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3.4 圆周角和圆心角的关系 第2课时
素养目标
1.知道圆周角定理的推论2:直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径,并会利用其解决问题.
2.知道圆内接四边形及外接圆的概念,圆内接四边形的性质及相关应用.
3.经历探索的过程,进一步体会转化的思想以及分类归纳的思想方法.
◎重点::圆周角定理推论2与圆内接四边形的性质.
【预习导学】
知识点一：圆周角定理的推论2
阅读教材本课时“议一议”前面的内容,并回答下列问题.
(1)直径所对的圆周角是　　　　;
(2)90°的圆周角所对的弦是　　　　.
知识点二：圆内接四边形
阅读教材本课时“议一议”及其后面的内容,回答下列问题.
　　(1)圆内接四边形的对角　　　　;(2)圆内接四边形的一个角的外角等于这个角的　　　　.
如图,四边形ABCD内接于☉O,E为DC延长线上一点,∠A=50°,则∠BCD的度数为 (　　)
A.40°　　　　 B.50°
C.60° D.130°
【合作探究】
任务驱动一：如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,点E在弦DC的延长线上,如果∠BOD=120°,那么∠BCE的度数为　　　　.
任务驱动二：如图,☉O是正方形ABCD的外接圆,点P在☉O上,则∠APB=　　　　.
任务驱动三：如图,四边形ABCD内接于圆,延长AD,BC相交于点E,F是BD延长线上的点,且DE平分∠CDF,求证:AB=AC.
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　
任务驱动四：如图,已知AB为☉O的直径,AC为弦,OD∥BC,交AC于点D,BC=4 cm.
(1)求证:AC⊥OD.
(2)求OD的长.
(3)若2sin A-1=0,求☉O的直径.
　　　　
　　　　
任务驱动五：如图,四边形ABCD是以O为圆心,AB为直径的半圆的内接四边形,对角线AC,BD相交于点E.
(1)求证:△DEC∽△AEB.
(2)当∠AED=60°时,求△DEC与△AEB的面积比.
　　　　
　　　　
　　　　
1.如图,AB是☉O的直径,∠ACD=15°,则∠BAD的度数为 (　　)
A.15°
B.30°
C.60°
D.75°
2.如图,ABCD是☉O的内接四边形,DP∥AC,交BA的延长线于点P,求证:AD·DC=PA·BC.
　　　　
　　　　
参考答案
【预习导学】
知识点一
(1)直角　(2)直径
知识点二
(1)互补　(2)内对角
对点自测
D
【合作探究】
任务驱动一
60°
任务驱动二
45°
任务驱动三
证明:∵四边形ABCD内接于圆,
∴∠ABC+∠ADC=180°.
又∵∠CDE+∠ADC=180°,
∴∠ABC=∠CDE.
∵DE平分∠CDF,∴∠CDE=∠EDF.
∵∠ACB=∠ADB,∠ADB=∠EDF,
∴∠ACB=∠EDF,
∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC.
任务驱动四
解:(1)证明:∵AB是☉O的直径,∴∠C=90°.
∵OD∥BC,∴∠ADO=∠C=90°,∴AC⊥OD.
(2)∵OD∥BC,又∵O是AB的中点,
∴D是AC的中点,
∴OD是△ABC的中位线,
∴OD=BC=×4=2.
(3)∵2sin A-1=0,∴sin A=,∴∠A=30°.
在Rt△ABC中,∠A=30°,
∴BC=AB,∴AB=2BC=8,
即☉O的直径是8 cm.
任务驱动五
解:(1)证明:∵∠CDE=∠EAB,∠DCE=∠EBA,
∴△DEC∽△AEB.
(2)∵AB是直径,∴∠ADB=90°.
∵∠AED=60°,∴∠DAE=30°,
∴AE=2DE,
∴S△DEC∶S△AEB=DE2∶AE2=1∶4.
素养小测
1.D
2.证明:如图,连接BD.
∵DP∥AC,
∴∠PDA=∠DAC.
∵∠DAC=∠DBC,
∴∠PDA=∠DBC.
∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠DAP=∠DCB,
∴△PAD∽△DCB,
得PA∶DC=AD∶BC,
即AD·DC=PA·BC.

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