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2.4 二次函数的应用 第1课时
素养目标
1.从矩形和窗户透光的最大面积问题看二次函数,体会数学的模型思想和数学应用价值.
2.学会分析和表示不同实际问题中的变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识解决实际问题.
◎重点::应用二次函数解决与图形有关的最值问题.
【预习导学】
知识点一：三角形内的最大矩形问题
几何图形中的有关面积最大值的问题,关键是根据图形的特点,综合运用所学知识,如勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等来寻求等量关系,从而构造出二次函数,再利用二次函数的性质即可求解.
知识点二：复杂几何图形的面积最值问题
在实际问题中求二次函数的最值(最大或最小值)时,必须结合自变量的取值范围来综合考虑,如果所求函数的顶点不在自变量的取值
范围内,则不能直接利用配方或顶点的纵坐标公式计算函数的最值,应结合图形分析求解最值.
　用长8 m的铝合金制成如图所示的矩形框,使窗户的透光面积最大,那么这个窗户的最大透光面积是 (　　)
A. m2
B. m2
C. m2
D.4 m2
【合作探究】
任务驱动一：如图,△ABC是一块锐角三角形材料,边BC=6 cm,高AD=4 cm,要把它加工成一个矩形零件,使矩形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,要使矩形EGHF的面积最大,EG的长应为　　　　cm.
任务驱动二：一养鸡专业户计划用116 m长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍,门MN宽2 m,门PQ和RS的宽都是1 m,怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大
　　　　
　　　　
任务驱动三：把3根长度均为100 cm的铁丝分别围成长方形、正方形和圆,哪个面积最大 为什么
　　　　
任务驱动四：如图,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为6米,底部宽度OM为12米.现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标.
(2)求这条抛物线的解析式.
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB,使点C、D在抛物线上,点A、B点在地面OM上,则这个“支撑架”总长的最大值是多少
　　　　
　　方法归纳交流　求解有关呈抛物线形状实物的问题时,关键是要将实际问题转化为数学问题,恰当地建立直角坐标系,并将已知的线段长或有关数据转化为点的坐标,求出相应的函数关系式,在利用关系式求解问题的过程中,特别要注意距离或线段长度与点坐标相互转化时的坐标符号.
　如图,D是边长为4的正△ABC的边BC上一点,ED∥AC交AB于点E,DF⊥AC交AC于点F,设DF=x.
(1)求△EDF的面积y与x的函数表达式和自变量x的取值范围.
(2)当x为何值时,△EDF的面积最大 最大面积是多少
参考答案
【预习导学】
对点自测
C
【合作探究】
任务驱动一
2
任务驱动二
解:设鸡舍宽x m,长y m,4x-2+2y-2=116,即2x+y=60,y=60-2x,S=xy=(60-2x)x=60x-2x2,根据抛物线顶点坐标式得出x=15,y=60-2x=30,S=450 m2.
答:鸡舍长30 m,宽15 m时,最大面积为450 m2.
任务驱动三
解:圆的面积最大,正方形其次,长方形最小.
圆:C=2πr,所以r= cm, 面积S=πr2=≈796.2 cm2.
正方形:C=4a,边长a=25 cm, 面积S=a2=625 cm2.
长方形:设长为x cm,则宽为(50-x)cm,设矩形的面积为y cm2,y=x(50-x),y=-x2+50x,所以当x=25时,y最大,而此时矩形的长和宽相等,即为正方形.
任务驱动四
解:(1)M(12,0),P(6,6).
(2)设该抛物线解析式为y=a(x-6)2+6,
∵抛物线y=a(x-6)2+6经过点(0,0),
∴0=a(0-6)2+6,即a=-,
∴该抛物线解析式为y=-(x-6)2+6,即y=-x2+2x.
(3)设A(m,0),则B(12-m,0),C12-m,-m2+2m,Dm,-m2+2m,
∴“支撑架”总长AD+DC+CB=-m2+2m+(12-2m)+-m2+2m=-m2+2m+12=-(m-3)2+15.
∵此二次函数的图象开口向下,
∴当m=3米时,AD+DC+CB有最大值为15米.
素养小测
解:(1)易得△BDE是等边三角形,∠FDC=30°,∴CD==x,∠EDF=90°,BD=BC-CD=ED=4-x.
∴y=DF·ED=x4-x=-x2+2x,DF最长为正三角形的高,∴自变量x的取值范围0(2)当x=时,△EDF的面积最大,最大面积是.

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