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2025-2026学年安徽省太和中学高二上学期10月份月考模拟
数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知，若不能构成空间的一个基底，则( )
A. B. C. D.
3.若图中的直线，，的斜率分别是，，，则有( )
A.
B.
C.
D.
4.已知函数，且，则，，的大小关系为( )
A. B.
C. D.
5.下列命题：若向量满足，则向量的夹角是钝角；若是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；若向量是空间的一个基底，若向量，则也是空间的一个基底；若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为；已知向量，，则向量在向量上的投影向量是；其中正确的个数是( )
A. B. C. D.
6.已知中，内角，，所对的边分别为，，，若，则当取得最大值时，的面积为( )
A. B. C. D.
7.在四面体中，，平面，，点，分别为棱，上的点，且，，则直线与直线夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.在中，为上一点且满足，，，若，则的外接圆半径为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在复平面内，下列说法正确的是( )
A. 复数，则在复平面内对应的点位于第一象限
B. 若复数，则
C. 若复数满足，则
D. 若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为
10.下列说法正确的是( )
A. 个数据的平均数为，另个数据的平均数为，则这个数据的平均数是
B. 若样本数据，，，的平均数为，则数据，，，的平均数为
C. 一组数据，，，，，的分位数为
D. 某班男生人、女生人，按照分层抽样的方法从该班共抽取人答题．若男生答对题目的平均数为，方差为；女生答对题目的平均数为，方差为，则这人答对题目的方差为
11.如图，在直棱柱中，底面是边长为的菱形，，点为的中点，点为侧面内包含边界一动点，则下列结论正确的是( )
A. 平面截四棱柱所得的截面是五边形
B.
C. 平面与平面所成角的余弦值为
D. 若平面，则点轨迹的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过两点的直线 的倾斜角为，求的值为 ．
13.如图所示，在平行六面体中，，，，则 ．
14.两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点使，且称为异面直线的公垂线已知，则线段的长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中．
求经过的直线的点方向式方程；
已知平面，平面，平面，若，证明：；
已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小．
16.本小题分
在四棱锥中，已知，，，，，，是上的点．
求证：底面
是否存在点使得与平面所成角的正弦值为若存在，求出的值若不存在，请说明理由．
17.本小题分
如图，矩形中，，，为边上的一点．现将沿着折起，使点到达点的位置．

如图，若为边的中点，点为线段的中点，求证：平面；
如图，设点在平面内的射影落在线段上．
求证：平面；
当时，求直线与平面所成的角的余弦值．
18.本小题分
在如图所示的六面体中，矩形平面，，，，．
设为中点，证明：平面；
求二面角大小的正弦值．
19.本小题分
如图，四面体中，为等边三角形，且，为等腰直角三角形，且．

当时，
求二面角的正弦值；
当为线段中点时，求直线与平面所成角正弦值；
当时，若，且平面，为垂足，中点为，中点为；直线与平面的交点为，求三棱锥体积最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.【详解】由得，直线的方向向量为，
故直线的点方向式方程为．
由平面可知，平面的法向量为，
由平面可知，平面的法向量为，
设交线的方向向量为，则
令，则，可得，
由平面可知，平面的法向量为，
因为，即，
且，所以．
因平面经过三点，可得，
设侧面所在平面的法向量，
则，令，解得，可得，
由平面可知，平面法向量为，
设平面与平面的交线的方向向量为，
则，令，则，可得，
由平面可知，平面的法向量为，
因为，解得，即，
则，
故平面与平面夹角的大小为．

16.解：证明：在中，，，所以，
在中，，，，
由余弦定理有：，
，，所以，所以，
又因为，，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
在中，，，，所以，所以，
又，，平面，
所以平面．
以为原点，以，，所在直线为，轴建立直角坐标系．
则有，，，，，
设，，
则，
，，
设为平面的法向量，
则
可取，
设与平面所成角为，
则有，
，
可得，所以舍负．
存在点使得与平面所成角的正弦值为，此时．
17.【详解】证明：如图，取线段的中点，连接，，
因为点是线段的中点，所以，，
因为，，所以，，
即四边形是平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面；

由题意可知平面，平面，故，
又平面，故平面．
由于平面，故为直线与平面所成的角，
，，故，
，
则，故，
故直线与平面所成的角的余弦值为．


18.解：证明：
如图所示，连接，取线段的中点，分别连接，，
因为，分别为线段，的中点，
则是的中位线，
所以，，
由已知可得，且，
所以且，
故四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
解：因为四边形是矩形，
则，
又平面平面，平面平面，平面，
则平面，又平面，
所以，又，
所以，，两两垂直，
则以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
所以，，，，，，
设平面的法向量为，
因为，
所以，
令，则，，
故，
设平面的法向量为，
因为，
所以，
令，则，，
故，
则，
因为二面角的范围是，所以二面角的正弦值为非负数，
故二面角大小的正弦值为．
19.【详解】取的中点，连接，
因为为等腰直角三角形，且，
所以，则，所以，
又因为所以，
则，，
又因为，所以为二面角的平面角，
，
所以，所以二面角的正弦值为；
过点作轴垂直平面，又因为，
建立如图所示的空间直角坐标系，

所以，
，，
设平面的法向量为，
则
取，可得，所以，，
设直线与平面所成角为，
所以，
直线与平面所成角正弦值为；
取的中点，连接，
因为为等腰直角三角形，且，
所以，则，
所以，又因为所以，
则，，
又因为，所以，又因为，
平面，所以平面，
因为两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

所以，
设，因为，
所以由可得：，
所以，，
由上知，平面，又平面所以，在上，
因为，所以，，
所以，
即，所以，
所以，
三棱锥体积为：
，
因为，当时，三棱锥体积最大为．

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