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第二十二章 二次函数--二次函数的图象和性质重点题型梳理
专题练（一） 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、根据二次函数的定义求参数
1．若函数为二次函数，则实数 ．
2．若关于x的函数 是二次函数，则a 的取值范围是 ．
3．若是关于的二次函数，则的值为 ．
4．当 时，是二次函数．
二、二次函数的图象和性质
5．关于二次函数，下列结论中正确的是（ ）
A．其图象的对称轴是直线
B．当时，y随x的增大而减小
C．若点是抛物线上的点，则点也是抛物线上的点
D．把该函数的图象先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，图象经过点
6．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．当时，随的增大而减小 D．函数的最大值为4
7．已知二次函数，那么下列关于该函数的判断正确的是（ ）
A．该函数图像有最低点 B．该函数图像对称轴为直线
C．该函数图像在轴的下方 D．该函数图像在对称轴左侧是下降的
8．关于抛物线的图像与性质，下列结论错误的是（ ）
A．形状与抛物线相同 B．对称轴是直线
C．当时，随的增大而减小 D．该抛物线与轴没有交点
三、利用二次函数的增减性比较大小
9．抛物线经过点和，则它的对称轴为 ．
10．已知二次函数图象上有两个不同点，则 ．
11．已知抛物线经过，两点，则的值为 ．
12．已知抛物线经过和两点，则a值为 ．
四、已知二次函数上对称的两点求对称轴
13．若点、、在二次函数的图像上，则、、的大小关系为 ．（用“”符号连接）
14．若二次函数的图象经过，，三点，则关于，，的大小关系是 ．
15．已知二次函数、且有、则、按从大到小的顺序排列为 ．
16．已知点，，在二次函数的图象上，则，，之间的大小关系是 （用“”连接）．
五、求二次函数在某区域的最值问题
17．已知函数，当时，该函数的最大值是 ．
18．已知二次函数，当时，y的最大值为9，则k的值为 ．
19．已知函数，当时，有最大值，最小值，则的值为 ．
20．已知抛物线．当时，函数的最大值为，最小值为，若，则的取值范围是 ．
六、画二次函数的图象
21．已知：二次函数中的和满足如表：
… 0 1 2 3 4 5 …
… 3 0 0 8 …
(1)可求得的值为 ；
(2)求出这个二次函数的解析式；
(3)画出函数图象，并根据图像写出当时的取值范围．
22．已知二次函数，解决以下问题：
(1)将其化成的形式：______；
(2)用“五点法”画函数图象，先填表再画图；
0 1 2 3
6
(3)增减性：当______时，随增大而增大；当______时，随增大而减小．
0 1 2 3
6 3 2 3 6
23．已知二次函数的图象过点，，．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)补全表格，画出二次函数的图象；
x … …
y … …
(3)关于该二次函数，下列说法正确的有______．
①图象开口朝下，顶点为；
②当时，y随x增大而减小；
③当时，y的取值范围为；
④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6．
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
24．已知二次函数．
(1)在平面直角坐标系xOy中画出这个二次函数的图象；
(2)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题：
①函数时，的取值范围是____________；
②方程的根是_______________；
③试写出此函数的一条性质；
④已知点，，都在此二次函数的图象上，则的大小关系是_________（用“＜”连接）．
0 1 2 3 4
答案
一、根据二次函数的定义求参数
1． 解：∵函数是二次函数，
∴．
故答案为：2．
解：由题意得：，
解得：，
故答案为：
解：∵是关于的二次函数，
∴，
∴，
故答案为：．
解：由题意得，且，
解得，
故答案为：．
二、二次函数的图象和性质
5． 解：由二次函数得对称轴为，故A选项错误，不合题意；
∵，
∴抛物线开口向上，
∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴当时，y随x的增大而增大，故B选项错误，不合题意；
∵点是抛物线上的点，
∴，
当时，，
∴点也在抛物线上，故C选项正确，符合题意；
二次函数先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后得，
当时，
∴点不在图象上，故D选项错误，不合题意．
故选：C
6． 解：A、∵，∴函数开口向上，故A不正确，不符合题意．
B、∵，
∴对称轴是直线，故B不正确，不符合题意；
C、∵函数开口向上，对称轴是直线，
∴当时，随的增大而减小，故C正确，符合题意；
D、∵，∴顶点坐标为，
∴函数的最大值为2，故D不正确，不符合题意．
故选：C．
解：二次函数，则顶点为，
该函数图象有最高点，故选项A错误，
该函数图像对称轴为直线，选项B错误；
该函数图象在轴下方，故选项C正确；
该函数图象在对称轴左侧是上升的，故选项D错误；
故选：C．
解：A、抛物线与抛物线二次项系数相等，所以形状相同，该选项正确，故不符合题意；
B、该抛物线对称轴为，该选项正确，故不符合题意；
C、该抛物线的对称轴为，开口向下，所以当时，随的增大而减小，该选项正确，故不符合题意；
D、因为，顶点坐标为，开口向下，所以与轴有交点，故该选项错误，故符合题意；
故选：D．
三、利用二次函数的增减性比较大小
9． 解：∵抛物线经过点和，
∴它的对称轴为直线，
故答案为：直线．
10． 解：点在二次函数的图象上，
∴点关于抛物线的对称轴对称，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴；
