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2025-2026学年山东省烟台第二中学高二上学期开学考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线经过，两点，则的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，求直线的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.已知分别为直线的方向向量不重合，分别为平面的法向量不重合，则下列说法中正确的是( )
A. B. C. D.
4.在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若为钝角，则 D. 若在上的投影向量为，则
5.如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点直线到平面的距离为( )
A. B. C. D.
6.已知直线与直线，则“”是“”( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
7.如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，设，
，，若，，，则下列结论中正确的是
A. B.
C. D.
8.九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，在如图所示的鳖臑中，平面，，，是的中点，是内的动点含边界，且平面，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线的倾斜角为，则( )
A.
B. 直线在两坐标轴上的截距相等
C. 为直线的一个方向向量
D. 直线关于轴对称的直线的方程为
10.下列命题中正确的是( )
A. 若是空间任意四点，则有
B. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于
C. 已知是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D. 已知为坐标原点，向量，，，则点不能构成三角形
11.多选已知正方体的棱长为，动点满足，其中，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则平面
B. 若，则与所成角的取值范围为
C. 若，则二面角的平面角为
D. 若，则三棱锥的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线与直线垂直，则 ．
13.一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 ．
14.在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为 ．
四、解答题：本题共3小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为求：
顶点的坐标；
直线的方程．
16.本小题分
如图，在中，，、两点分别在、上，使现将沿折起得到四棱锥，在图中．
求证：平面；
求平面与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
如图，在多面体中，平面，四边形为平行四边形，，，，为的中点．
求证：；
求直线与平面所成角的正弦值；
在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.由题意得直线的斜率为，所以直线的斜率为．
又因为，所以直线的方程为，即，
因为直线的方程为，
由，解得，所以点的坐标是．
由题意，是线段的中点，且在直线上，
设，又，则．
由题意，点在直线上，则．
解得，则．
由得，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即．

16.解：在图的中，，
所以，，且，，
因为，所以，，则，，
在中，，，，则，
在图的中，，，，
满足，所以，
因为，，，、平面，
所以平面．
因为平面，，
以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，，，
设平面一个的法向量，则
取，可得，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，
设平面与平面所成角为，
则，
因此，平面与平面所成角的余弦值为．

17.解：证明：因为平面，平面，
所以，，
又因为，所以，，两两垂直，
以，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，所以．
设平面的一个法向量，
因为，，
所以，即
令，则，，所以，
又因为，设直线与平面所成角，
则．
假设存在，设，则，
所以，
设平面的一个法向量，因为，
所以，即
令，则，，
所以，
由问可知：平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得或舍，
所以存在点，使得满足要求，此时，即．

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