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2024-2025学年四川省达州市第一中学高二上学期入学考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则( )
A. B. C. D.
3.设向量，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.已知某地最近天每天的最高气温单位：分别为，则天最高气温的第百分位数是( )
A. B. C. D.
5.在中，内角，，所对的边分别是，，，，，则该三角形的形状是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
6.已知平面向量，满足，且，，则向量与夹角的正弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知正四棱台的上底边长为，下底边长为，侧棱与底面所成的角为，则此四棱台的体积为( )
A. B. C. D.
8.三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.多选班长统计了去年月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量单位：本，并绘制了如下的折线统计图，下列说法正确的是( )
A. 阅读数量最大的是月份 B. 阅读数量最小的是月份
C. 阅读数量最大的月份比最小的月份多本 D. 每月阅读数量超过的有个月
10.已知三条不重合的直线、、，两个不重合的平面、，下列四个命题中正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，且，则
C. 若，，，，则
D. 若，，则
11.函数的部分图象如图所示，下列正确的是( )
A. ，
B. 函数的图象关于直线对称
C. 若，则
D. 函数的最小正周期为，函数是奇函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，则原四边形的面积为 ．
13.已知事件和互斥，且，，则 ．
14.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸、的俯角分别为、，此时气球的高是，河流的宽度约等于 参考数据：，，，，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知向量．
若，求实数的值；
若，求实数的值．
16.的内角对边分别为，且．
求角的大小：
若，且，求的面积．
17.九章算术中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点．
证明：平面；
证明：平面；
18.文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市建设的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本满分分，成绩均为不低于分的整数分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图．

求频率分布直方图中的值；
若从成绩位于区间和的答卷中，采用分层随机抽样，抽取份，再从这份中随机抽取两份，求这两份答卷的成绩都落在的概率；
已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差注：
19.已知函数．
求最小正周期；
将函数的图象的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向右平移个单位，最后得到函数，求函数的对称中心；
若在上恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】因为，，
所以，
所以，解得
所以
因为，则，
又，，
所以，解得，
故实数的值为．

16.解：因为，根据正弦定理边角互化，以及恒等变换可得
．
因为为内角，所以，
则可得，又因，
所以．
根据余弦定理可知，
则可得，
又因，且，
可得，
可得，
则．

17.【详解】取的中点，连接，
由分别为的中点，
所以且，
又因为且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面平面，所以平面
因为，所以，
因为底面，底面，所以，
又因为平面，且，
所以平面，又平面，
所以，
因为，，所以，，
又因为平面，
所以平面．

18.【详解】由题意，解得：．
由题可知，成绩在区间的频数为：；
成绩在区间的频数为：．
利用分层抽样，从中抽取份，成绩在的频数为，成绩在的频数为．
再从这份答卷中随机抽取两份，这两份答卷的成绩都落在的概率为：．
因为落在与的频率之比为；
所以，
．

19.【详解】因为
，
所以函数的最小正周期为．
将函数的图象的横坐标缩小为原来的，
可得到函数的图象，
再将的函数图象向右平移个单位，最后得到函数的图象，
则，
令，得，
所以对称中心为，．
当时，，
则，
所以，
所以在区间上的值域为．
由，得，
由在上恒成立，
得，解得，
实数的取值范围为．

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