故答案为：．
解：依题意，因为抛物线经过，两点，且和两点的纵坐标相等，
所以和关于对称轴对称，
即，
故答案为：．
解：∵抛物线经过和两点
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得．
故答案为：5．
四、已知二次函数上对称的两点求对称轴
13． 解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵点、、在二次函数的图像上，且，
∴；
故答案为：
14． 解：由抛物线的解析式可知：抛物线的开口向上，对称轴为直线，
抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
，
，
故答案为：．
解：∵二次函数，
∴抛物线开口向上，，
∴当时，值最小．
当 时，；
当 时，，
∴．
故答案为：．
解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵，
∴，
故答案为：．
五、求二次函数在某区域的最值问题
17． 解：，
，
当时，该函数有最大值，最大值是，
故答案为：．
18． 解：将二次函数化成顶点式为，对称轴为直线，
∴抛物线开口向上，在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
∵离二次函数的对称轴比离二次函数的对称轴更远，
∴当时，取得最大值，最大值为，
又∵当时，的最大值为9，
∴，
解得，
故答案为：1．
解：，
整理得：，
故当时，有最小值为；
∵，
∴当时，有最大值为；
故；
故答案为：．
解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越小，
∴当时，函数值有最大值，
∵，
∴当时，，
∵当时，且，
∴且到1的距离小于等于到1的距离，
∵和关于直线对称，
∴；
故答案为：．
（1）解：∵抛物线经过点和，
抛物线的对称轴为直线，
当和所对应的函数值相等，
；
故答案为：；
（2）解：设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
，
即抛物线解析式为；
（3）解：如图：
由图象可得，当时，．
（1）解：；
（2）解：填表如下：
0 1 2 3
6 3 2 3 6
描点，连线，画出函数图象，如图所示：
（3）解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随增大而增大；当时，随增大而减小．
23． （1）解：由题意得：
，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：取点补全表格为：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
如图，
（3）解：①，则图象开口朝下，由表格数据知，顶点为，故①正确，符合题意；
②抛物线的对称轴为直线，则当时，y随x增大而增大，故②错误，不符合题意；
③从图象看，当时，y的取值范围为，故③错误，不符合题意；
④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积，故④正确，符合题意；
故答案为：①④．
（1）解：列表：
0 1 2 3 4
描点，连线，如图，
；
（2）解：①根据图象可知，函数时，的取值范围是；
②方程即的根是；
③根据图象可知，此函数的一条性质为：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；
④根据图象可知，抛物线的对称轴为直线，开口向上，离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴．
3.2 函数的基本性质--函数的单调性和最大（小）值 常见题型总结练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册
一：图象法求单调区间
1.如图是函数的图象，则函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
2.函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为（ ）

A． B．
C． D．
4.定义在上的函数的单调递减区间是 .
二：函数单调性的判断
1．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是（ ）
A． B．
C． D．
2.（多选题）在区间上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
3.(多选题)下列函数中，在R上是增函数的是（ ）
A．y=|x| B．y=x
C．y=x2 D．y=
4.下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
三：证明或判断函数的单调性
1.下列函数中，满足“对任意，，当时，都有”的是（ ）
A． B． C． D．
2.函数在上的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
3.下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数的定义域为，则下列说法中正确的是（ ）
A．若满足，则在区间内单调递增
B．若满足，则在区间内单调递减
C．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增
D．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增
四：求函数的单调区间
1.函数的单调增区间为（ ）
A． B． C．和 D．
2.函数的单调递增区间是（ ）
A．（，1] B．[1，） C．[1，4] D．[2，1]
3.已知，则函数的单调增区间是 .
