，，
由，得，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，设，
则，
，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设平面的法向量为，
则
取，得，
，由平面与平面的夹角为，
得，解得，即为的中点，
所以．

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