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3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时
素养目标
1.知道圆周角的概念,会证明圆周角定理.
2.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,学会以特殊情况为基础,通过转化来解决一般性问题的方法,同时体会分类、归纳等数学思想方法.
3.知道圆周角定理的第一个推论并会利用其解决相关问题.
◎重点::圆周角定理及推论1.
【预习导学】
知识点一：圆周角的概念
阅读教材本课时相关内容,并回答下列问题.
圆周角的两个特征:(1)　　　　;(2)　　　　.
知识点二：圆周角定理及其推论
1.同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
2.在　　　　中,同弧或等弧所对的　　　　相等.
1.如图,四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形,A、B、O是小正方形顶点,☉O的半径为1,P是☉O上的点,且位于右上方的小正方形内,则∠APB等于 (　　)
A.30°　　 B.45°　　 C.60°　　 D.90°
　　2.如图,AB、CD是☉O的两条弦,连接AD、BC.若∠BAD=70°,则∠BCD的度数为 (　　)
A.40° B.50° C.60° D.70°
【合作探究】
任务驱动一：如图,已知圆心角∠AOB=100°,求圆周角∠ACB,∠ADB的度数.
　　　　
任务驱动二：如图,点A,B,C都在圆O上,OC⊥OB,点A在劣弧BC上,且OA=AB,求∠ABC的度数.
　　　　
任务驱动三：如图,AB,CD是☉O的弦,AB⊥CD.
(1)若∠ADC=20°,求∠BOD的度数.
(2)若∠ADC=α,求∠AOC+∠BOD.
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　
方法归纳交流　运用圆周角定理需注意的是在圆中,一条弦(非直径)所对的圆周角应该有两种情况,不要漏解.
任务驱动四：如图,已知△ABC是等边三角形,以BC为直径的☉O分别交AB,AC于D,E两点.求证:△ODE是等边三角形.
　　　　
　　　　
　　　　
任务驱动五：如图,在边长为1的小正方形网格中,☉O的圆心在格点上,求cos∠AED的值.
　如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,且∠AOB=2∠BOC.
求证:∠ACB=2∠BAC.
　　
　　　　
　　　　
参考答案
【预习导学】
知识点一
角的顶点在圆上　两边在圆内的部分是圆的两条弦
知识点二
2.同圆或等圆　圆周角
对点自测
1.B　2.D
【合作探究】
任务驱动一
解:设优弧ADB所对的圆心角为∠1.∵∠AOB=100°,∴∠D=∠AOB=50°,∠1=360°-∠AOB=260°,
∴∠ACB=∠1=130°,
因此∠ACB,∠ADB的度数分别为130°,50°.
任务驱动二
解:∵OA=OB,OA=AB,
∴OA=OB=AB,
即△OAB是等边三角形,
∴∠AOB=60°.
∵OC⊥OB,
∴∠COB=90°,
∴∠COA=90°-60°=30°,
∴∠ABC=15°.
任务驱动三
解:(1)∵AB⊥CD,
∴∠BAD+∠ADC=90°,
∴∠BAD=90°-20°=70°,
∴∠BOD=2∠BAD=2×70°=140°.
(2)∵∠BAD+∠ADC=90°,
∴∠BAD=90°-α,
∴∠BOD=2∠BAD=2(90°-α)=180°-2α.
∵∠AOC=2∠ADC=2α,
∴∠AOC+∠BOD=2α+180°-2α=180°.
任务驱动四
证明:∵△BAC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°.
∵OD=OB=OE=OC,
∴△OBD和△OEC都是等边三角形,∴∠BOD=∠COE=60°,∴∠DOE=60°,
∴△ODE是等边三角形.
任务驱动五
解:∵=,
∴∠AED=∠ABC.
在Rt△ABC中,AC=1,AB=2,
由勾股定理得BC=,
∴cos∠AED=cos∠ABC==.
素养小测
证明:∠ACB=∠AOB,∠BAC=∠BOC,
又∵∠AOB=2∠BOC,
∴∠ACB=2∠BAC.

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