4.（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数，，根据图象写出它的单调区间．．
五：函数单调性的应用
1.已知函数在区间上是减函数，则整数a的取值可以为（ ）
A． B． C．0 D．1
2.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.若函数（为实数）是R上的减函数，则（ ）
A． B． C． D．
4.若在上为减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
六：利用单调性比较大小或解不等式
1.若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数f（x）的定义域为R，且对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，若f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣1，2） B．[﹣1，2]
C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
3.设函数在区间上有意义，任意两个不相等的实数，下列各式中，能够确定函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
4.(多选题)设函数在上为减函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
E．
函数的最大（小）值
一：利用图象求函数最值
1.定义在R上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f(7)＝6，则f(x)(　　)
A．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6
B．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6
C．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6
D．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6
2.函数y＝f（x）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)．
A．f（－2），0 B．0，2 C．f（－2），2 D．f（2），2
3.若函数，它的最大值为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.函数在区间上的值域为
二：利用单调性求函数最值
1.函数y＝在[2，3]上的最小值为（ ）
A．2 B．
C． D．－
2.已知函数在区间上的最大值为A，最小值为B，则A-B等于（ ）
A． B． C．1 D．-1
3.函数在区间上的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
4.若函数y＝在区间[2，4]上的最小值为5，则k的值为(　　)
A．5 B．8
C．20 D．无法确定
三：求二次函数的最值
1.已知函数在区间上有最大值5，最小值1，则的值等于（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2.定义域为R的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为(　　)
A． B． C． D．
3.（多选题）关于函数（）在上最小值的说法不正确的是（ ）
A．4 B．
C．与的取值有关 D．不存在
4.（多选题）已知在区间上的最小值为，则可能的取值为（ ）
A． B．3 C． D．1
四：判断二次函数的单调性和求解单调区间
1.函数在区间上递增，则实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
2.若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.（多选题）已知函数的定义域为，值域为，则的可能的取值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
五：函数最值的实际应用
1.如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．此函数在定义域中不单调
D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应
2.若是偶函数，且对任意∈且，都有，则下列关系式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3.向一个圆台形的容器(如图所示)中倒水,且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等,记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为,则以下函数图象中,可能是的图象的是(　　).
A． B．
C． D．
4.（23-24高一上·全国·课后作业）一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）.

给出以下4个论断，其中正确的是（　　）
A．0点到3点只进水不出水
B．3点到4点不进水只出水
C．3点到4点只有一个进水口进水
D．4点到6点不进水也不出水
答案
一：图象法求单调区间
根据题意，结合函数图象可得函数的单调递减区间为：.
故选：.
函数的定义域需要满足，解得定义域为，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
故选：D.
函数的图象在区间和是下降的，在区间和是上升的，
故该函数的减区间为．
故选：C.
，取
如图所示：
单调递减区间是
故答案为
二：函数单调性的判断
对于A，函数分别在及上单调递增，
但存在，使，故A不符合题意；
对于C，函数分别在及上单调递增，
但存在，使，故C不符合题意；
对于D，函数分别在及上单调递减，
但存在，，使，故D不符合题意；
只有B完全符合增函数的定义，具有单调性.
故选:B.
解：函数是上的减函数，
函数在区间上单调递减，
函数在区间单调递减.
函数在区间单调递增，
所以A，B，C符合要求；D项不符合要求.
故选：ABC.
解：选项A，，当x<0时单调递减，不符合题意；
选项B，显然在R上是增函数，符合题意；
选项C，y=x2，当x<0时单调递减，不符合题意；
选项D，作出草图如下，实线部分，观察图象可得函数在R上为增函数，符合题意.

故选：BD
对于A中，函数在上单调递减，所以A不符合题意；
对于B中，函数在上单调递减，单调递增，所以B符合题意；
对于C中，函数在上单调递减，所以C不符合题意；
对于D中，时函数在上单调递减，所以D符合题意.
故选：D.
三：证明或判断函数的单调性
因为对任意，，当时，都有，所以在上为增函数，
A选项，在上为增函数，不符合题意.
B选项，在上为减函数，不符合题意.
C选项，在上为增函数，符合题意.
D选项，在上为增函数，不符合题意.
故选：C.
因为在上单调递增，且恒成立，
可知函数在上单调递减，
当时，，所以函数在上的最小值为.
故选：B.
选项A：，开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，故选项A错误；
选项B：，所以函数在区间上为增函数，故选项B正确；
选项C：可以看作由函数向左平移一个单位得到，所以函数在区间上为减函数，故选项C错误；
选项D：，开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，故选项D错误.
故选：B.
对于AB：函数满足，或，特值并不具有任意性，
所以区间端点值的大小关系并不能确定函数在区间上的单调性，故A，B错误；
对于C：区间和有交集，故函数在区间内单调递增，故C正确，
对于D：区间和没有交集，故不能确定函数在区间内的单调性.
