资源简介

3.8 圆内接正多边形
素养目标
1.知道圆内接正多边形和正多边形外接圆的概念.
2.知道正多边形的中心、半径、中心角、边心距的概念.
3.会用直尺和圆规作出一些特殊的圆的内接正多边形.
◎重点::圆内接正多边形的有关计算与作用.
【预习导学】
知识点：圆内接正多边形的有关概念
阅读教材本课时相关内容,并回答下列问题.
1.顶点都在　　　　的　　　　多边形叫作圆内接正多边形,这个圆叫作该正多边形的　　　　.
2.用尺规作一个已知圆的内接正四边形.
　　　　
　　　　
1.若正方形的边长为6,则该正方形的边心距是　　　　.
2.如图,四边形ABCD是☉O的内接正方形,P是上不同于点C的任意一点,则∠BPC的大小是 (　　)
A.22.5°
B.45°
C.30°
D.50°
【合作探究】
任务驱动一：用尺规作一个已知圆的内接正三角形.
　　　　
　　　　
任务驱动二：如图,正方形ABCD的边心距OE= cm,求这个正方形外接圆☉O的面积.
　　　　
　　　　
　　　　
任务驱动三：如图1,2,3,…,n,M,N分别是☉O的内接正三角形ABC,正方形ABCD,正五边形ABCDE,…,正n+2边形ABCDE的边AB,BC上的点,且BM=CN,连接OM,ON.
(1)求图1中∠MON的度数.
(2)图2中∠MON的度数是　　　　　　,图3中∠MON的度数是　　　　　　.
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).
　　　　
　　　　
　
1.如图,正五边形ABCDE内接于☉O,则∠CBD的度数是 (　　)
A.30° B.36° C.60° D.72°
2.如图,连接正八边形ABCDEFGH的两条对角线AC,CG,则∠ACG的度数为 (　　)
A.22.5° B.30° C.45° D.60°
3.如图,正五边形ABCDE与☉O相切于点A和点C,则∠AOC度数为 (　　)
A.126° B.135° C.144° D.150°
4.如图,正方形ABCD内接于☉O,☉I是△ABC的内切圆,则☉O的半径与☉I的半径的比值是　　　　　　　　.
5.有一个亭子(如图),它的地基是半径为8 m的正六边形,求地基的周长和面积.(结果保留根号)
　　　　
参考答案
【预习导学】
知识点
1.同一圆上　正　外接圆
2.作法:(1)过圆心O作直径AC;
(2)用尺规作直径AC的垂直平分线,分别交圆于点B、D;
(3)依次连接AB、BC、CD、DA,就得到圆的内接正四边形ABCD.
对点自测
1.3　2.B
【合作探究】
任务驱动一
解:如图.(1)以圆周上任意一点为圆心,以圆的半径为半径作弧,与圆周交于一点;
(2)以得到的交点为圆心,以圆的半径为半径作弧与圆周交于另一点,依次下去,在圆周上得到六个点;
(3)依次每隔一点相连接,就得到了这个圆的一个内接正三角形.
任务驱动二
解:如图,连接OC,OD.
∵☉O是正方形ABCD的外接圆,∴O是对角线AC,BD的交点,
∴∠ODE=∠ADC=45°.
∵OE⊥CD,∴∠OED=90°,
∴∠DOE=180°-∠OED-ODE=45°,
∴OE=DE=,由勾股定理得OD==2,
∴这个正方形外接圆☉O的面积是π·2×2=4π.
答:这个正方形外接圆☉O的面积是4π.
任务驱动三
解:如图,(1)分别连接OB,OC.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵OC=OB,O是外接圆的圆心,
∴CO平分∠ACB,
∴∠OBC=∠OCB=30°,∴∠OBM=∠OCN=30°.
∵BM=CN,OC=OB,∴△OMB≌△ONC,∴∠BOM=∠NOC.
∵∠BAC=60°,∴∠BOC=120°,
∴∠MON=∠BOC=120°.
(2)90°;72°.
(3)∠MON=.
素养小测
1.B　2.C　3.C　4.+1
5.解:如图,连接OB,OC.
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴∠BOC==60°,
∴△OBC是等边三角形,
∴BC=OB=8 m,
∴正六边形ABCDEF的周长=6×8=48 m.
过点O作OG⊥BC于点G,
∵△OBC是等边三角形,OB=8 m,∴∠OBC=60°,
∴OG=OB·sin∠OBC=8×=4 m,
∴S△OBC=BC·OG=×8×4=16(m2),
∴S正六边形ABCDEF=6S△OBC=6×16=96 m2.

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