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2.2 二次函数的图象与性质 第2课时
素养目标
1.会作出y=ax2(a为常数,且a≠0)的图象,理解二次项系数a取不同值时对二次函数图象的影响.
2.经历探索二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象探究性质的过程,进一步探究二次函数关系式与图象的联系.
◎重点::二次函数y=ax2、y=ax2+c的图象和性质.
【预习导学】
知识点一：函数y=ax2的图象和性质
阅读教材本课时“做一做”前面的内容,画出二次函数y=2x2的图象,完成下列填空.
y=ax2(a≠0)的图象都是　　　　,顶点坐标　　　　,对称轴是　　　　.
1.当a>0时,开口向　　　　,当x=0时,y有最　　　　值　　　　;当x>0时,y随x的增大而　　　　;当x<0时,随着x的值的增大, y的值　　　　.
当a<0时,开口向　　　　,当x=0时,y有最　　　　值　　　　;当x>0时,y随x的增大而　　　　;当x<0时,随着x的值的增大,y的值　　　　.
2.|a|的大小决定了抛物线开口　　　　,|a|　　　　,函数图象张口　　　　,|a|越大,函数图象张口越小.
知识点二：函数y=ax2+c的图象和性质
阅读教材本课时“做一做”及后面的内容,回答下列问题.
　　y=2x2与y=2x2+1这两个函数图象有什么异同 观察图象后完成下表:
开口方向 顶点 对称轴 有最高(低)点 最值
y=2x2 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　
y=2x2+1 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　
　　归纳总结　1.将抛物线y=ax2向上平移c(c>0)个单位长度得到抛物线　　　　;向下平移c(c>0)个单位长度得到抛物线　　　　,简单记为　　　　.
2.a决定抛物线的　　　　,c决定抛物线　　　　.
　已知原点是抛物线y=(m+1)·x2的最高点,则m的取值范围是　　　　.
【合作探究】
任务驱动一：填表:
开口方向 顶点 对称轴 有最高或 最低点 最值 对称轴右侧的增减性
y=x2 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　
y=-4x2-5 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　
任务驱动二：已知抛物线y=(m+1) 开口向下,则m的值为　　　　.
任务驱动三：抛物线y=ax2+k(a≠0)与抛物线y=-5x2的形状相同,且顶点坐标是(0,-4),则其表达式为　　　　.
任务驱动四：将抛物线y=5x2-3向上平移7个单位长度后所得到的抛物线的解析式为　　　　.
任务驱动五：如图,直线l经过A(3,0),B(0,3)两点,且与二次函数y=x2+1的图象在第一象限内相交于点C.求:
(1)△AOC的面积.
(2)二次函数图象顶点D与点A、B组成的三角形的面积.
　　　　
　　方法归纳交流　抛物线y=ax2+k(a≠0)是由抛物线y=ax2(a≠0)向上或向下平移得到的,所以它们的形状、开口方向、对称轴完全相同,只是顶点坐标不同.
1.二次函数y=x2+1的大致图象是 (　　)
　　 A　　 　　 B　　 　　C　 　　　D
2.已知抛物线y=ax2+n与抛物线y=-2x2的开口大小和开口方向相同,且图象上离x轴最近的点到x轴的距离为3.
(1)求a,n的值.
(2)指出抛物线y=ax2+n的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(3)若抛物线y=ax2+n上有点A,点B,试比较y1,y2的大小.
　　　　
　　　　
　　　　
参考答案
【预习导学】
知识点一
抛物线　(0,0)　y轴
1.上　小　0　增大　减小　下　大
　0　减小　增大
2.大小　越小　越大
知识点二
向上　(0,0)　y轴　有最低点　当x=0时,y最小为0　向上　(0,1)　y轴　有最低点　当x=0时,y最小为1
归纳总结　1.y=ax2+c　y=ax2-c 　上加下减
2.开口方向　顶点的纵坐标
对点自测　m<—1
【合作探究】
任务驱动一
向上　(0,0)　y轴　有最低点　当x=0时,y有最小值,是0　y随x的增大而增大
向下　(0,-5)　y轴　有最高点　当x=0时,y有最大值,是-5　y随x的增大而减小
任务驱动二
-2
任务驱动三
y=-5x2-4
任务驱动四
y=5x2+4
任务驱动五
解:(1)设直线AB的关系式为y=kx+b,因为A(3,0),B(0,3),所以解得k=-1,b=3,所以y=-x+3,所以y=x2+1的图象与直线y=-x+3在第一象限的交点坐标为(1,2),所以△AOC的面积为3×2×=3;
(2)二次函数y=x2+1的顶点坐标为D(0,1),所以底BD=2,高为3,所以二次函数图象顶点D与点A、B组成的三角形的面积为3.
素养小测
1.B
2.解:(1)∵抛物线y=ax2+n与抛物线y=-2x2的开口大小和开口方向相同,
∴a=-2.
∵抛物线y=ax2+n图象上与x轴最近的点到x轴的距离为3,
∴n=-3.
(2)当a=-2,n=-3时,抛物线为y=-2x2-3,
开口向下,对称轴是直线x=0,顶点坐标是(0,-3).
(3)∵a=-2,开口向下,且当x=-与x=时函数值相等,当x>0时,y随x的增大而减小,∴y1>y2.

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