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2.5 二次函数与一元二次方程 第2课时
素养目标
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,利用图象体会方程与函数之间的联系,会用图象法求方程的近似根.
2.知道一元二次方程的根就是二次函数的图象与直线y=m(m是实数)交点的横坐标,发展估算能力,体会数形结合的数学思想.
◎重点::二次函数图象与x轴(或y=m)交点的横坐标与一元二次方程的根的关系.
【预习导学】
知识点一：用图象法估算一元二次方程的根
阅读教材本课时“做一做”前面的内容,回答下列问题.
在估计一元二次方程x2+2x-10=0的近似根时利用了哪个函数的图象 为什么选择此函数
　　　　
知识点二：二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=m(m是实数)的关系
阅读教材本课时“做一做”,回答下列问题.
一般地,已知二次函数y=ax2+bx+c的值为m,求自变量x的值(或求二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=m的交点的横坐标),可以看作解一元二次方程　　　　.反之,解一元二次方程ax2+bx+c=m也可以看作已知二次函数y=ax2+bx+c的值为m,求自变量x的值.
1.根据下列表格中的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)的自变量x与函数y的对应值,判断ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为 (　　)
x 1.43 1.44 1.45 1.46
y=ax2+bx+c -0.095 -0.046 0.003 0.052
A.1.40C.1.442.如图,一元二次方程ax2+bx+c=3 的解为　　　　.
【合作探究】
任务驱动一：已知函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,且a≠0)的图象如图所示,则关于x的方程ax2+bx+c-4=0的根的情况是 (　　)
A.有两个不相等的正实数根
B.有两个异号实数根
C.有两个相等实数根
D.无实数根
任务驱动二：关于x的方程mx2+mx+5=m有两个相等的实数根,则相应的二次函数y=mx2+mx+5-m与x轴必然相交于　　　　点,此时m=　　　　.
任务驱动三：利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式.
(1)方程ax2+bx+c=0的根为　　　　.
(2)方程ax2+bx+c=-3的根为　　　　.
(3)方程ax2+bx+c=-4的根为　　　　.
(4)不等式ax2+bx+c>0的解集为　　　　.
(5)不等式ax2+bx+c<0的解集为　　　　.
　　变式训练　二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象解答下列问题:
(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根.
(2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集.
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围.
(4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
　　　　
　　　　
1.已知二次函数y=x2-x-2的图象如图所示,则不等式x2-x-2>0的解集为 (　　)
A.-1C.x>2或x<-1 D.x>2且x<-1
2.已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一个根为 2.
(1)求q关于p的关系式.
(2)求证:抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点.
　　　　
参考答案
【预习导学】
知识点一
y=x2+2x-10.因为一元二次方程x2+2x-10=0的根即为二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标.
知识点二
ax2+bx+c=m
对点自测
1.C
2.0或2
【合作探究】
任务驱动一
A
任务驱动二
一　4
任务驱动三
(1)-1或3
(2)0或2
(3)1
(4)x<-1或x>3
(5)-1变式训练
解:(1)观察图象,抛物线与x轴交于两点(1,0),(3,0),故方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=1,x2=3.
(2)不等式ax2+bx+c>0,反映在函数图象上,应为图象在x轴上方的部分,因此不等式ax2+bx+c>0的解集为1(3)因为抛物线的对称轴为x=2且开口向下,所以在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,故此时自变量x的取值范围为x>2.
(4)若使方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,也就是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与直线y=k有2个不同的交点,观察图象可知抛物线的顶点的纵坐标为2,所以只有当k<2时才能满足条件.
素养小测
1.C
2.解:(1)由题意,得22+2p+q+1=0,即q=-(2p+5).
(2)证明:∵一元二次方程x2+px+q=0的判别式Δ=p2-4q,由(1)得Δ=p2+4(2p+5)=p2+8p+20=(p+4)2+4>0,∴一元二次方程x2+px+q=0有两个不相等的实根,∴抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点.

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