资源简介

*3.3 垂径定理
素养目标
1.会运用圆的对称性探究垂径定理,并会运用垂径定理解决相应问题.
2.知道垂径定理的逆定理并会运用它解决问题.
◎重点::知道垂径定理和逆定理及其应用.
【预习导学】
知识点一：垂径定理
阅读教材本课时“想一想”前面的内容,并回答下列问题.
1.垂直于弦的　　　　平分　　　　,并且平分　　　　.
2.在垂径定理中要注意什么问题呢
　　　　
知识点二：垂径定理的逆定理
阅读教材本课时“想一想”及其后面的内容,并回答问题.
平分弦(不是直径)的直径　　　　,并且　　　　弦所对的弧.
1.如图,AB是☉O的弦,OC⊥AB于点C.若AB=8,OC=3,则半径OB的长为 (　　)
A.3
B.4
C.5
D.10
2.如图,☉O的半径为13,弦AB=24,M是AB的中点,则OM=　　　　.
【合作探究】
任务驱动一：如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,则下列结论正确的是 (　　)
A.OE=BE
B.=
C.△BOC是等边三角形
D.四边形ODBC是菱形
任务驱动二：如图,已知,请你利用尺规作图的方法作出的中点,说出你的作法.
任务驱动三：☉O的半径为10 cm,弦AB∥CD,AB=12 cm,CD=16 cm,则AB和CD的距离为 (　　)
A.2 cm B.14 cm
C.2 cm或14 cm D.10 cm或20 cm
任务驱动四：如图,AB是☉O的弦(非直径),C,D是AB上两点,并且AC=BD.试判断OC与OD的数量关系并说明理由.
　　　　
任务驱动五：某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需确定管道的半径,如图,这是水平放置的破裂管道有水部分的截面.维修人员测得这个输水管道有水部分的水面宽AB=16 cm,水面最深地方的高度为4 cm,那么管道的半径是多少
　　　　
方法归纳交流　在解决垂径定理应用这类问题时,要抓住弦长、半径、圆心到弦的距离构造直角三角形,然后利用勾股定理列出方程来解决.
　　1.如图,这是一个隧道的横截面,若它的形状是以O为圆心的圆的一部分,路面AB=10米,净高CD=7米,则此圆的半径OA等于 (　　)
A.5米 B.7米 C.米 D.米
　　2.如图,已知☉O的半径为6,弦AB的长为8,P是AB延长线上一点,连接OA,OP,tan∠OPA=,则BP的长为　　　　.
3.图1是博物馆展出的古代车轮实物,《周礼·考工记》记载:“……故兵车之轮六尺有六寸,田车之轮六尺有三寸……”据此,我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型,请将以下推理过程补充完整.
图1　　　　　　图2
如图2,在车轮上取A,B两点,设所在圆的圆心为O,半径为r cm.
作弦AB的垂线OC,垂足为D,则D是AB的中点.
(1)其推理依据:　　　　.
(2)经测量:AB=90 cm,CD=15 cm,则AD=　　　　cm.
(3)用含r的代数式表示OD,则OD=　　　　cm.
(4)在Rt△OAD中,由勾股定理可列出关于r的方程:r2=　　　　,解得r=　　　　.
参考答案
【预习导学】
知识点一
1.直径　这条弦　弦所对的弧
2.(1)条件中的“弦”可以是直径.(2)结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧.
知识点二
垂直于弦　平分
对点自测
1.C　2.5
【合作探究】
任务驱动一
B
任务驱动二
解:1.连接AB;2.作AB的中垂线,交于点C,点C就是所求的点.
任务驱动三
C
任务驱动四
解:OC=OD.理由如下:如图,过点O作OE⊥AB于E,则AE=BE,
又∵AC=BD,∴CE=DE,∴OE是CD的中垂线,∴OC=OD.
任务驱动五
解:如图,OE⊥AB交AB于点D,
则DE=4,AB=16,AD=8.
设半径为R,∴OD=OE-DE=R-4,
由勾股定理得OA2=AD2+OD2,
即R2=82+(R-4)2,
解得R=10.
∴管道的半径是10 cm.
素养小测
1.D　2.2
3.(1)垂直于弦的直径平分弦
(2)45　(3)(r-15)　(4)452+(r-15)2　75

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