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2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛)
暨2025全国高中数学联合竞赛
一试试题（A卷)
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.
1.若1og(9x),log(27x),log2,(（3x)成等差数列，则正数x的值为
2.设集合A={1,2,3,…,100,B={a2+2a∈A小，则AUB的元素个数为
-1
3.设点P在椭圆：
+之=1上，R,R为了，的两个焦点，线段P交椭圆
2025
号+二=1于点Q.若△rP阳的周长为8，则线段F阳的长度为
T2:
914
4.设函数(x)的定义域为R,g(x)=(x-I)f(x),h(x)=f(x)+x·若g(x)为奇
函数，h(x)为偶函数，则∫(x)的最大值为
5.若正整数k满足
sin20°，sin25°
∈R(i为虚数单位)，则k的最小值
c0s25
c0s20°
为
6。设T为任意四棱柱，在了的12条棱中随机选取两条不同的棱1,2，将事件
“(所在直线与12所在直线平行"发生的概率记为P(T)，则P(T)所有可能值为_
7.平面中的3个单位向量a,b,c满足a.6=a·c]+[6.c(其中[x]表示不超过实
数x的最大整数)，则a+万+的取值范围是
8.将1,2,3，…，9排列为a,b,c,d,e,f,g,h,i，使得3个三位数abc,def,ghi之和等
于2025，则不同的排列方法数为
二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、
证明过屋或演算步骤
9.(本题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，点集
r={(x,yy2=2x+2刘
若下中的3个不同的点M,P,2满足：M为P2的中点，且OP.O2=-2,求
点M的坐标。
10,(本题满分20分)设正四面体ABCD各棱长均为2，P,2分别是棱AB,AC上
的动点（允许位于棱的端点），AP+A2=2,M为棱AD的中点，在△MP2中，
MH为P2边上的高.求MH长度的最小值.
C
11.(本题满分20分)设a为实数，m,n为正整数，且sinma·sinna≠0
1
1
证明：
1
X
sinma
sinna
m.sinma.sinna+sinmna
2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛)
暨2025年全国高中数学联合竞赛
一试（A卷)参考答案及评分标准
说明：
1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各
题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.
2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷
时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，
第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次.
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分
1.若10g(9x),1og,(27x),1og2,(3x)成等差数列，则正数x的值为
答案：9.
解：设0gx三t,则2+4，子成等差数列，即2+1+十=23十
3
2
解得t=2,故x=3=9.
2.设集合A={L,2,3,,100},B={a2+2|a∈A,则AUB的元素个数
为
答案：194.
解：当a∈[0，oo)时，a2+2关于a严格递增，故B=4=100(X表示有
限集X的元素个数).又12+2=3>1,62+2=100，故A∩B=6.
所以AUB=A+B-A∩B=100+100-6=194.
3.设点P在稀圆T,:云十=1上，F,5为r,的两个焦点，线段FP交椭园
2025
2。+41于点D:若△EPO的周长为8，则线段2的长度为
答案：√14+1.
解：由于√25-20=V14-9,故F,F2是，与Γ2的公共焦点.
由椭圆的定义知PF+PF=10,2F+2F=2W14,即
P2+PF=10-l2F,l2F=214-2F.
所以10+214-22=|Pg+PF+|2F=8,即线段F2的长为V14+1.
4.设函数f(x)的定义域为R,g(x)=(x-I)f(x),h(x)=f(x)+x.若g(x)
为奇函数，h(x)为偶函数，则f(x)的最大值为
答案：4
解：对任意x∈R,
专低，mna
所以(x-1)f(x)=(x+1)f(-x)=(x+I(f(x)+2x).

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