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2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛)
暨2025年全国高中数学联合竞赛
加试试题（A卷)
一。
(本题满分40分)如图，在△ABC中，D为边BC的中点，延长AD交
△ABC的外接圆于点P,过点B,P作一个圆与边AC相切于点E,过点C,P作一
个圆与边AB相切于点F,证明：AD,BE,CF三线共点.
(答题时请将图画在答卷纸上)
二.（本题满分40分）设m,,k都是正整数，m≥2，且n≥k≥2，实数
x≥x2≥…≥xn≥0，满足似下两个条件：
(①)m+”++”≥1；
()为十x2十…十xn≤k.
证明：x十五十…十xk≥1.
三.（本题满分50分)求具有下述性质的所有正整数n：存在n的一个倍数
N,其在十进制表示下不含数码0，但含有1,2，…，9中每一个数码，并且对任意
i∈，2，…，9}，可以删去N的十进制表示中的一个数码i,使所得的数仍是n的
倍数.
四.（本题满分50分)给定整数t>10000.甲乙两人玩如下的游戏，猜一
个满足T(N)≤2+1+100的正整数N,这里(N)是N的正约数个数.规则如下：
先由甲确定一个正整数k,并告知乙.然后乙想一个满足要求的N,并且：
()告诉甲(W的值；
(的)给出N的k个不同的正约数（若r(W)≤k,则乙只需给出N的所有正约
数：若(W)>k,则乙可以选择性地给出N的k个正约数).
求最小的k,使得甲一定能猜出N,
2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）
暨2025年全国高中数学联合竞赛
加试(A卷)参考答案及评分标准
说明：
1.评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.
2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可
参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次.
一.（本题满分40分）如图，在△ABC中，D为边BC的中点，延长AD交
△ABC的外接圆于点P,过点B,P作一个圆与边AC相切于点E,过点C,P作一
个圆与边AB相切于点F,证明：AD,BE,CF三线共点.
(答题时请将图画在答卷纸上)
证法1：如图，延长CP,AB交于点X,延长BP,AC交于点Y.
D
B
由圆幂定理知F2=P.XC=XA·B,结合比例性质得
AFXA-XFXA-VXA·XBXA
①
FB XF-XB
XA.XB-XB\XB
同理有
②
…20分
对△ABC及点P用塞瓦定理，得
AX BD CY
=1
XB DC YA

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