资源简介

2025-2026学年安徽省马鞍山市第二中学高二上学期9月教学质量监测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数在复平面内对应的点是，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3.一个正四棱锥的高是，底面边长也为，则正四棱锥的侧面积是( )
A. B. C. D.
4.已知一组数据为，则这组数据的分位数是( )
A. B. C. D.
5.已知，表示两个不同的平面，，，表示三条不同的直线，下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，，，则
C. 若，，，，则 D. 若，，，则
6.某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的名学生进行调查．为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题．回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做．若最终盒子中小石子的个数为，则该地区中学生吸烟人数的比例约为( )
A. B. C. D.
7.已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.如图，在棱长为的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列结论正确的是( )
A. B. 与的夹角为
C. D. 在方向上的投影向量的模是
10.在图书馆的借书抽奖活动中，工作人员准备了编号为、、、的个神秘书签，书签除编号外完全相同．小张依次不放回地抽取两张书签，依次抽出后记录编号( )
A. 第一张书签编号比第二张大的概率是
B. “两书签编号之和为”的概率是
C. “抽到第一张书签编号为奇数”与“两书签编号和为”相互独立
D. “抽到第一张书签编号为奇数或两书签编号和为”的概率为
11.已知正方体的棱长为，为上一动点，为棱的中点，则( )
A. 四面体的体积为定值
B. 存在点，使平面
C. 二面角的正切值为
D. 当为的中点时，四面体的外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若为虚数单位是关于的实系数一元二次方程的一个虚根，则实数
13.一平面图形的直观图是边长为的正方形，则原图形的周长是 ．
14.在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为，若，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛，满分为分，所有参赛学生的成绩都不低于分．现从中随机抽取了名学生的成绩，按照分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的名学生成绩的平均数、中位数同一组中的数据用该组区间的中点值代表；
若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于分的学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求恰有人成绩在的概率．
16.本小题分
已知向量，．
若，求的值；
若，与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
17.本小题分
在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，已知
求；
求的取值范围．
18.本小题分
某次答辩活动有道题目，第题分，第题分，第题分，第题分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第题的概率分别为，，，，且每道题目能否答对都是相互独立的．
求甲得分的概率；
求甲得分的概率；
若参加者的答辩分数大于分，则答辩成功，求甲答辩成功的概率．
19.本小题分
如图，在矩形中，为的中点．将沿向上翻折，进而得到多面体如图．

当平面平面时，求直线与平面所成角的正切值；
在翻折过程中，求直线与平面所成角的最大值；
在翻折过程中，求二面角的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】由已知可得，解得，
所抽取的名学生成绩的平均数为分，
由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，
所以，中位数，由题意可得，解得分．
由可知，后三组中的人数分别为，故这三组中所抽取的人数分别为，
记成绩在这组的名学生分别为，成绩在这组的名学生分别为，成绩在这组的名学生为，
则从中任抽取人的所有可能结果为、、、、、、、、、、、、、、，共种
其中恰有人成绩在为、、、、、、、共种
故所求概率为．

16.【详解】因为，，
所以，
，，
，即，
解得或．
当时，，
与的夹角为锐角，
则且与不共线同向，
，解得
的取值范围是．

17.【详解】，
由正弦定理，，又，
所以，
锐角中，，，
，
，．
由知，，
又为锐角三角形，，所以，
由正弦定理，
，
又，，
．
所以的取值范围．

18.解：由题意得每道题目能否答对都是相互独立的事件，
由独立事件概率公式得甲得分的概率为．
甲得分有两种情况：甲答对第题和第题，甲答对第题．且两种情况互斥，
故甲得分的概率为．
若甲恰好答对道题目答辩成功，则甲必定答对第题和第题．
甲答辩成功的概率为．
若甲恰好答对道题目答辩成功，则甲答对第题、第题、第题，
或者答对第题、第题、第题，或者答对第题、第题、第题．
甲答辩成功的概率为．
由可知甲得分的概率为，所以甲答辩成功的概率为．

19.【详解】连接交于点，如下图所示：

则，
因为，所以，即，
又，所以，可得，
同理易证，所以，
翻折后当平面平面时，平面平面，且，
又平面，所以平面；
可知即为直线与平面所成的角，
在中，，
即直线与平面所成角的正切值为；
过点作，垂足为，如下图所示：

因为平面，
所以平面，
又平面，所以，
又，平面，
所以平面，
即即为直线与平面所成的角，
在翻折过程中，设，由可知，，
在中，，
所以，
设，则，
所以，其中，
所以，解得，
显然当时，，故，
即，又易知，所以，
即直线与平面所成角的最大值为；
过作于点，连接，如下图所示：

由知平面，因为平面，所以，
又，平面，
所以平面，
又平面，所以，又，

第1页，共1页

展开更多......

收起↑