例如在和上递增，但，故D错误．
故选：C.
四：求函数的单调区间
由可得且，
因为开口向下，其对称轴为，
所以的减区间为和
所以的单调增区间为和
故选：C
由，得，解得，
令，则，
因为在上递增，在上递减，而在上递增，
所以在上递增，在上递减，
所以的单调递增区间是，
故选：D
解：因为，对称轴为 ，又开口向下，
又，∴函数的单调递增区间为．
故答案为：
，
函数图象如图所示．
由图象可知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
五：函数单调性的应用
解：由题意可得，解得，
∴整数a的取值可以为.
故选：A
函数的对称轴为，
由题意可知，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：B.
由题意知，解得
故选：D
为上的减函数， 时， 递减，即，①， 时， 递减，即，②且 ，③ 联立①②③解得， .
故选：C.
六：利用单调性比较大小或解不等式
在上单调递增，，，解得：，
实数的取值范围为.
故选：C.
解：由题意，可知：
∵对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，
∴函数f（x）在定义域R上为增函数．
又∵f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，
∴x2+1＞m2﹣m﹣1，
∴m2﹣m﹣1＜1，
即：m2﹣m﹣2＜0．
解得﹣1＜m＜2．
故选：A．
解：函数在区间上单调递增，则任意两个不相等的实数，与应该同号，所以，
故选：C.
由题意，函数在上为减函数.
当时，，，，
则，，，故ACD错误；
对于B，因为，所以，
所以，故B正确；
对于E，因为，所以，故E正确.
故选：BE.
函数的最大（小）值
一：利用图象求函数最值
∵函数是偶函数，而且在[0，7]上为增函数，
∴函数在[-7，0]上是减函数.
又∵函数在x=7和x=-7的左边是增函数，右边是减函数，且f(7)=f(-7)，
∴最大值为f(7)=f(-7)=6.
故选B.
试题分析：由图观察可知函数在和上单调递增，在上单调递减．
所以函数在处取的最大值为．
又由图观察可知，所以函数的最小值为．故C正确．
由题意，函数表示开口向上，且对称轴为的抛物线，
要使得当，函数的最大值为，则满足且，
解得，所以实数的取值范围是.
故选D.
由题：，函数在单调递减，在单调递减，
可以看成函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位，作出图象：
所以函数在递减，在递减，，，
所以函数的值域为.
故答案为：
二：利用单调性求函数最值
y＝在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为，
故选：B.
函数在区间是减函数，
所以时有最大值为1，即A=1，
时有最小值，即B=，
则,
故选：A.
由知，在上是增函数，所以在上递增，所以.
故选：C
∴或∴k＝20.选C.
三：求二次函数的最值
由题意，函数，
可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，则函数在区间上单调递增，其最小值为，
显然不合题意；
当时，则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故函数的最大值为，
因为，令，即，即，
解得或，
又因为，所以.
故选： D.
设，则，则，又，∴，∴当时，取到最小值为.
由题意得：二次函数（）的对称轴为，且函数图象开口向上，
则该函数在上单调递减，
所以，
故选：BCD.
解：因为函数，函数的对称轴为，开口向上，
又在区间上的最小值为，
所以当时，，解得（舍去）或；
当，即时，，解得（舍去）或；
当，即时，．
综上，的取值集合为．
故选：BC．
四：判断二次函数的单调性和求解单调区间
函数,二次函数图像开口向上，
若在区间上递增，
则对称轴x=-a,
即a
故选D.
函数的对称轴为，
由于在上是减函数，所以.
故选：B
函数的对称轴为，
由于在上是减函数，所以.
故选：B
因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，
所以在R上的最小值为，且，
（1）当时，由的值域为，可知必有
所以且，解得，此时
（2）当时，由的值域为，可知必有
所以且，解得，此时
综上可知，
所以的可能的取值为
故选：BCD
五：函数最值的实际应用
1 由图知：的定义域为，值域为，A、B错；
显然在分别递增，但在定义域上不单调，C对；
显然，对应自变量x不唯一，D错.
故选：C
∵对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
又∵，
∴，
又∵f（x）是偶函数，∴f（﹣）＝f（）.
∴.
故选：A.
由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越小，
故函数的图象越来越平缓，
故选：D.
由甲，乙图得进水速度为1，出水速度为2，
对A，由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以A正确；
对BC，从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故B错误C正确；
对D，当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变；也可由题干中的“至少打开一个水口”知D错，故D错误．
故选：AC
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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