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2025-2026学年山东省日照市高二上学期9月校际联合考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.轴截面为正三角形的圆锥，记其侧面积为，体积为，若，则底面半径为( )
A. B. C. D.
5.若定义在上的偶函数满足，且当时，，则的值等于( )
A. B. C. D.
6.若，则( )
A. B. C. D.
7.当时，曲线与的交点个数为( )
A. B. C. D.
8.在中，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知非零实数，满足，则( )
A. B. C. D.
10.设为两个事件，且，下列说法正确的有( )
A. 若互斥，则 B. 若互斥，则
C. 若独立，则 D. 若独立，则
11.已知正方体的棱长为，为上一动点，为棱的中点，则( )
A. 四面体的体积为定值
B. 存在点，使平面
C. 二面角的正切值为
D. 当为的中点时，四面体的外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若幂函数的图象经过点，则 ．
13.将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是 ．
14.已知锐角的面积为，点分别在上，且对任意恒成立，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛，满分为分，所有参赛学生的成绩都不低于分．现从中随机抽取了名学生的成绩，按照分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的名学生成绩的平均数、中位数同一组中的数据用该组区间的中点值代表；
若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于分的学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求恰有人成绩在的概率．
16.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．为图象的最高点，为图象与轴的交点，点，且为正三角形．
求函数的解析式及其单调递增区间；
当时，求函数的最值．
17.本小题分
函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是已知函数．
判断函数的单调性，并利用定义证明；
求证：函数的图象关于点中心对称；
若对，且，恒有成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
在中，角所对的边分别为，且满足．
求证：；
若，求；
求的最小值．
19.本小题分
如图，在正四棱锥中，所有棱长均为点是棱的中点，点是底面内任意一点，点到侧面的距离分别为．

求证：平面平面；
求的值；
记直线与侧面所成的角分别为，求证：为定值．
参考答案
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15.【详解】由已知可得，解得，
所抽取的名学生成绩的平均数为分，
由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，
所以，中位数，由题意可得，解得分．
由可知，后三组中的人数分别为，故这三组中所抽取的人数分别为，
记成绩在这组的名学生分别为，成绩在这组的名学生分别为，成绩在这组的名学生为，
则从中任抽取人的所有可能结果为、、、、、、、、、、、、、、，共种
其中恰有人成绩在为、、、、、、、共种
故所求概率为．

16.为图象的最高点，点的纵坐标，即的高为，
为正三角形，，
又，．
，，
则，即，
，．
．
令，
解得，
函数的单调递增区间为．
当时，，
当，即时，取得最大值；
当，即时，取得最小值．
综上，函数的最大值，最小值．

17.函数在定义域内单调递增，证明如下：
，任取，令，
则，，，
故，
即，所以在定义域内单调递增．
证明：因为的定义域为，
，，
有，
所以的图象关于点对称．
因为，即，
由可知：在定义域内单调递增，则，
由可知：，即，
可得，即，
由，得，
即，解得，
所以实数的取值范围为．

18.因为，根据正弦定理得：．
又因为，
所以．
又为三角形内角，所以．
因为，，
所以，，
．
所以．
由正弦定理得，
又，所以，．
由余弦定理得．
所以．
因为
．
由正弦定理
因为，所以，
所以，当且仅当即时取等号．
所以的最小值为．

19.因为在正四棱锥中，所有棱长均为，点是棱的中点，所以，
又，所以，
又，所以平面；
设，连接，则平面，
设点到平面的距离为，
因为在正四棱锥中，所有棱长均为，所以四个侧面的正三角形的面积均为，
底面正方形的面积为，又，
依题意可得，所以
，即，解得；
设平面与的交线为，，
过点作平面使得，即过点作交于点、交于点，再在平面内作，连接则，又，所以，
又所以，
又平面与的交线为，，所以，所以，
设，
所以，所以，
同理可得，所以，
设，同上方法可得，
所以，
而，所以，
又与侧面所成的角分别为，则
而，
所以．


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