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3.5 确定圆的条件
素养目标
1.知道不在同一条直线上的三个点确定一个圆,以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法,知道三角形的外接圆、三角形的外心等概念.
2.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程,提高自己的探索能力.
3.通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题,体验解决问题策略的多样性.
◎重点::确定圆的条件.
【预习导学】
知识点一：确定圆的条件
阅读教材本课时“做一做”,并回答下列问题.
(1)过已知一点可作　　　　;(2)过已知两点可作　　　　;(3)过不在同一条直线上的三点可以作　　　　,并且只能作　　　　.不在同一条直线上的三个点　　　　一个圆.
知识点二：三角形的外接圆与圆的内接三角形
阅读教材本课时“做一做”及后面的内容,完成下列填空.
1.经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫作三角形的　　　　(circumcircle
of triangle).这个三角形叫这个圆的　　　　.外接圆的圆心是　　　　,叫作三角形的
　　　　(circumcenter).
2.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外心位置有怎样的特点 锐角三角形的外心在　　　　,直角三角形的外心在　　　　,钝角三角形的外心在　　　　.
如图,☉O是△ABC的外接圆,AC=4,∠ABC=∠DAC,则直径AD为　　　　　　　.
【合作探究】
任务驱动一：下列命题正确的个数有 (　　)
①经过三点一定可以作圆;②任意一个三角形有一个外接圆,而且只有一个外接圆;③任意一个圆有且只有一个内接三角形;④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,且都在三角形的内部.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
任务驱动二：如图,有一个圆形铁片,用圆规和直尺将它分成面积相等的两部分.
任务驱动三：如图,点A,B,C表示三个村庄,现要建一座深井水泵站,向三个村庄分别送水,为使三条输水管长度相同,水泵站应建在何处 请画示意图,并说明理由.
任务驱动四：如图,☉O是△ABC的外接圆,C是优弧AB上一点,连接OA,设∠OAB=α,∠C=β.
(1)当α=35°时,求β的度数.
(2)猜想α与β之间的关系,并给予证明.
　　　　
　　　　
　　　　
　　　如图,已知△ABC的一个外角∠CAM=120°,AD是∠CAM的平分线,且AD与△ABC的外接圆交于点F,连接FB,FC,且FC与AB交于点E.
(1)判断△FBC的形状,并说明理由.
(2)请给出一个能反映AB,AC和FA的数量关系的一个等式,并说明你给出的等式成立.
　　　　
　　　　
参考答案
【预习导学】
知识点一
(1)无数个圆　(2)无数个圆　(3)一个圆　一个圆　确定
知识点二
1.外接圆　内接三角形　三角形三边垂直平分线的交点　外心
2.三角形的内部　斜边上　三角形的外部
对点自测
4
【合作探究】
任务驱动一
D
任务驱动二
解:如图.
任务驱动三
解:如图,连接AB,BC,分别作AB,BC的中垂线,两线交于点O,点O就是所求.
任务驱动四
解:(1)如图,连接OB,则OA=OB.
∵∠OAB=35°,
∴∠OBA=∠OAB=35°.∵∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA,
∴∠AOB=180°-35°-35°=110°,
∴β=∠C=∠AOB=55°.
(2)α与β之间的关系是α+β=90°.
证明:∵∠OBA=∠OAB=α,
∴∠AOB=180°-2α.
∵β=∠C=∠AOB,
∴β=(180°-2α)=90°-α,
∴α+β=90°.
素养小测
解:(1)△FBC是等边三角形,
∵∠CAM=120°,∠CAM的平分线AD与BC的延长线相交于点D,
∴∠MAD=∠DAC=60°,∠CAB=180°-∠MAC=60°,∴∠BFC=∠BAC=60°,∠BAF=∠MAD=60°,∴∠BCF=∠BAF=60°,∴∠FBC=60°,∴△FBC为等边三角形.
(2)AB=AC+FA.在AB上取一点G,使AG=AC,则由于∠BAC=60°,故△AGC是等边三角形,从而∠BGC=∠FAC=120°,又∠CBG=∠CFA,BC=FC,故△BCG≌△FCA,从而BG=FA,又AG=AC,∴AC+FA=AG+BG=AB.

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