资源简介

*3.7 切线长定理
素养目标
1.知道切线长的概念.
2.知道切线长定理,并会利用它进行相关的计算与证明,进一步体会方程的思想.
◎重点::切线长定理及应用.
【预习导学】
知识点：切线长的概念
阅读教材本课时相关内容,并回答下列问题.
1.过圆外一点作圆的切线,这点和　　　　之间的　　　　叫作这点到圆的切线长.
2.切线和切线长有何区别
　　　　
3.过圆外一点画圆的两条切线,它们的切线长　　　　.
1.如图,PA,PB是☉O的切线,切点分别是A,B,若PB=5 cm,则PA=　　　　cm.
2.如图,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,∠B=50°,∠C=60°,则∠EDF=　　　　.
【合作探究】
任务驱动一：如图,在△MBC中,∠B=90°,∠C=60°,MB=2,点A在MB上,以AB为直径作☉O与MC相切于点D,求CD的长.
　　　　
任务驱动二：如图,△ABC的内切圆☉O与AC,BC,AB分别相切于点D,E,F,且AC=8,BC=6,AB=10.求AD,CE,BF的长.
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　
任务驱动三：在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆形的容器,俯视图如图所示,在俯视图中圆与两边的墙分别切于B,C两点.如果用带刻度的直尺测量圆形容器的直径,发现直尺的长度不够.
(1)写出此图中相等的线段.
(2)请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法.(写出主要解题过程)
　　　　
　　　　
　　　　
任务驱动四：如图,P为☉O外一点,PA,PB为☉O的切线,A和B是切点,PA=10,∠P=50°,F是优弧AB上一点.
(1)求∠AFB的度数.
(2)若CD是☉O的切线,切点为E,求△PCD的周长.
　　　　
1.如图,AB是☉O的直径,点C为☉O外一点,CA,CD是☉O的切线,其切点分别为A,D,连接BD,AD.若∠ACD=48°,则∠DBA的大小是 (　　)
A.32°
B.48°
C.60°
D.66°
2.如图,边长为1的正方形ABCD的边AB是☉O的直径,CF是☉O的切线,E为切点,点F在AD上,BE是☉O的弦,求△CDF的面积.
参考答案
【预习导学】
知识点
1.切点　线段
2.切线和切线长是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量.
3.相等
对点自测
1.5
2.55°
【合作探究】
任务驱动一
解:在Rt△BCM中,tan 60°==,
∴BC==2.
∵AB为☉O的直径,且AB⊥BC,
∴BC为☉O的切线,又CD也为☉O的切线,
∴CD=BC=2.
任务驱动二
解:由切线长定理可得AD=AF,CD=CE,BE=BF.
设AD=AF=x,
则CD=CE=8-x,BE=BF=10-x.
由CE+BE=BC,可得(8-x)+(10-x)=6,
解得x=6,
∴AD=6,CE=2,BF=4.
任务驱动三
解:(1)根据切线长定理,知AB=AC.
(2)如图,连接OB,OA.
根据切线长定理,得∠OAB=60°.
在直角三角形AOB中,OB=AB,
则只需测得AB的长,即可求得圆的直径.
任务驱动四
解:(1)如图,连接OA,OB.
∵PA,PB为☉O的切线,
∴∠PAO=∠PBO=90°.
∵∠P=50°,
∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°,
∴∠AFB=65°.
(2)∵CD是☉O的切线,∴CA=CE,DB=DE,
∴AC+BD=CD,
△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+AC+BD=PA+PB=20.
素养小测
1.D
2.解:设AF=x.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DAB=90°,
∴DA⊥AB,
∴AD是☉O的切线.
∵CF是☉O的切线,E为切点,
∴EF=AF=x,
∴DF=1-x.
∵CB⊥AB,
∴CB为☉O的切线,
∴CB=CE,
∴CF=CE+EF=CB+EF=1+x.
∴在Rt△CDF中,由勾股定理得到CF2=CD2+DF2,
即(1+x)2=1+(1-x)2,
解得x=,
∴DF=1-x=,
∴S△CDF=×1×=.

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