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高二数学九月份月考数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题
1．设复数，满足，，则（ ）
A．1 B． C． D．
2．已知复数，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．若平面α的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，则l与α所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在三棱锥中，M，N分别是AB，OC的中点，设，，，用，，表示，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知两平面的法向量分别为=（0，1，0），=（0，1，1），则两平面所成的二面角为（ ）
A．45° B．135° C．45°或135° D．90°
6、在下列命题中：
①若向量，共线，则向量，所在的直线平行；
②若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面；
③若三个向量，，两两共面，则向量，，共面；
④已知空间的三个向量，，，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝x＋y＋z．
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知棱长为的正方体，点在空间直角坐标系的轴上移动，点在平面上移动，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知在正三棱柱中，底面边长为，，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在下列条件中，不能使M与A，B，C一定共面的是（ ）
A．＝2－－； B．；
C．； D．＋＋＋＝0；
10．已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．与夹角的余弦值为
11．在正方体中，为的中点，在棱上，下列判断正确的是（ ）
A．若平面，则为的中点
B．平面平面
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．若，则
第II卷（非选择题）
三、填空题
12．已知复数满足，则___________；
13．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是___________.
①(-1，1，1)，②(1，-1，1)，③(-，-，-)，④(，，-).
14．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且，则m＝________.
四、解答题
15．已知复数满足．已知复数满足，且在复平面内对应的点位于第三象限.
（1）求复数；
（2）求的值.
16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于，M是PC的中点，设，，.
（1）试用，，表示向量；
（2）求BM的长.
17．已知直角梯形ABCD中，AD//BC，ABBC，AD=1，AB=，BC=2 .平面ABCD，PA=1.
（1）求证：BD面PAC；
（2）求二面角的余弦值 .
18．如图，四棱锥的底面为矩形，底面，设平面与平面的交线为m．
（1）证明：，且平面；
（2）已知，R为m上的点求与平面所成角的余弦值的最小值．
19．如图，三棱柱，侧面底面，侧棱，，，点、分别是棱、的中点，点为棱上一点，且满足，.
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）求直线与平面所成角的余弦值.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页高二数学9九月份月考答案解析
():M是PC的中点，BM=号(BC+BP)
1-5 DDDBC 6-8 ADA 9ABD 10 BC 11 ABD
(2)解：由(1)知平面BCD的法向量为AP=(
12
16
·AD=BC,BP=AP-AB,BM=
0,0,1)。
.(V3+3)z=3i
AD+(AP-AB儿
CD=(-V2,-1,0),DP=(0,-1,1)。
又AB=a,AD=b,AP=C,
设平面PCD的法向量元=(xo,0,0),则
之=
8w=星+9，
3(√3-3i
4
BmM=6+(d-d=号d+号6+号
{仁物0w=1,得元=（←9,1，
(-0+20=0
2=是-9
c
1)。
故答案为：}9
(2)AB=AD=1,PA=2...d=61=1
os(APm)APH方1xg0
，1c=4,
5
13③
又AB⊥AD,∠PAB=∠PAD=60°
所以二面角P-CD-B的余弦值为血」
59
由()知Bd=-a+6+P
如图所示，可得示-而+亦-而+成+丽)-而+西+，
=}(@++-2a.6-2a.2+26.
又因为下-D+m恋-n,:
d
(1)证明：因为四棱锥S-ABCD的底面为矩形，
所以用=宁
=×1+1+4-0-2+2)=号，
所以AD∥BC,
m
又BCd平面SA
故答案为：片
B1=9,
D,ADC平面S
即BM的长等于9
AD,
R
所以BC∥平面S
AD,又BCC平
,方
15
(1)证明：以A为坐标原点，AB、AD、AP所在直
面SBC,平面S
线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A一xy
AD与平面SBC
(I)设z=c+di(c,d∈R),
的交线为m,
,则z2=(c+d)2=c2-d2+2cdi=3+4i
2。
所以BC∥m.
,:在复平面内对应的点位于第三象限，
则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),
因为四棱锥S一ABCD的底面为矩形
∴.c<0,d<0,
C(√2,2,0)。
“{63,据得白-白合
所以BC⊥CD,
BD=(-√2,1,0)，AC=(V2,2,0),AP=(
因为SD⊥底面ABCD,BCC底面ABCD
去)，
0,0,1)。
所以SD⊥BC,由CD∩SD=D,
∴.2=-2-，
().…之=-2+i,
因为BD·AC=(-V2)×V2+1×2+0×0=
所以BC⊥平面SDC,
小#品-兴=
(1+)2
-2+2=0,所以BD⊥AC。
因为m∥BC,所以m⊥平面SDC.
17
因为BD·AP=(-V②)×0+1×0+0×1=0
,所以BD⊥AP。
又AC∩AP=A,ACC平面PAC,APC平面P
AC,
所以BD⊥平面PAC。

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