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2.5 二次函数与一元二次方程 第1课时
素养目标
1.认识二次函数与一元二次方程之间存在的联系.
2.能根据二次函数图象与x轴交点的个数来判断相应一元二次方程的根的个数.
◎重点::利用二次函数图象与x轴交点的关系来解决问题.
【预习导学】
知识点一：二次函数与x轴的交点
阅读教材本课时“想一想”前面的内容,并回答下列问题.
1.抛物线与x轴的交点:二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元二次方程ax2+bx+c=0的　　　　.
2.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
①有两个交点 　　　　;
②有一个交点(顶点在x轴上) 　　　　;
③没有交点 　　　　.
知识点二：二次函数与一元二次方程的关系
利用数形结合,借助于图象来研究一元二
次方程的解,进而分析与解决实际问题的解.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的y取不同值,则对应了不同的一元二次方程.
1.若抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,则m的取值范围是 (　　)
A.m>9 B.m≥9
C.m<-9 D.m≤-9
2.如图,一元二次方程ax2+bx+c=0的解为　　　　.
【合作探究】
任务驱动一：已知二次函数y=kx2-7x-7的图象与x轴有交点,则k的取值范围为　　　　.
任务驱动二：特殊代数式求值,其中ax2+bx+c=0.
看图填空:(1)a+b+c　　　　0;(2)a-b+c　　　　0;(3)2a-b　　　　0.
任务驱动三：已知二次函数y=x2-2x-3.
(1)求函数图象的顶点坐标,与坐标轴的交点坐标,并画出函数的大致图象.
(2)根据图象直接回答:当y<0时,x的取值范围是　　　　;当y>-3时,x的取值范围是　　　　.
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　
任务驱动四：已知二次函数y=-x2+(m-2)x+m+1.
(1)试说明:不论m取何实数,这个二次函数的图象必与x轴有两个交点.
(2)m为何值时,这两个交点都在原点的左侧
(3)m为何值时,这个二次函数图象的对称轴是y轴
　　　　
1.抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,则抛物线与x轴的另一个交点坐标为　　　　.
2.已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m,0),(-3m,0)(m≠0).
(1)证明:4c=3b2.
(2)若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求此二次函数的最小值.
　　　　
　　　　
　　　　
参考答案
【预习导学】
知识点一
1.两个实数根
2.Δ>0　Δ=0　Δ<0
对点自测
1.A
2.-1或4
【合作探究】
任务驱动一
k≥-且k≠0
任务驱动二
<　>　<
任务驱动三
解:(1)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴抛物线的顶点坐标为(1,-4).
当x=0时,y=x2-2x-3=-3,则抛物线与y轴的交点坐标为(0,-3),
当y=0时,x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,则抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0).
如图.
(2)-1x<0或x>2.
任务驱动四
解:(1)Δ=(m-2)2-4×(-1)×(m+1)=m2+8,由m2≥0,得m2+8>0,所以Δ>0,即不论m取何实数,这个二次函数的图象必与x轴有两个交点.
(2)由x1+x2=m-2<0,得m<2;由x1·x2=-m-1>0,得m<-1;又由(1),Δ>0,因此,当m<-1时,两个交点都在原点的左侧.
(3)由x1+x2=m-2=0,得m=2,因此,当m=2时,此二次函数的图象的对称轴是y轴.
素养小测
1.(-3,0)
2.解:(1)证明:依题意,m、-3m是一元二次方程x2+bx-c=0的两根,
根据一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=m+(-3m)=-b,x1·x2=m·(-3m)=-c,
∴b=2m,c=3m2,
∴4c=3b2=12m2.
(2)依题意,-=1,即b=-2,
由(1)得c=b2=×(-2)2=3,
∴y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴二次函数的最小值为-4.

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