资源简介

3.2 圆的对称性
素养目标
1.知道圆的对称性,明白圆在运动变化中的特点.
2.掌握在同圆或等圆中,圆心角、弧、弦之间的对应相等关系定理.
◎重点::圆心角、弧、弦之间关系定理.
【预习导学】
知识点一：圆的对称性
阅读教材本课时“做一做”前面的内容,并回答下列问题.
圆既是　　　　,又是　　　　,把圆绕着圆心旋转任意角度,均与原来的图形　　　　,这就是圆的旋转不变性.
知识点二：圆心角、弧、弦之间的相等关系定理
阅读教材本课时“做一做”及后面的内容,思考下列问题.
　　在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别　　　　.
　如图,在☉O中,=,∠A=30°,则∠B的度数为 (　　)
A.150°
B.75°
C.60°
D.15°
【合作探究】
任务驱动一：下列结论中,不正确的是 (　　)
A.圆是轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴
B.圆不仅是特殊的轴对称图形,也是特殊的中心对称图形
C.当圆绕它的圆心旋转89°57'时,不会与原来的圆重合
D.圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个
任务驱动二：下列命题中,正确的是 (　　)
①顶点在圆心的角是圆心角;②相等的圆心角,所对的弧也相等;③两条弦相等,它们所对的弧也相等;④在等圆中,圆心角不等,所对的弦也不等.
A.①和② B.①和③
C.①和④ D.①②③④
任务驱动三：如图,AB、CD、EF都是☉O的直径,且∠1=∠2=∠3,弦AC,EB,DF是否相等 为什么
　　　　
任务驱动四：如图,弦DC,FE的延长线交于☉O外一点P,直线PAB经过圆心O,请你根据现有圆形,添加一个适当的条件:　　　　,使∠1=∠2.
任务驱动五：如图,在☉O中,弦AB的长是半径OA的倍,C为的中点,AB,OC相交于点M.试判断四边形OACB的形状,并说明理由.
　　　　
　　　
1.下列说法中,正确的是 (　　)
A.等弦所对的弧相等
B.等弧所对的弦相等
C.相等的圆心角所对的弦也相等
D.相等的弦所对的圆心角也相等
2.如图,已知☉O的半径等于1 cm,AB是直径,C,D是☉O上的两点,且==,则四边形ABCD的周长等于 (　　)
A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm
　　3.如图,在☉O中,=,有下列结论:①AB=CD;②AC=BD;③∠AOC=∠BOD;④=.其中正确的是　　　　(填序号).
4.如图,在☉O中,=,∠ACB=60°.
(1)求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.
(2)若D是的中点,求证:四边形OADB是菱形.
　　
　　　　
　　　　
参考答案
【预习导学】
知识点一
轴对称图形　中心对称图形　重合
知识点二
相等
对点自测
B
【合作探究】
任务驱动一
C
任务驱动二
C
任务驱动三
解:弦AC,EB,DF相等.理由:因为∠AOC=∠1,∠BOE=∠2,∠DOF=∠3,而∠1=∠2=∠3,所以∠AOC=∠BOE=∠DOF.即弦AC,EB,DF相等.
任务驱动四
DC=FE(答案不唯一,符合要求即可)
任务驱动五
解:菱形.
理由:由=,得∠BOC=∠AOC.故OM⊥AB,从而AM=BM.
在Rt△AOM中,sin∠AOM==,故∠AOM=60°,所以∠BOM=60°.由于OA=OB=OC,
故△BOC与△AOC都是等边三角形,故OA=AC=BC=BO=OC,所以四边形OACB是菱形.
素养小测
1.B　2.B
3.①②③④
4.证明:(1)∵=,
∴AB=AC.
∵∠ACB=60°,∴△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC,∴==,∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.
(2)∵∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°,OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=30°.
∵∠ACB=60°,∠ADB+∠ACB=180°,
∴∠ADB=120°.
∵=,∴AD=BD,∴∠DAB=∠DBA=30°,
∴∠DAB=∠OBA,∠DBA=∠OAB,
∴AD∥OB,BD∥AO,∴四边形OADB是平行四边形.
∵OA=OB,∴四边形OADB是菱形.

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